因為之后幾乎所有微分方程的內(nèi)容都會用到類似的方法——“常數(shù)變易法”，這一周我們先給之前聊過的所有方法做一次總結(jié)，要知道，復習是學習過程中最最重要的一步哦！

接著聊曼昆書上的第四條經(jīng)濟學原理就好，高鴻業(yè)書上的“彈性部分”后面部分放在一周聊比較好。

本周最后一天“經(jīng)濟學”學習開始！——

part 1 同濟《高等數(shù)學》常微分方程部分

我們今天復習之前聊過的四種常微分方程比較特殊且簡單的類型——

類型一——

直接法——顧名思義，就是說，可以直接用求積分的方式，求出函數(shù)。

比如說勻變速直線運動，我們已知加速度a，求距離s和時間t的函數(shù)。

a=d^2（s）/d（t^2）=dv/dt

v=at+C1（C1是任意常數(shù)）

s=0.5at^2+C1t+C2（C1，C2是任意常數(shù)）

由于C1，C2是任意常數(shù)，所以，我們發(fā)現(xiàn)，這個微分方程有無數(shù)個解，類似這種解叫做常微分方程的通解。

而如果我們預先給出了C1，C2的值，那么求出來的函數(shù)被稱為特解。

C1，C2被稱為初值條件或者初始條件。

其實，數(shù)學更關注的是通解構(gòu)成的集合的性質(zhì)，可以和線性空間的知識聯(lián)系起來。

類型二——

分離變量的方法——顧名思義，就是說，我們可以把所有的含x或者dx的項移到等式一邊，把所有y和dy移到另外一邊，而且這里面，dx和dy的關系一定是相除的關系dx/dy，dx和含x的式子，dy和含y的式子一定是相乘的形式，然后一起積分就好。

所謂dx指的是關于x的微分，我們運算的時候，可以把它看作一個數(shù)直接加減乘除。

比如說，對微分方程，dy/dx=2xy^2，我們按照上述形式進行改寫——dy/y^2=2xdx，之后兩邊取積分即可，得到-1/y=x^2+C。

這種類型的題目，依然對不定積分的技巧積累要求比較高，常用的不定積分記得越多越好。

類型三——

齊次方程

定義一——形如dy/dx=f（x，y），等式右端的函數(shù)f（x，y）為它的變量x和y的零次齊次函數(shù)，即滿足恒等式f（tx，ty）=f（x，y），則稱這個方程為齊次方程。

定義二——如果微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0，滿足P（x，y）與Q（x，y）都是x和y的同次齊次函數(shù)，則稱這個方程為齊次方程

齊次函數(shù)——函數(shù)P（x，y）滿足P（tx，ty）=t^mP（x，y），稱P（x，y）為x和y的m次齊次函數(shù)。

易證明——

1. 定義一——dy/dx=f（x，y）=f（x*（1/y），y*（1/y））=f（x/y，1）=g（x/y）；

2. 定義二——P（x/y，1）/Q（x/y，1）=P（x*（1/y），y*（1/y））/Q（x*（1/y），y*（1/y））=（1/y）^mP（x，y）/（1/y）^mQ（x，y）=P（x，y）/Q（x，y），

