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S5R2 動(dòng)點(diǎn)面積與函數(shù)圖象

2022-02-26 12:58 作者:學(xué)用數(shù)學(xué) 0人讀過 | 我要投稿

分析圖形上面積與動(dòng)點(diǎn)位置的函數(shù)圖像關(guān)系是中考常見的題型。我喜歡這類問題，主要因這題目體現(xiàn)了函數(shù)中對(duì)變量的直觀感受。那要如何用 GGB 來演示這問題呢？其關(guān)鍵就在于利用 Locus指令。

這次的選題由東莞 2018 中考改編，在四邊形的三邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，此動(dòng)點(diǎn)與一底邊構(gòu)成一個(gè)三角形，要去探究三角形的面積與動(dòng)點(diǎn)位置的關(guān)系。對(duì)于這個(gè)動(dòng)點(diǎn)與函數(shù)圖像的關(guān)系，用 Geogebra 來呈現(xiàn)其變化的函數(shù)圖像如下。

? ? ? ?

你將學(xué)會(huì)

利用?{? , , } 來匯整多路徑
使用多層的 If 來處理分段的動(dòng)點(diǎn)
利用 Locus 來繪制函數(shù)圖像

操作指引

此視頻的學(xué)習(xí)主要分三部分，第一部分是繪制圖像，并讓動(dòng)點(diǎn)在三段路徑移動(dòng)。第二是利用『分段函數(shù)』來顯示 P 點(diǎn)在三條邊上以不同的速度在移動(dòng)。第三部分是將時(shí)間與三角形的面積構(gòu)成點(diǎn) F 的 x,y 座標(biāo)，而 F 的軌跡就成為面積隨時(shí)間而變的函數(shù)圖像，要觀察 F 的軌跡，就要使用 Locus 指令。讓我們可以觀察在不同速度與邊長(zhǎng)的調(diào)整，其面積的函數(shù)圖像的改變。

1. 建立分段上的動(dòng)點(diǎn)

建一個(gè)平形四邊形，并讓有一點(diǎn)再三邊上移動(dòng)。

問：如何建邊長(zhǎng)可調(diào)整的平行四邊形

答：?設(shè)置參數(shù)? sAB = 3, sBC = 2, 設(shè)置角 CBA 的大小為 aCBA = pi/3 。

答：接著用這些參數(shù)設(shè)定 B,C,A 三點(diǎn)，接著令? D=C+A-B ，來確保 ABCD 是平行四邊形。

sAB=Slider(1,5,0.1)

sBC=Slider(1,5,0.1)

aCBA=pi/3

B=(0,0)

C=(sBC,0)

A=(sAB;aCBA)?

D=C+A-B

plABCD=Polygon(A,B,C,D)

問：如何讓 P 點(diǎn)在四邊形上動(dòng)？并建立三角形 PDA 。

答：先用集合取得三段路徑，再利用 Point 讓點(diǎn)在路徑上上移動(dòng)。?接著使用 polygon 來建立三角形。

path={Segment(A,B),Segment(B,C),Segment(C,D)}

P=Point(path)

plPDA=Polygon(P,D,A)

2.?用分段函數(shù)調(diào)整三段的速度

本段的主要效果就是可調(diào)整點(diǎn)在不同線段的移動(dòng)速度。在實(shí)作上，使用 If 來達(dá)成分段函數(shù)來達(dá)成這效果。

? ? ? ?

問：如何決定三段移動(dòng)的時(shí)間？

答：先用滑動(dòng)條建立三段的速度參數(shù)?va=1, vb=2, vc=2。再用距離除以速度，來取得三段的時(shí)間。

va=Slider(1,3,0.1)

vb=Slider(1,3,0.1)

vc=Slider(1,3,0.1)

ta=Segment(A,B)/va

tb=Segment(B,C)/vb

tc=Segment(C,D)/vc

問：如何控制點(diǎn) P 在 AB 上移動(dòng)？

答：要讓 P 從 A 移動(dòng)到 B，可寫成 P =? A + pt*(B-A)，其中 pt 是從 0 到 1。

問：如何讓時(shí)間 t 從 0 到 ta 時(shí)，所對(duì)應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)參數(shù) pt 的值會(huì)從 0 到 1。

