高等數(shù)學(xué)I
函數(shù)的基本概念
定義：由自變量和因變量構(gòu)成的對應(yīng)關(guān)系
例子：$y=x^2$，$y=\sin x$
圖像：在平面上的曲線
域：自變量可以取值的范圍
值域：因變量可以取值的范圍
函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算
性質(zhì)：奇偶性、周期性、單調(diào)性、有界性、反函數(shù)等
例子：$y=\sin x$是奇函數(shù)，有周期$2\pi$，在$[0,\pi]$上單調(diào)遞增，有界在$[-1,1]$，反函數(shù)為$y=\arcsin x$
運(yùn)算：加減乘除、復(fù)合、反函數(shù)等
例子：$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$，$(f\circ g)(x)=f(g(x))$，$f^{-1}(y)=x$
極限的基本概念
定義：當(dāng)自變量趨于某一點(diǎn)時(shí)，因變量趨于的確定值
例子：$\lim{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$，$\lim{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$
圖像：在數(shù)軸上的點(diǎn)或在平面上的曲線
求法：直接代入、夾逼定理、洛必達(dá)法則等
極限的性質(zhì)和運(yùn)算
性質(zhì)：唯一性、局部有界性、局部保號性等
例子：如果$\lim_{x\to a}f(x)=A$，則$f(x)$在$a$附近有界，且在$a$附近不變號
運(yùn)算：加減乘除、復(fù)合等
例子：$\lim{x\to a}(f(x)+g(x))=\lim{x\to a}f(x)+\lim{x\to a}g(x)$，$\lim{x\to a}f(g(x))=f(\lim_{x\to a}g(x))$
導(dǎo)數(shù)與微分
導(dǎo)數(shù)的基本概念
定義：函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率或變化率
例子：$y=x^2$，則$y'(0)=0$，$y'(1)=2$
圖像：在平面上的曲線及其切線
求法：利用導(dǎo)數(shù)的定義或性質(zhì)，如求左右導(dǎo)數(shù)、求極限等
導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算
性質(zhì)：可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系、可導(dǎo)與單調(diào)的關(guān)系、可導(dǎo)與極值的關(guān)系等
例子：如果$f(x)$在$a$處可導(dǎo)，則$f(x)$在$a$處連續(xù)；如果$f'(x)>0$，則$f(x)$單調(diào)遞增；如果$f'(a)=0$且$f''(a)<0$，則$f(a)$是極大值
運(yùn)算：加減乘除、復(fù)合、反函數(shù)等
例子：$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$，$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x)$，$(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)}$
微分的基本概念
定義：函數(shù)在某一點(diǎn)處的微小變化量
例子：$y=x^2$，則$dy=2xdx$
圖像：在平面上的曲線及其切線
求法：利用微分的定義或性質(zhì)，如求導(dǎo)數(shù)、求微分系數(shù)等
微分的性質(zhì)和運(yùn)算
性質(zhì)：微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、微分與可微的關(guān)系、微分與近似計(jì)算的關(guān)系等
例子：如果$y=f(x)$，則$dy=f'(x)dx$；如果$f(x)$在$a$處可微，則$f(x)$在$a$處可導(dǎo)且連續(xù)；如果$\Delta y\approx dy$，則$dy$可以用來近似計(jì)算$\Delta y$
運(yùn)算：加減乘除、復(fù)合等
例子：$(f+g)dx=f'dx+g'dx$，$(f\circ g)dx=f'(g(x))g'dx$
微分中值定理
定義：在一定條件下，函數(shù)在某一區(qū)間上存在一個(gè)點(diǎn)，使得函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)在該區(qū)間上的平均變化率
例子：羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理等
圖像：在平面上的曲線及其切線
求法：利用微分中值定理的定義或性質(zhì)，如求導(dǎo)數(shù)、求極限等
導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
應(yīng)用：求函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、凹凸性、拐點(diǎn)、漸近線等
例子：如果$f'(x)>0$，則$f(x)$單調(diào)遞增；如果$f'(a)=0$且$f''(a)<0$，則$f(a)$是極大值；如果$f'(x)=0$且$f''(x)\neq 0$，則$x$是拐點(diǎn)；如果$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=k$，則$y=kx$是漸近線
求法：利用導(dǎo)數(shù)的定義或性質(zhì)，如求導(dǎo)數(shù)、求極限等
