【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)6677版』，此版叢書(shū)是“數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書(shū)共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書(shū)是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來(lái)自學(xué)。不過(guò)這套叢書(shū)卻很適合像我這樣已接受過(guò)基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語(yǔ)】我在原有“自學(xué)叢書(shū)”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教中學(xué)甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚(yú)座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書(shū)”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書(shū)對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開(kāi)課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開(kāi)課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書(shū)”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。

第四章因式分解

§4-2提取公因式的因式分解法

【01】在上一節(jié)里，我們?cè)?jīng)看到，多項(xiàng)式 ab＋ac 可以化成兩個(gè)整式的積，就是 ab＋ac＝a(b＋c)? 。

【02】這里 a 是多項(xiàng)式 ab＋ac 的第一項(xiàng) ab 的一個(gè)因式，也是它的第二項(xiàng) ac 的一個(gè)因式，我們把它叫做 ab 和 ac 的公因式。

【03】一般地，如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)里有一個(gè)公因式，我們可以象上面這樣根據(jù)乘法對(duì)于加法的分配律，把這個(gè)公因式提取出來(lái)，把這個(gè)多項(xiàng)式分解成兩個(gè)整式的積。例如 ab＋ac＋ad＝a(b＋c＋d)? 。

【04】這樣的因式分解，叫做提取公因式法。

例1.分解因式：(1) abc＋3bd－5b；(2) abc＋abd－3ab? 。

【解】

(1) abc＋3bd－5b 是一個(gè)三項(xiàng)式，各項(xiàng)里都有因式 b，把它提取出來(lái)，得 abc＋3bd－5b＝b(ac＋3d－5)；

(2) abc＋abd－3ab 是一個(gè)三項(xiàng)式，各項(xiàng)里都有因式 a 和 b，把 a 和 b 都提出來(lái)，得 abc＋abd－3ab＝ab(c＋d－3)? 。

例2.分解因式：(1) 6a3x?－8a2x?＋16ax?；(2) a?＋a?－2a?－3a?? 。

【解】

(1)在 6a3x?－8a2x?＋16ax? 里，數(shù)字系數(shù)的最大公約數(shù)是 2，三項(xiàng)里都有因式 a 和 x，a 的最低次數(shù)是 1，x 的最低次數(shù)是 4，所以 2ax? 是公因式。把 2ax? 提出來(lái)，得 6a3x?－8a2x?＋16ax?＝2ax?(3a2－4ax＋8x2)；

(2)這里各項(xiàng)都有 a 的冪，而各項(xiàng)中 a 的最低次數(shù)是 5，a? 就是公因式，把它提出來(lái)，得 a?＋a?－2a?－3a?＝a(a3＋a2－2a－3)? 。

例3.分解因式：(1) x3＋x2＋x；(2)－x3y3－x2y2－xy? 。

【解】(1)?x3＋x2＋x＝x(x2＋x＋1)；(2)－x3y3－x2y2－xy＝－xy(x2y2＋xy＋1)? 。

【說(shuō)明】

(1) x 是 1·x，提出因式 x 后，另一個(gè)因式是 1，不要漏掉。

(2)三項(xiàng)都有“－”號(hào)，表示各項(xiàng)都有因數(shù)－1，應(yīng)該把它提出來(lái)，把系數(shù)－1 的 1 省略不寫。

習(xí)題4-2(1)

分解因式(1~10)：

[解法舉例：ab＋ac＝a(b＋c) ]

從下面各代數(shù)式的各項(xiàng)中提出一個(gè)－1 的公因數(shù)來(lái)(11~14)：

[解法舉例：－a＋x＝－(a－x) ]

把下面各式的公因式連同一個(gè)負(fù)號(hào)提出來(lái)(15~18)：

[解法舉例：－ab－ac－ad＝－a(b＋c＋d) ]

例4.分解因式：(1) x(a＋b)＋y(a＋b)；(2) (a＋b)2＋(a＋b)? 。

【解】

(1)這里的公因式是 (a＋b)，把它提出來(lái)，得 x(a＋b)＋y(a＋b)＝(a＋b)(x＋y)；

(2)這里的公因式是 (a＋b)，把它提出來(lái)，得 (a＋b)2＋(a＋b)＝(a＋b)[(a＋b)＋1]＝(a＋b)(a＋b＋1)? 。

【說(shuō)明】[(a＋b)＋1] 這個(gè)因式的小括號(hào)外面還有加減號(hào)，所以要把小括號(hào)去掉，得 (a＋b＋1)? 。

例5.分解因式：(1) a2b(a－b)＋3ab(a－b)；(2) 3(a＋b)(a－b)(x＋y)－(a＋b)(a－2b)(x＋y)? 。

【解】

(1)把公因式 ab(a－b) 提出來(lái)，得 a2b(a－b)＋3ab(a－b)＝ab(a－b)(a＋3)；

(2)把公因式 (a＋b)(x＋y) 提出來(lái)，得

【說(shuō)明】[3(a－b)－(a－2b)]內(nèi)有同類項(xiàng)，所以要把小括號(hào)去掉化簡(jiǎn)。一般，即使沒(méi)有同類項(xiàng)，也要化簡(jiǎn)。

例6.分解因式：(1) (a－b)2＋(b－a)(x＋y)；(2) (x－2y)(2x+3y)－2(2y－x)(5x－y)? 。

【解】

(1) ∵ b－a＝－(a－b)，所以 a－b 是公因式，把它提出來(lái)，得

(2) ∵ 2y－x＝－(x－2y)，所以可以提出公因式 x－2y，得

習(xí)題4-2(2)

分解因式：

【答案】