   dy/dx=-P（x，y）/Q（x，y）=-P（x/y，1）/Q（x/y，1）=g（x/y）。

齊次方程

定義三——形如dy/dx=g（x/y）的微分方方程為齊次方程。

方法——變量替換法——令y=ux，u=y/x，是一個關于x的函數(shù)。

例子——解方程dy/dx=x+y/x-y。

1. 令y=ux，由dy/dx=（x+y）/（x-y）得到d（ux）/dx=（x+ux）/（x-ux）；

2. 由函數(shù)乘法求導法則知：u求導為u'=du/dx，x'=1；

3. 則左式=xu'+x'u=x（du/dx）+u，右式=（x+ux）/（x-ux）=（1+u）/（1-u）；

4. 左式=右式，即x（du/dx）+u=（1+u）/（1-u）——回歸到變量分離的類型；

5. [（1-u）/（1+u^2）]du=（1/x）dx；

6. 兩邊積分得到，arctan u- ln[（1+u^2）^（1/2）]=ln |x|+C；

7. 將u=y/x代入即可。

本種類型題目難點依然在于積分這一步，常用積分要記在腦子里。

類型四——

可化為齊次方程/可分離變量的方程

定理——形如dy/dx=（ax+by+c）/（a1x+b1y+c1）的微分方方程在c=c1=0時為齊次方程，當c和c1至少有一個不為0時，可以做相關變換，使其轉(zhuǎn)化為齊次方程，令——

1. x=X+h，則dx=dX；

2. y=Y+k，則dy=dY；

3. 1、2中h和k是待定的常數(shù)，所以我們要列方程組，解出它們，這部分內(nèi)容，涉及到了《線性代數(shù)》里的克萊姆法則。——我們由這個方程組解的有無，來判定，這種類型的微分方程，轉(zhuǎn)化的方式。

過程——

1. ax+by+c=a（X+h）+b（Y+k）+c=aX+bY+ah+bk+c，a1x+b1y+c=a1（X+h）+b1（Y+k）+c=a1X+b1Y+a1h+b1k+c；
   

2. dY/dX=（aX+bY+ah+bk+c）/（a1X+b1Y+a1h+b1k+c）；

3. 因為2中方程應該滿足齊次方程的形式，故而得到方程組ah+bk+c=0且a1h+b1k+c=0；

4. 由克萊姆法則，當行列式ab1-a1b不等于0的時候，方程組有解，我們解出對應的k與h，將原方程轉(zhuǎn)化為dY/dX=（aX+bY）/（a1X+b1Y）即可；

5. 由克萊姆法則，當行列式ab1-a1b=0的時候，則a1/a=b1/b=l，將l代入原方程，得到dy/dx=（ax+by+c）/[l（ax+by）+c1]；

   我們令v=ax+by，則dy/dx=（v+c）/（lv+c1）；

6. 又可得dv/dx=a+b（dy/dx），即dy/dx=（dv/dx-a）/b——y是關于x的函數(shù)；

   則dy/dx=（dv/dx-a）/b=（v+c）/（lv+c1），即dv/[（bv+bc）/（lv+c1）+a]=dx，轉(zhuǎn)化為一個可分離變量的微分方程。

下周開始常微分方程的難度加深，做好準備~

part 2?經(jīng)濟學概念——曼昆

我們來逐一介紹曼昆《經(jīng)濟學原理》上的原理，曼昆的經(jīng)濟學的十條原理第四條：

ppl respond to incentives人們對刺激做出回應——對應高鴻烈書上原則的第二條：?人們會對激勵作出反應。

曼昆舉了以下幾個例子說明這個問題：

1.如果蘋果漲價了，那么人們可能會選擇少吃蘋果多吃梨，因為每一個蘋果的成本增加了，而生產(chǎn)者會雇傭更多的工人去種植蘋果，因為每一個蘋果的帶來的利潤更大；

2.石油稅高的話，人們可能就會開石油利用率更高的汽車，或者更多人會去選擇公共交通工具以及住址選擇離工作地點近的地方，石油稅進一步升高，人們會選擇混合汽車，高到一定程度，人們就會選擇電動車了；

3.出臺必須系安全帶的法律，本意是為了交通安全：系安全帶可以降低發(fā)生交通事故時，人們的死亡率，但是，因為系了安全帶，人們開車反而更快更不小心，導致了，雖然交通事故人的死亡率降低了，但是交通事故總數(shù)增加了，以及，因為系安全帶只能降低了車內(nèi)人員的死亡率，所以隨著交通事故總數(shù)的增加，路上行人的死亡率卻提高了，所以這個法律對交通安全并沒有什么實質(zhì)性的裨益。

下周繼續(xù)，大家周末加油哦！老碧得開始準備休息了！