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S4E21 Python 數(shù)列與Pi 的探究（下）

2022-03-01 08:57 作者:學(xué)用數(shù)學(xué) 0人讀過(guò) | 我要投稿

這一節(jié)接續(xù)上節(jié)?S4E15 Python 數(shù)列與Pi 的探究（上）的課程來(lái)作數(shù)列的探究。本節(jié)主要學(xué)會(huì) for-loop 的回圈，并以計(jì)算以下數(shù)列作為案例探究：

你將學(xué)會(huì)

程式語(yǔ)法

1. 使用 for-loop 結(jié)構(gòu)

2. 了解格式化輸出

3. 利用 import math 來(lái)

4. 利用?import?matplot.pyplot 來(lái)繪制折線圖

數(shù)學(xué)與思維

1. 了解數(shù)列有收斂與發(fā)散兩種情況

2. 能探究數(shù)列收斂的情況

3. 知道?π 的逼近式

使用指引說(shuō)明

若你是第一次使用，請(qǐng)先參考這以下文章來(lái)熟悉 Kesci 的界面

S4E01 Python入門：Kesci 平臺(tái)與 Python 基本語(yǔ)法

S4E07 你可以幾次可以猜到答案？
本節(jié)課主要接續(xù)以下內(nèi)容，請(qǐng)先完成以下鏈接的任務(wù)。

S4E15 Python 數(shù)列與Pi 的探究（上）
當(dāng)熟悉kesci基本操作后可打開(kāi)如下鏈接，點(diǎn)選 Fork 進(jìn)入學(xué)習(xí)

https://www.kesci.com/home/project/5df4ebc42823a10036abd20a
關(guān)于本次課程的視頻如下：

5. 本節(jié)課主要接續(xù)以下內(nèi)容，請(qǐng)先完成以下的任務(wù)：

內(nèi)容摘要

3?用?for-loop 回圈

在前一節(jié)用 list 的 for 結(jié)構(gòu)：[k for k in range(10)] 來(lái)制造計(jì)算等差數(shù)列，但如果數(shù)列的結(jié)構(gòu)更復(fù)雜一些，這一層的 list 表示式就不太方便。這時(shí)就需要引入for-loop 回圈的結(jié)構(gòu)來(lái)計(jì)算下列三角垛的數(shù)量。

通過(guò)以下代碼，在第4行，會(huì)顯示第 i 層三角數(shù)的數(shù)量。并通過(guò)第 5 行的 sum += 來(lái)累計(jì)數(shù)量，通過(guò)一次 for 回圈，就可取得n層三角垜的總數(shù)。

ans = 0

n = 10for i in range(1,n+1): ? ?

print(i, sum([k for k in range(1,i+1)])) ? ?

ans += sum([k for k in range(1,i+1)])print(ans)

比較有趣的是對(duì)上述的數(shù)量，其總和有個(gè)一般式的計(jì)算式。而其結(jié)果還可類推到 n 維空間的三角垜。

4.import math 與 pi 的探究

在此節(jié)主要引入數(shù)學(xué)函式庫(kù) import math 來(lái)觀察驗(yàn)證一些知名數(shù)列的收斂與發(fā)散的情況。例如，以下這個(gè)調(diào)和數(shù)列，雖然此數(shù)列是發(fā)散，但這數(shù)列 n 項(xiàng)的總和與 log(n)?是很接近的。我們可通過(guò)以下代碼，來(lái)觀察在不同 n 值下，其趨近的關(guān)系。

對(duì)于調(diào)和數(shù)列，若將分母都改為平方，此時(shí)這個(gè)數(shù)列就會(huì)收斂。而其收斂值與 π?竟然有關(guān)。

對(duì)于π的近似值，Leibniz 的近似公式也相當(dāng)有名。用奇數(shù)的調(diào)和交錯(cuò)數(shù)列的和竟然也與 π有些關(guān)聯(lián)。

在先前的數(shù)列都是以累加的形式出現(xiàn)，下面這個(gè)沃利斯在 1665 年發(fā)現(xiàn)也可以用連乘積的方式來(lái)得到?π?的近似值。而對(duì)于這個(gè)數(shù)列近似值的計(jì)算方式就與上面連加的形式不同，而是用遞回的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)。