不定積分
不定積分的基本概念
定義：原函數(shù)的集合或反導(dǎo)函數(shù)
例子：$\int x^2dx=\frac{1}{3}x^3+C$，$\int \sin xdx=-\cos x+C$
圖像：在平面上的曲線及其切線
求法：利用不定積分的定義或性質(zhì)，如求導(dǎo)數(shù)、求常數(shù)等
不定積分的性質(zhì)和運(yùn)算
性質(zhì)：不定積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、不定積分與可積的關(guān)系等
例子：如果$\int f(x)dx=F(x)+C$，則$\fracs0sssss00s{dx}\int f(x)dx=f(x)$；如果$f(x)$在$a$處連續(xù)，則$f(x)$在$a$處可積
運(yùn)算：加減乘除、復(fù)合、換元法、分部積分法等
例子：$\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$，$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$（其中$u=g(x)$），$\int udv=uv-\int vdu$
定積分
定積分的基本概念
定義：函數(shù)在某一區(qū)間上的總和或平均值
例子：$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$，$\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx$
圖像：在平面上的曲線及其下方陰影部分
求法：利用定積分的定義或性質(zhì)，如換元法、分割法、對稱性等
定積分的性質(zhì)和運(yùn)算
性質(zhì)：線性性、可加性、比較性、中值定理等
例子：$\int_a^b(f(x)+g(x))dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx$，$\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx=\int_a^cf(x)dx$，$\int_a^bf(x)dx\leq\int_a^bg(x)dx$（如果$f(x)\leq g(x)$），$\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)$（其中$a<\xi<b$）
運(yùn)算：加減乘除、復(fù)合、換元法、分部積分法等
例子：$\int_a^b (f(x)+g(x))dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx$，$\int_a^b f(g(x))g'(x)dx=\int{g(a)}^{g(b)} f(u)du$（其中$u=g(x)$），$\int_a^b udv=uv|a^b-\int_a^b vdu$
定積分的應(yīng)用
應(yīng)用：求面積、求體積、求弧長、求平均值、求概率等
例子：$\int_a^bf(x)dx$表示曲線$y=f(x)$與$x$軸在$[a,b]$上所圍成的面積，$\pi\int_a^b[f(x)]^2dx$表示繞$x$軸旋轉(zhuǎn)所生成的體積，$\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$表示曲線$y=f(x)$在$[a,b]$上的弧長，$\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx$表示函數(shù)$f(x)$在$[a,b]$上的平均值，$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-t^2/2}dt$表示正態(tài)分布的概率密度函數(shù)
求法：利用定積分的定義或性質(zhì)，如換元法、分割法、對稱性等
求面積
定義：曲線與坐標(biāo)軸或其他曲線所圍成的平面圖形的度量
例子：$\int_0^\pi \sin x dx=2$表示曲線$y=\sin x$與$x$軸在區(qū)間$[0,\pi]$上所圍成的面積
求法：根據(jù)曲線與坐標(biāo)軸或其他曲線的位置關(guān)系，確定積分區(qū)間和被積函數(shù)，然后計(jì)算定積分的值
求體積
定義：曲線或曲面繞某一軸旋轉(zhuǎn)所生成的立體圖形的度量
例子：$\pi\int_0^1 x^2 dx=\frac{\pi}{3}$表示曲線$y=x^2$繞$x$軸旋轉(zhuǎn)所生成的體積
求法：根據(jù)曲線或曲面與旋轉(zhuǎn)軸的位置關(guān)系，確定積分區(qū)間和被積函數(shù)，然后計(jì)算定積分的值
求弧長
定義：曲線在某一區(qū)間上的長度
例子：$\int_0^1\sqrt{1+4x^2}dx=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{4}\ln(2+\sqrt{5})$表示曲線$y=x^2$在區(qū)間$[0,1]$上的弧長
求法：根據(jù)曲線的方程，求出其導(dǎo)數(shù)，然后計(jì)算定積分的值
求平均值
定義：函數(shù)在某一區(qū)間上的值的算術(shù)平均數(shù)
例子：$\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x dx=0$表示函數(shù)$\sin x$在區(qū)間$[0,\pi]$上的平均值
求法：根據(jù)函數(shù)的方程，求出其定積分，然后除以區(qū)間的長度
求概率
定義：隨機(jī)事件發(fā)生的可能性
例子：$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-t^2/2}dt=\Phi(x)$表示正態(tài)分布的概率密度函數(shù)
