不知道從哪說起，先從最最最簡單的旋轉(zhuǎn)說起吧。比如平面上有一點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y)，它繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)α角度，那么旋轉(zhuǎn)以后的P的坐標(biāo)怎么計(jì)算：

首先點(diǎn)P一開始的坐標(biāo)(x,y)當(dāng)然也可以表示為(r*cosd,r*sind)對(duì)吧，那么旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)就是(r*cos(α+d),r*sin(α+d))了吧，那實(shí)際上計(jì)算一下cos(α+d)和sin(α+d)就差不多了，前者等于cosα*cosd-sinα*sind，后者等于sinα*cosd+cosα*sind。所以說一開始的坐標(biāo)是(r*cosd,r*sind)而旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)是(r*(cosα*cosd-sinα*sind),r*(sinα*cosd+cosα*sind))，

整理一下是(cosα*r*cosd-sinα*r*sind,sinα*r*cosd+cosα*r*sind)，對(duì)吧，那這個(gè)r*cosd不是別人r*sind也不是別人，不就是原來的x,y嗎

所以實(shí)際上現(xiàn)在的坐標(biāo)就是(cosα*x-sinα*y,sinα*x+cosα*y)，其中α就是旋轉(zhuǎn)的角度。

那么在空間中呢？也是一樣的道理，比如一個(gè)點(diǎn)繞著x軸旋轉(zhuǎn)α角度，那么它繞著x軸轉(zhuǎn)顯然x坐標(biāo)是不變的，這就相當(dāng)于這個(gè)點(diǎn)在y軸和z軸組成的平面上旋轉(zhuǎn)了α角度（x坐標(biāo)保留不變）。同理，一個(gè)點(diǎn)繞著y軸旋轉(zhuǎn)α角度，就相當(dāng)于這個(gè)點(diǎn)在z軸和x軸組成的平面上旋轉(zhuǎn)了α角度（y坐標(biāo)保留不變）；一個(gè)點(diǎn)繞著z軸旋轉(zhuǎn)α角度，就相當(dāng)于這個(gè)點(diǎn)在x軸和y軸組成的平面上旋轉(zhuǎn)了α角度（z坐標(biāo)保留不變），那這樣就能直接從剛剛平面的計(jì)算得到三維的旋轉(zhuǎn)變換公式了：

用x′、y′、z′分別表示旋轉(zhuǎn)過后的x坐標(biāo)、y坐標(biāo)、z坐標(biāo)。用θ表示旋轉(zhuǎn)的角度（在右手坐標(biāo)系中，旋轉(zhuǎn)的正方向是右手螺旋方向，即從該軸正半軸向原點(diǎn)看是逆時(shí)針方向）

①繞X軸的旋轉(zhuǎn)

x′=x

y′=ycosθ?zsinθ

z′=ysinθ+zcosθ

②繞Y軸的旋轉(zhuǎn)

x′=zsinθ+xcosθ?

y′=y

z′=zcosθ?xsinθ

③繞Z軸的旋轉(zhuǎn)

x′=cosθ*x-sinθ*y

y′=sinθ*x+cosθ*y

z′=z

這樣的話，空間中任何一個(gè)點(diǎn)繞x、y、z軸的旋轉(zhuǎn)就都可以計(jì)算了，不過，為了在某種程度上方便一些，所以可以再多引入一個(gè)矩陣的概念：

單說矩陣的話，矩陣就是一張數(shù)表，比如

就是一個(gè)2X3的矩陣，就是一張數(shù)表，有2行有3列。所以說矩陣單說定義沒多大用處，重點(diǎn)是把矩陣作為一個(gè)計(jì)算工具來使用，是在很多地方都有用的。比如矩陣的數(shù)乘、矩陣的加法減法乘法等等等等。（其實(shí)關(guān)于矩陣，可以單獨(dú)寫一個(gè)函數(shù)庫，伴隨矩陣、矩陣轉(zhuǎn)置、可逆矩陣等等等等，反正沒什么用，但你可以寫著玩）?

