第四季的第二個(gè)任務(wù)來了，這次主要復(fù)習(xí)第二季中的黃金螺線與向日葵。這個(gè)題目是當(dāng)初我是在交互型網(wǎng)站 mathigon 看到這課件（可參考這文章?“數(shù)學(xué)太抽象了！”這個(gè)可操作的互動(dòng)課本mathigon，會(huì)讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有什么不一樣？）。我看了這課件才了解，向日葵上花粉點(diǎn)的分布，原來與黃金螺線有關(guān)系。當(dāng)時(shí)就想可否用 GGB 來呈現(xiàn)，讓自己深入探究。開始動(dòng)手作后，發(fā)覺很簡(jiǎn)單，只要6行就可以。

學(xué)習(xí)目標(biāo)與技能

在這小節(jié)，你將知道，等角螺線上的點(diǎn)可用極坐標(biāo)來表示（t*a; t*theta)。要呈現(xiàn)這個(gè)，我們使用了三個(gè)方式。一是用點(diǎn)坐標(biāo)。二是將之連續(xù)化為曲線，三是再將他離散化為序列。呈現(xiàn)這個(gè)圖形后，改變角度參數(shù)作探究，也將看到黃金比例與花粉點(diǎn)分布的關(guān)系。

在 Geogebra 部分總結(jié)為以下個(gè)技能點(diǎn)：

1. 用極坐標(biāo)來表示點(diǎn)

2. 使用 Curve 來呈現(xiàn)曲線

3. 使用 Sequence 來表示點(diǎn)列

學(xué)習(xí)內(nèi)容

用極坐標(biāo)來表示點(diǎn)

在 Geogebra 內(nèi)，使用? (1, 1.732)?時(shí)，表示 xy 坐標(biāo)的點(diǎn)。而這個(gè)點(diǎn)可用極坐標(biāo)? (r ; θ) 的格式來寫為 (2; 60°) 或 (2;pi/3) 。也就是用 ; 時(shí)，第一個(gè) r=2 表示到原點(diǎn)距離為 2 ，第二個(gè)則是此點(diǎn)與原點(diǎn)連線段與 x 軸正向的夾角 θ=60°。

但要注意，使用極坐標(biāo)時(shí)，預(yù)設(shè)為弧度。所以用角度時(shí)需要加個(gè)表示度的小圈 °?；蛘呤褂?*pi/180 來轉(zhuǎn)換。?在這視頻中，先繞過角度?° 的輸入，而用??*pi/180?的方式。

在這個(gè)使用 P=(n*d; n*a) 來表示螺線的第 n 個(gè)點(diǎn)，其中包含 d, a 參數(shù)。主要是螺線的結(jié)構(gòu)是一邊往外跑一邊轉(zhuǎn)彎。d 表示每次與原點(diǎn)的距離的增加量，而 a 是角度的增加量。因此，隨著 n 的變大，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，也繞越多圈。

將點(diǎn)的軌跡顯示，并用曲線來描述路徑

為了將過程顯示，可以對(duì)點(diǎn)開啟【顯示蹤跡】，這樣就會(huì)記錄過程。雖然 P=(n*d; n*a*pi/180) 可看到隨著 n 的變大的，點(diǎn)在往外繞的感覺。但是，每次跳動(dòng)太大，沒什么連續(xù)變化的感覺。在這引入 [曲線 Curve] 的指令。

如下圖，在曲線的指令分為四個(gè)部分，先是點(diǎn)坐標(biāo)，再來是參數(shù) t, 接著是參數(shù) t 的范圍從 1 到 n 。使用曲線時(shí)，t 為連續(xù)變化，也就是會(huì)經(jīng)過 0.01，0.02，.... ，這樣就形成一個(gè)連續(xù)到曲線形狀。(P.S. 用坐標(biāo)形式輸入 Curve 會(huì)自動(dòng)轉(zhuǎn)為 CurveCartesian 。)

當(dāng)完成后就可看到軌跡是個(gè)很像同心圓，但實(shí)際是不斷外繞的圓形曲線。?使用 Curve 指令就可達(dá)到連續(xù)變化的效果。

將點(diǎn)列以離散的方式來呈現(xiàn)

若只想保留 n 為整數(shù)時(shí)所對(duì)應(yīng)的所有點(diǎn)，這時(shí)就要用 [序列 sequence]。將 Curve 改為 Sequence 時(shí)，就只會(huì)留下離散的點(diǎn)。

最終呈現(xiàn)的結(jié)果如下：可看到在曲線上往外長(zhǎng)的點(diǎn)列。

探究思考

大家可以去調(diào)整角度參數(shù) a 來觀察圖形的變化。例如，下圖為 a=60, a=61的情況。當(dāng)角度不是 360 的因數(shù)時(shí)，就會(huì)呈現(xiàn)螺線狀。

對(duì)于左旋與右旋的觀察也可以比較 a=89, a=91 的情況。當(dāng) 4 次的旋轉(zhuǎn)角度稍小于 360 時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)落后而造成右旋的情況。

當(dāng)然在這，就重要的旋轉(zhuǎn)角度就是 360*0.618 = 222.5 ，其中的 0.618 就是黃金比例。在這角度有什么特性呢？這時(shí)，每個(gè)花粉點(diǎn)的距離是最分散的。實(shí)在是配合大自然的設(shè)計(jì)，也贊嘆這黃金比例之美。

相關(guān)連接

【GGB】https://www.geogebra.org/m/ha83vpms#material/hknpqgnx

【Bili】https://www.bilibili.com/video/av50700099

【YouTube】 https://www.youtube.com/playlist?list=PLXH05kw-i_5JqugeI121CkeCk4U3vZyC2

【參考】mathigon Sequence Fibonacci https://mathigon.org/course/sequences/fibonacci