前言

由1到0，由具到抽，人們將智慧與思考注入到一個(gè)個(gè)符號(hào)之中。數(shù)字是人類(lèi)的工具，它陪伴人們走過(guò)了數(shù)千年的歷史。數(shù)字就像是天上的星星一樣數(shù)不清，而人們也不斷嘗試著觀(guān)測(cè)到更廣闊的宇宙，不斷創(chuàng)造新的數(shù)字。今天，我們就來(lái)說(shuō)說(shuō)星星。 一、數(shù)的創(chuàng)造史

1.正整數(shù)

自古人們就有“結(jié)繩記事”、用小石子記錄事物的行為，可是繩與石終究還是有些不便，比如如果記錄較大數(shù)字的時(shí)候難免會(huì)有不夠用的情況，所以人類(lèi)發(fā)明了一種抽象的符號(hào)來(lái)代替，這樣就有了1、2、3……這樣的自然數(shù)。當(dāng)然，不同地區(qū)所用的符號(hào)都有所不同，其中最出名的便是古羅馬的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ……，但是如今我們統(tǒng)一習(xí)慣使用阿拉伯?dāng)?shù)字，這不是因?yàn)槠浒l(fā)現(xiàn)之早，而是因?yàn)樗擅畹倪\(yùn)用了十進(jìn)制，在面對(duì)一個(gè)極大的數(shù)字時(shí)它相比其它數(shù)字符號(hào)更為簡(jiǎn)便。另外有一些人問(wèn)為什么“1+1＝2”，就是因?yàn)檫@個(gè)時(shí)期人們發(fā)現(xiàn)，如果我摘了一個(gè)果子，又摘了一個(gè)果子，那么這就有了兩個(gè)果子，因此有了這個(gè)基礎(chǔ)的公理。 2.零，小數(shù)，負(fù)數(shù)

隨著人們對(duì)數(shù)字的熟悉運(yùn)用，人們開(kāi)始思考：如果我有一個(gè)果子那我吃了之后還有多少個(gè)果子？如果有3個(gè)果子該怎么分給4個(gè)人？零以下的溫度是多少度？伴隨著人們的思考，人們開(kāi)始發(fā)現(xiàn)，僅憑正整數(shù)已經(jīng)無(wú)法滿(mǎn)足他們的需求，于是就有了零，小數(shù)（分?jǐn)?shù)），以及負(fù)數(shù)。 而從負(fù)數(shù)開(kāi)始，數(shù)就已經(jīng)脫離了現(xiàn)實(shí)的物品，變得更加抽象。 3.無(wú)理數(shù)

就在人們還在沉浸在有理數(shù)的偉大時(shí)，第一次數(shù)學(xué)大危機(jī)來(lái)了。一個(gè)腰長(zhǎng)為1的Rt△，它的斜邊長(zhǎng)度是多少？人們百思不得其解，因?yàn)槿藗冋J(rèn)為“一切量都可以用有理數(shù)表示”，可是這個(gè)數(shù)怎么就是表示不出來(lái)。其實(shí)人們有這個(gè)思想也是很正常的，有理數(shù)域上四則運(yùn)算是封閉的，所以無(wú)論人們?cè)趺醇訙p乘除有理數(shù)，最后得到的還是有理數(shù)，人們自然就認(rèn)為有理數(shù)是“萬(wàn)能的”。在最后，人們針對(duì)這樣的數(shù)，專(zhuān)門(mén)起了個(gè)名字名曰無(wú)理數(shù)。 4.虛數(shù)，復(fù)數(shù)

由第一次數(shù)學(xué)大危機(jī)，人們知道了“√2”這樣的無(wú)理數(shù)，可是如果根號(hào)下的是個(gè)負(fù)數(shù)會(huì)怎么樣？而且在解方程的時(shí)候又偏偏常常遇見(jiàn)，像x2＝－1就無(wú)解嗎？不甘心的數(shù)學(xué)家們便發(fā)明了虛數(shù)i，而形如a+bi就是復(fù)數(shù)。 二、從方程的角度看數(shù)的發(fā)展