在3D效果中用一下矩陣的乘法就差不多了，首先由于矩陣是一張數(shù)表，所以當(dāng)然，兩個(gè)數(shù)表之前怎么相乘肯定是人為定義的(當(dāng)然是有原因的定義)，只要按照定義來即可，然后你就可能發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)很方便的工具。

首先，矩陣相乘必須滿足這個(gè)條件：第一個(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)。然后相乘的規(guī)則是：第一個(gè)矩陣的行和第二個(gè)矩陣的列乘起來（對(duì)應(yīng)元素乘積作和），比如

這兩個(gè)矩陣是這樣相乘的：第一個(gè)矩陣的第一行乘第二個(gè)矩陣的第一列就是：第一行的第一個(gè)a11和第一列的第一個(gè)b11乘起來，再加上第一行的第二個(gè)a12乘以第一列的第二個(gè)b21，再加上第一行的第三個(gè)a13乘以第一列的第三個(gè)b31，這樣就算“乘”好了第一行和第一列，得到的這個(gè)東西就是新的矩陣的第一行的第一個(gè)。然后呢，第一個(gè)矩陣的第一行又繼續(xù)乘第二個(gè)矩陣的第二列，第一行的第一個(gè)a11乘以第二列的第一個(gè)b12，再加上第一行的第二個(gè)a12乘以第二列的第二個(gè)b22，再加上第一行的第三個(gè)a13乘以第二列的第三個(gè)b32，這樣就“乘”好了第一行和第二列，得到的這個(gè)數(shù)就是新的矩陣的第一行的第二個(gè)元素，以此類推，接下來還要第一個(gè)矩陣的第二行乘以第二個(gè)矩陣的第一列、最后是第一個(gè)矩陣的第二行乘以第二個(gè)矩陣的第二列，然后得到的這幾個(gè)數(shù)，就排成圖中那樣的數(shù)表。如果不會(huì)的可以自己練習(xí)一下，比如

然后當(dāng)然，很明顯，根據(jù)剛剛給定的規(guī)則，你肯定知道矩陣的相乘不滿足交換律，AB≠BA

還有當(dāng)然，兩個(gè)矩陣要能相乘必須要滿足第一個(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)，也就是說，如果第一個(gè)矩陣是一個(gè)mXs的矩陣，那么第二個(gè)矩陣就需要是sXn的矩陣（即第一個(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)），乘出來得到的新的矩陣就是一個(gè)mXn的矩陣，也就是一個(gè)有m行、有n列的數(shù)表

啰嗦了一堆，主要是會(huì)有各種各樣的學(xué)aeg的人，之前有一些人問過一些相似的問題，有的人學(xué)過、有的人沒學(xué)過、有的人學(xué)過忘了，所以我還是簡單地啰嗦了一些東西。

所以當(dāng)然，剛剛講的旋轉(zhuǎn)操作就可以用到矩陣，比如說平面的旋轉(zhuǎn)，剛剛講的旋轉(zhuǎn)后的新的坐標(biāo)(x',y')就是(cosα*x-sinα*y,sinα*x+cosα*y)，這不就是兩個(gè)數(shù)嗎，當(dāng)然可以看成一個(gè)列向量

或者就是一個(gè)矩陣，對(duì)吧，那么旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)就可以用兩個(gè)矩陣相乘來計(jì)算：

對(duì)吧，根據(jù)矩陣相乘的規(guī)則，第一個(gè)矩陣的第一行乘以第二個(gè)矩陣的第一列，就是第一行的第一個(gè)乘以第一列的第一個(gè)（即cosθ*x）再加上第一行第二個(gè)乘以第一列的第二個(gè)（即sinθ*y），然后得到的cosθ*x-sinθ*y就是新的矩陣的第一行的第一個(gè)（即x'），同理y'當(dāng)然等于sinθ*x+cosθ*y了

所以在空間中的旋轉(zhuǎn)也是同樣的道理，

①繞X軸的旋轉(zhuǎn)

x′=x

y′=ycosθ?zsinθ

z′=ysinθ+zcosθ

這個(gè)可以寫成：

②繞Y軸的旋轉(zhuǎn)

x′=zsinθ+xcosθ?

