今天我們來對(duì)重要的”效用函數(shù)“做幾點(diǎn)補(bǔ)充，以期建立大家對(duì)它更立體的認(rèn)知。

在Ep5中，老碧簡(jiǎn)要摘取了，“效用函數(shù)”這一節(jié)的數(shù)學(xué)相關(guān)要點(diǎn)，有心的同學(xué)一定對(duì)照著“高數(shù)”教材試著理解了。

注：注意粉色字體。

“效用函數(shù)?

? （復(fù)習(xí)第2頁(yè)效用的定義，書中取“偏好關(guān)系”的定義。復(fù)習(xí)第一頁(yè)“偏好”的定義，有條件，可行的，最優(yōu)的選擇。）

定義域：消費(fèi)集?

值域：一個(gè)實(shí)數(shù)集?

書中函數(shù)關(guān)系：實(shí)數(shù)集里面兩個(gè)元素的序的關(guān)系與其對(duì)應(yīng)的消費(fèi)集的元素的序的關(guān)系相同?

簡(jiǎn)言之，偏好大，購(gòu)買量大，偏好小，購(gòu)買量小。

數(shù)學(xué)模型：一個(gè)定義在消費(fèi)集里的單調(diào)函數(shù)。（這句話是這篇文章里面唯一的信息點(diǎn)，后文會(huì)解釋這個(gè)模型的優(yōu)勢(shì)在哪里！老碧這個(gè)笨蛋，想了好久才想明白。想清楚立刻就分享出來了。希望對(duì)大家有用。）

注:消費(fèi)集是n維向量集，固對(duì)應(yīng)《高等數(shù)學(xué)》的多元函數(shù)知識(shí)。

邊際效用

偏導(dǎo)數(shù)而已。 （今天會(huì)從數(shù)學(xué)的角度詳細(xì)解釋邊際效用的“內(nèi)涵”。）

邊際替代率

微分方程。（這個(gè)主要是看懂那個(gè)數(shù)學(xué)過程，然后，就大概能理解這個(gè)定義了。）”

以下是闡釋：

Q1：為什么要有了以n元向量為元素的消費(fèi)集，還要定義效用函數(shù)？

A1：請(qǐng)問，n元向量比較大小更容易，還是數(shù)字比較大小更容易？——老碧這個(gè)裝逼怪，咿呀咿呀喲！

對(duì)于n元向量是沒有直接的比較大小的方式的，除非我們?cè)俣x一個(gè)關(guān)于向量的序（定義大于）在里面，那就太麻煩了，即”偏好關(guān)系“，如果覺得那個(gè)很簡(jiǎn)單親和的大神，我投降好了吧！

如果轉(zhuǎn)化為一個(gè)單調(diào)函數(shù)，那么向量集中元素的大小關(guān)系，就可以直接轉(zhuǎn)化成最最基礎(chǔ)的數(shù)值比較，是一種提高運(yùn)算效率和簡(jiǎn)潔度的轉(zhuǎn)化方式。

思考：所謂的函數(shù)，初等認(rèn)知會(huì)認(rèn)為是一種描述變化的方式，然而更抽象的方式，可以看作一種轉(zhuǎn)化。而利用一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)，去做一些轉(zhuǎn)化，就可以降低許多思維上的復(fù)雜度。

Q2：邊際效用究竟是什么？

A2：我們知道，”消費(fèi)集“的成員是n元向量，每一個(gè)向量的坐標(biāo)又是每件商品的計(jì)劃消費(fèi)量。效用函數(shù)則是利用函數(shù)把復(fù)雜的n元向量比較的問題，轉(zhuǎn)化為數(shù)值比較問題。弊端就是，原本一眼可以看到的計(jì)劃消費(fèi)量，無法從這個(gè)數(shù)值上看出來。為了解決這個(gè)問題——了解一件商品對(duì)一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃的貢獻(xiàn)大小——我們引入了”偏導(dǎo)數(shù)“這個(gè)工具。

”偏導(dǎo)數(shù)“的算法很簡(jiǎn)單——n件商品就是向量中n個(gè)坐標(biāo)，也可以理解成這個(gè)函數(shù)的自變量有n個(gè)，我們單獨(dú)求函數(shù)對(duì)其中一個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)，所以要做的就是假如我們求關(guān)于x1的”偏導(dǎo)數(shù)“，就要把x2，……，xn都當(dāng)作常數(shù)，按照一元函數(shù)求導(dǎo)的方式計(jì)算就好了。

所謂的邊際效用，就是一件商品對(duì)整個(gè)消費(fèi)計(jì)劃的貢獻(xiàn)值——即影響大小。

思考：在做幾個(gè)因素共同影響的事件的實(shí)驗(yàn)分析中，我們都可以引入”偏導(dǎo)數(shù)“的模型，來研究其中一個(gè)因素對(duì)該事件的影響。

Q3：邊際替代率是什么意思？

這個(gè)涉及到一點(diǎn)多元函數(shù)求導(dǎo)的知識(shí)。我們明天再聊！

今天就到這里。