1.解方程

其實(shí)從“1、2、3……”的發(fā)明開(kāi)始，以后的一切問(wèn)題以及數(shù)的拓展都可以看作為解方程的過(guò)程 零：x+1＝1； 小數(shù)：2·x＝1； 負(fù)數(shù)：x+1＝0； 無(wú)理數(shù)：x2＝2； 虛數(shù)：x2＝－1。 也就是說(shuō)對(duì)于一個(gè)方程f（x）＝0，它的解可以是整數(shù)，可以是分?jǐn)?shù)，可以是無(wú)理數(shù)，甚至是虛數(shù)、復(fù)數(shù)，

那么所有的復(fù)數(shù)都可以由方程的解來(lái)表示嗎？

2.自然常數(shù)e

在大自然中存在著很多的螺旋線(xiàn)，像海螺、氣旋、旋渦星系等等都有螺線(xiàn)的身影，這些被稱(chēng)為對(duì)數(shù)螺線(xiàn)，極坐標(biāo)（r，θ）中的極坐標(biāo)方程r＝a·e^（bθ）可以表示上述的螺旋線(xiàn)，其中的“e”就是自然常數(shù)。 下面，我們正式開(kāi)始證明粉字。 3.有缺陷的代數(shù)數(shù)

對(duì)于一個(gè)（有理or整系數(shù)多項(xiàng)式）方程f（x）＝0而言，我們將其x的復(fù)數(shù)解稱(chēng)之為代數(shù)數(shù)。 設(shè)f（x）＝a_0+a_1x+……+a_nx^n 對(duì)于一個(gè)n次多項(xiàng)式而言，

其最多有n個(gè)解

，而f的個(gè)數(shù)也是

可列（與自然數(shù)可以一一對(duì)應(yīng)）

的嗎？ 我們利用素?cái)?shù)來(lái)記錄不同a_i 令γ＝2^a1·3^a2……p（n）^an 其中p（n）為第n個(gè)素?cái)?shù)，這樣

我們每有一個(gè)f，就必存在一個(gè)自然數(shù)γ與之對(duì)應(yīng)，而解又是有限的

所以f（x）＝0的每一個(gè)解都可以對(duì)應(yīng)一個(gè)自然數(shù)?。?/p>

而顯然在全體復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，自然數(shù)是做不到與之對(duì)應(yīng)的，即自然數(shù)不夠用了！

這就說(shuō)明了有的復(fù)數(shù)不可由方程的解來(lái)表示出來(lái)。

4.彌補(bǔ)代數(shù)數(shù)的部分——超越數(shù)

那么，不可由方程的解來(lái)表示的數(shù)叫什么呢？叫超越數(shù)。都到這里了我們就順便介紹一下判定超越數(shù)比較好用的定理吧。 林德曼-魏爾斯特拉斯定理（Lindemann–Weierstrass theorem） 如果?α1,...,αn?是互不相同的代數(shù)數(shù)，若另有代數(shù)數(shù)a1,...,an使得a1e^α1+...+ane^αn＝0，則必有a1＝...＝an＝0

有了這個(gè)，我們就能利用反證法來(lái)證明一個(gè)數(shù)是否為超越數(shù)。 例：證明e為超越數(shù) 假設(shè)e為代數(shù)數(shù) 由于1·e^1+（－e）·e^0＝0 而1與－e不同時(shí)為0，矛盾！ 故e為超越數(shù) 所以，復(fù)數(shù)就這樣被名為方程的東西切成了代數(shù)數(shù)與超越數(shù)，而目前我們所知道的超越數(shù)十分有限，比如e和π就是我們所公認(rèn)的超越數(shù)，而值得注意的是，超越數(shù)一定是無(wú)理數(shù)，而代數(shù)數(shù)可以是有理數(shù)也可以是無(wú)理數(shù)。 5.新的劃分方法

從數(shù)發(fā)展的角度我們有著一套劃分?jǐn)?shù)的方式，而從方程的角度來(lái)看，復(fù)數(shù)可以分成代數(shù)數(shù)與超越數(shù)，當(dāng)然我們也可以繼續(xù)分下去，將超越數(shù)化成實(shí)超越數(shù)與虛超越數(shù)（像π·i這種）……總之這是另一套的劃分體系，而解方程的問(wèn)題真是由古至今一直沒(méi)有結(jié)束過(guò)呢。

“那小而美麗的火車(chē)穿梭在翻飛于風(fēng)中的天之芒草里，飛奔過(guò)銀河之水及三角標(biāo)的藍(lán)白微光，然后就那么永無(wú)止境地，一直奔跑下去。”