y′=y

z′=zcosθ?xsinθ

這個(gè)可以寫成：

③繞Z軸的旋轉(zhuǎn)

x′=cosθ*x-sinθ*y

y′=sinθ*x+cosθ*y

z′=z

這個(gè)可以寫成：

其實(shí)你乘法看熟悉了的話，肯定一眼就看出這個(gè)計(jì)算了

不管繞哪個(gè)軸旋轉(zhuǎn)，乘法中第二個(gè)矩陣都是(x,y,z)，而且第一個(gè)矩陣都是很統(tǒng)一的這個(gè)

這樣的話，繞哪個(gè)軸旋轉(zhuǎn)就是哪個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣再乘(x,y,z)列矩陣即可，

比如繞x軸旋轉(zhuǎn)，你就拿

這個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣去乘即可

那么矩陣怎么用代碼表示呢？用排除法也知道肯定是用table?。?span id="s0sssss00s" class="color-blue-02">用“一想法”也可知道，那什么是“一想法”呢：就是說，一想想不就一下就知道了嗎。當(dāng)然類似“一想法”的還有“一眼法”，意思是：看一眼不就知道了嗎，比如你用看一眼就解題的方法，那叫什么，那叫“一眼法”?。?/span>）

一個(gè)矩陣當(dāng)然有m行n列，所以一個(gè)mXn的矩陣肯定不能用一個(gè)一層的table就表示了，對(duì)吧，比如就上面那個(gè)矩陣，你肯定不能直接用{1,0,0,0,cosθ,-sinθ,0,sinθ,cosθ}來表示，對(duì)吧，因?yàn)檫@樣就完完全全失去了“行”和“列”的信息了，沒有了“行”和“列”的信息還叫一個(gè)數(shù)表嗎？所以你只需要把這個(gè)table給設(shè)定為一個(gè)兩層的table就可以表示一個(gè)矩陣了，比如上面的矩陣就表示成{{1,0,0},{0,cosθ,-sinθ},{0,sinθ,cosθ}}就行了，這樣你就知道這個(gè)矩陣一共有3行對(duì)不對(duì)，每一行一共有3個(gè)元素，所以一共有3列對(duì)不對(duì)，所以這是一個(gè)3X3的矩陣對(duì)不對(duì)，比如你想知道這矩陣的第二行第三個(gè)元素，那是不是就是你這table的第二個(gè)元素這個(gè)表中表的第三個(gè)元素啊，也就是-sinθ

所以列矩陣

正常來說應(yīng)該表示為{{x},{y},{z}}對(duì)吧，這樣表示這個(gè)矩陣一共有3行，一共有1列，第一行第一列對(duì)應(yīng)的元素是x、第二行第一列對(duì)應(yīng)的元素是y等等等等（豎著和橫著當(dāng)然不一樣哈，顯然的，而且橫著的話，就是{{x,y,z}}了，兩個(gè)矩陣是截然不同的）

先講矩陣相乘代碼怎么寫吧：

輸入兩個(gè)由table代表的矩陣m1和m2，建立一個(gè)新的表mtx用來儲(chǔ)存相乘得到的新的矩陣。

怎么乘呢？一行乘一列、一行乘一列的乘，所以要for循環(huán)遍歷m1的行，由于剛剛講了兩個(gè)矩陣相乘得到的新矩陣的行數(shù)是等于第一個(gè)矩陣的行數(shù)的，所以代表新的矩陣的mtx表就要有#m1個(gè)表中表，每一次循環(huán)的時(shí)候就要建立一個(gè)mtx[i]={}，然后你才能在這里面放東西。然后再開始相乘，一行的每一個(gè)元素對(duì)應(yīng)乘以一列的每一個(gè)元素然后加起來的結(jié)果就是mtx[i][j]，也就是mtx這個(gè)新的矩陣的第i行第j列所對(duì)應(yīng)的元素

這整個(gè)就是標(biāo)準(zhǔn)的矩陣相乘的代碼了，但是在3D效果中，一般都是一個(gè)矩陣來乘以一個(gè)列矩陣(x,y,z)，所以如果一個(gè)點(diǎn)儲(chǔ)存的時(shí)候，儲(chǔ)存成{{x},{y},{z}}就很煩（但是本身列矩陣就應(yīng)該這么寫的），如果你要單獨(dú)的寫矩陣的函數(shù)庫，當(dāng)然必須這么寫，但是那是單獨(dú)寫矩陣函數(shù)庫，比如

而如果你不是這樣單獨(dú)寫矩陣計(jì)算的函數(shù)庫的話，那完全可以為了3D這部分，稍微更改一下計(jì)算，因?yàn)榘岩粋€(gè)點(diǎn)儲(chǔ)存成{{x},{y},{z}}感覺麻煩，不如直接儲(chǔ)存成{x,y,z}，但是這樣儲(chǔ)存就不表示一個(gè)矩陣了，但是你照樣可以模仿矩陣的相乘方式，來寫一個(gè)假的矩陣相乘、這個(gè)“矩陣相乘”僅僅針對(duì)的是一個(gè)矩陣來乘以(x,y,z)這種東西：

這樣的話，這個(gè)代碼并不是計(jì)算兩個(gè)矩陣相乘的，而是針對(duì)性的為了計(jì)算(x,y,z)的坐標(biāo)變換，而寫的假的矩陣相乘。本身矩陣相乘應(yīng)該是比如{{1,0,0},{0,cosθ,-sinθ},{0,sinθ,cosθ}}乘以{{x},{y},{z}}然后得到{x'},{y'},{z'}}，而現(xiàn)在只針對(duì)這類計(jì)算，針對(duì)性的寫一個(gè)函數(shù)，就可以直接用{{1,0,0},{0,cosθ,-sinθ},{0,sinθ,cosθ}}“乘以”{x,y,z}然后得到{x',y',z'}了

然后就能很方便的寫出某點(diǎn)繞某軸旋轉(zhuǎn)得到的新的點(diǎn)了：

上面的frx、fry、frz函數(shù)就分別是一個(gè)平面繞x、y、z軸旋轉(zhuǎn)angle角度，然后返回一個(gè)新的平面。剛剛說了，為了方便，把一個(gè)點(diǎn)表示為{x,y,z}而不是矩陣那樣的{{x},{y},{z}}，所以要表示一個(gè)平面就是把這些一個(gè)平面的點(diǎn)裝起來就是了，比如用{{x1,y1,z1},{x2,y2,z2},{x3,y3,z3}}就可以表示由{x1,y1,z1}和{x2,y2,z2}和{x3,y3,z3}這三個(gè)點(diǎn)組成的平面（注意這里的點(diǎn)的順序不能亂，比如你一個(gè)平面有10個(gè)點(diǎn)，那么你這10個(gè)點(diǎn)在這table里的順序不能亂，因?yàn)槟阕詈笠粋€(gè)平面要連線成一個(gè)繪圖不是嗎，所以你點(diǎn)的順序不能亂，比如順時(shí)針啊、逆時(shí)針啊，點(diǎn)的順序肯定不能亂，不能亂序就把這些點(diǎn)的數(shù)據(jù)儲(chǔ)存進(jìn)去了）。然后一個(gè)平面旋轉(zhuǎn)其實(shí)就是對(duì)平面上的每一個(gè)點(diǎn)都旋轉(zhuǎn)變換，所以可以看到上面的函數(shù)，輸入一個(gè)代表平面的表p，然后p這個(gè)平面有很多點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)都要旋轉(zhuǎn)變換，所以for循環(huán)遍歷p平面的每一個(gè)點(diǎn)，對(duì)每一個(gè)點(diǎn)使用剛剛的假的矩陣相乘函數(shù)，也就是這一部分代碼：

對(duì)于旋轉(zhuǎn)，除了剛剛的繞x、y、z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣，也有比如繞任意過原點(diǎn)的軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣，假設(shè)(u,v,w)是一個(gè)單位向量（注意這里要是單位向量，即長度為1的向量），那么一個(gè)點(diǎn)(x,y,z)繞著(u,v,w)旋轉(zhuǎn)θ度的旋轉(zhuǎn)矩陣是這樣的：

這再大一坨也是一個(gè)3X3的矩陣，就和剛剛的比如繞z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣是一回事，直接拿這個(gè)矩陣去和(x,y,z)“乘”就是了

這個(gè)就是一個(gè)平面繞著過原點(diǎn)的任意軸（用一個(gè)單位向量指定）旋轉(zhuǎn)得到新平面的函數(shù)，可以看到結(jié)構(gòu)當(dāng)然和剛剛講的frx等等一樣的，只不過這次這個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣有一大坨而已。第三個(gè)參數(shù)axis就是填入一個(gè)單位向量的，用來指定旋轉(zhuǎn)軸，比如填{√3/3,√3/3,√3/3}這個(gè)單位向量。

講了一些簡單的計(jì)算以后，介紹一下怎么建模，基于剛剛的設(shè)定，所以將一個(gè)點(diǎn)用一個(gè)一層的table表示，即{x,y,z}，而一個(gè)平面就用兩層的table表示，如{{-1,-1,-1},{1,-1,-1},{1,1,-1},{-1,1,-1}}就是4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的一個(gè)面，每個(gè)點(diǎn)都有x,y,z坐標(biāo)，而如果是一個(gè)立體圖形的話就有很多個(gè)平面，所以用一個(gè)三層的table表示，也就是把一個(gè)個(gè)表示平面的table再裝進(jìn)一個(gè)大的table里，這個(gè)大的table就表示一個(gè)立體圖形了

當(dāng)你有了一個(gè)立體圖形以后，你就可以進(jìn)行相應(yīng)的連線了，即把立體圖形的每個(gè)平面的點(diǎn)按順序連接起來就得到相應(yīng)的繪圖了，當(dāng)然，由于aeg里只有x和y，并沒有z，所以在連線的時(shí)候直接去掉z坐標(biāo)，就能得到立體圖形在屏幕上的投影了。意思就是，你建模的時(shí)候，先不管三七二十，按照空間中的點(diǎn)用3個(gè)坐標(biāo)來算，最后經(jīng)過一系列什么旋轉(zhuǎn)、平移、縮放等操作過后，在最后把你的立體圖形拿來連線的時(shí)候，直接丟掉z坐標(biāo)就可以了，這樣就有了一個(gè)立體圖形的正投影。

那么連線怎么連呢？這個(gè)就很簡單了，比如如果是一個(gè)平面的話，假設(shè)這個(gè)平面是{{-1,-1,-1},{1,-1,-1},{1,1,-1},{-1,1,-1}}這4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的一個(gè)面，然后你一個(gè)點(diǎn)連接下一個(gè)點(diǎn)連接下一個(gè)點(diǎn)就是了，比如這個(gè)你就連成m -1 -1 l 1 -1 l 1 1 l -1 1即可，對(duì)吧，也就寫個(gè)簡單代碼的事：

還有就是，因?yàn)樾D(zhuǎn)等等這些操作算出來的點(diǎn)可能有很多位小數(shù)，所以在連線之前，肯定要把table里的數(shù)字取舍一下，這里直接取一位小數(shù)了，所以我這個(gè)函數(shù)庫生成的立體投影最多一位小數(shù)。這個(gè)函數(shù)很明顯，輸入的是一個(gè)平面，也就是一個(gè)裝有很多點(diǎn)的兩層table，然后遍歷這個(gè)平面的每一個(gè)點(diǎn)，然后再遍歷每個(gè)點(diǎn)的x、y、z坐標(biāo)，對(duì)它們進(jìn)行取舍。

然后再是連線的操作：

這個(gè)連線的函數(shù)，用前面提到的“一眼法”就能知道，輸入的是一個(gè)平面，然后points_int函數(shù)把這個(gè)平面的每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都取舍一下(int當(dāng)然指整數(shù)，但是我這里就是指保留1位小數(shù)，請(qǐng)不要揍我)，然后再開始連線，遍歷每個(gè)點(diǎn)，只把x和y坐標(biāo)連起來，z坐標(biāo)直接不連、也就是直接丟掉z坐標(biāo)，最后返回的字符串s就是這個(gè)平面在屏幕上的投影了,就是一個(gè)繪圖代碼了。“一眼法”萬歲！

除開點(diǎn)的變換、模型的建立、最后的連線，還有一點(diǎn)需要提一下，就是“層數(shù)”問題，比方說，一個(gè)正方體一共有6個(gè)面，你不能讓這6個(gè)面的層數(shù)都是0吧，因?yàn)槟菢拥脑捑椭卦谝黄鹆耍雌饋砭筒粫?huì)是一個(gè)正方體了。正方體6面，實(shí)際上不論怎么轉(zhuǎn)怎么動(dòng)，你最多只能看到3個(gè)面對(duì)吧，這意味著當(dāng)你應(yīng)該要看到3個(gè)面的時(shí)候，就要讓你能看到的面在上層，比如讓它們層數(shù)為1，而不能看到的面就要在下層、層數(shù)為0，所以你還需要計(jì)算立體圖形在某個(gè)角度時(shí)的層數(shù)，

因?yàn)橛羞@空間的前后遮擋關(guān)系，所以你要讓在上層的平面的層數(shù)比在下層的平面的層數(shù)大，這樣才能看到正確的投影。

對(duì)于凸多面體而言，只需要找到其內(nèi)部的一點(diǎn)（只要能保證這一點(diǎn)在凸多面體內(nèi)部即可），就可以計(jì)算層數(shù)了。遍歷凸多面體的每個(gè)面，利用叉乘求出這個(gè)面的法向量，但是法向量只不過是垂直于這個(gè)平面而已，法向量的朝向是有兩種可能的，此時(shí)，就要用我們剛剛找到的凸多面體內(nèi)部的一點(diǎn)了，為了“修正”你這個(gè)平面的法向量的方向，用這個(gè)內(nèi)部的點(diǎn)和這平面上的某一點(diǎn)連線（比如和這個(gè)平面的頂點(diǎn)1連線、比如和這平面的頂點(diǎn)2連線等等），然后設(shè)定一個(gè)向量向量的方向是內(nèi)部點(diǎn)開始到平面某點(diǎn)上結(jié)束，這樣的話，計(jì)算一下這個(gè)向量和開始得到的法向量的夾角，如果夾角大于90就將法向量的方向反向，這樣就得到了“修正”后的平面的法向量了然后，每個(gè)面都用這種方式得到它們的法向量，利用這些法向量的朝向就能設(shè)定各個(gè)面的層數(shù)了。法向量的z坐標(biāo)大于0的就是上層的、法向量的z坐標(biāo)小于0的就說明在下層。（其實(shí)這個(gè)道理很簡單，凸多面體內(nèi)部的一點(diǎn)到某平面的方向就說明了平面在下層或上層，比如你這內(nèi)部點(diǎn)要往下走才能最后走到這個(gè)平面(走的路徑垂直于平面)，那自然說明這個(gè)平面是下層的，反過來，若你這內(nèi)部點(diǎn)要向上走(走的路徑垂直于平面)，最后才能走到這平面，那當(dāng)然說明你這個(gè)平面是上層的。所以，求出平面的法向量以后，就要根據(jù)內(nèi)部點(diǎn)到那個(gè)平面的向量的方向來“修正”法向量的方向，讓法向量和你這內(nèi)部點(diǎn)到平面的向量的方向一樣，這樣法向量的方向自然就能代表你這個(gè)平面的方向了，自然就能設(shè)定層數(shù)了）

這樣的話，就算是介紹了一下3D函數(shù)庫里面基本的構(gòu)建。代碼之類的就在后面的視頻介紹