答：令 pt = t/ta ，這樣 t=ta 時(shí)， pt= ta/ta = 1。

t=Slider(0,ta+tb+tc,0.1)? ?#時(shí)間滑動(dòng)條

pt=t/ta

P=A+pt*(B-A)

問：如何讓 t 在?[ta, ta+tb] 這個(gè)時(shí)間段時(shí)，使得 P 從 B 到 C 呢？

答：P 從 B 到 C 的寫法也是 P =? B + pt*(C-B)。但要讓 t 在[ta,ta+tb] 對(duì)應(yīng)到 [0,1] 。先考慮 t-ta 在?[0,tb]，接著再轉(zhuǎn)換為 Pt = (t-ta)/tb 在 [0,1]?。

問：那如何處理這個(gè)兩段的情況呢？

答：這就是分段函數(shù)的概念了。要實(shí)現(xiàn)這個(gè)分段的效果，就要用 If 來達(dá)成。If 的語(yǔ)句有三部分 If(判斷式, 判斷為真的結(jié)果, 判斷為假的結(jié)果)?

pt?=?If(?t<?ta,?t/ta,?(t-ta)/tb)

P?=?If(t<ta,?A+ pt*(B-A),?B+pt*(C-B))

問：如何讓 t 在?[ta+tb, ta+tb+tc] 這個(gè)時(shí)間段時(shí)，使得 P 從 C 到 D 呢？

答：P 從 C 到 D 的寫法是 P =? C + pt*(D-C)。但要讓 t 在[ta+tb,ta+tb+tc] 對(duì)應(yīng)到 [0,1] 。先考慮 t-ta-tb 在?[0,tc]，接著再轉(zhuǎn)換為 Pt = (t-ta-tb)/tc 在 [0,1]?。

問：那這時(shí)有三個(gè)分段該如何實(shí)現(xiàn)呢？

答：可用兩層 If，例如 If( t<ta, ..., If(t<tb,...., ....))。

答：但這個(gè)多層的寫法，括號(hào)太多， GGB 還有個(gè)更簡(jiǎn)潔的寫法為 If(t<ta, ..., t<tb,...., ....)?可用 If 內(nèi)的多個(gè)參數(shù)的結(jié)構(gòu)來取代掉多層 If。

pt?=?If(t<ta,?t/ta,?t<ta+tb,?(t-ta)/tb,?(t-ta-tb)/tc)

P?=?If(t<ta,?A+pt*(B-A),?t<ta+tb,?B+pt*(C-B),?C+pt*(D-C))

通過這個(gè)就多重判斷，就可達(dá)到這分段的效果。

3. 用 Locus 來繪制函數(shù)圖像

有了動(dòng)點(diǎn)后，接著就要將面積與動(dòng)點(diǎn)的時(shí)間作關(guān)聯(lián)來繪制函數(shù)圖像。

問：要繪制函數(shù)圖像，先確認(rèn) x 與 x 是什么？

答：在這 x 是 t，y 是三角形 PDA 的面積。因此，建立動(dòng)點(diǎn) F=(t,plPDA)。但為了要讓這圖在繪圖區(qū)2 出現(xiàn)，需先在視圖中開啟繪圖區(qū)2。

問：如果圖象跑到[繪圖區(qū)]，該如何調(diào)回[繪圖區(qū)2]呢。

答：點(diǎn)選右鍵選單的[設(shè)置]，從[高級(jí)]的[位置]勾選[繪圖區(qū)2]。

問：如何保留函數(shù)動(dòng)點(diǎn)的軌跡呢？

答：利用 Locus 來保留軌跡。Locus 的第一個(gè)參數(shù)為動(dòng)點(diǎn) F，第二個(gè)為滑動(dòng)桿 t。

LF?= Locus(F,t)?

問：如何插入題目？

答：利用文本來增加文字。在輸入時(shí)選取 LaTeX 模式來轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)式。其中 \triangle ?會(huì)顯示，而 \\ 表示換行。

【2018?東莞?-10?改編】\\

從 A 往 B 再經(jīng) C 到 D 。\\

點(diǎn)?P?是四邊形?ABCD?邊上一點(diǎn)，\\

若移動(dòng)時(shí)間為?x?,?\triangle?APD?的面積為?y，\\

則 y 對(duì)於 x 的函數(shù)圖像為何？\\

(左方參數(shù)調(diào)整速度與邊長(zhǎng))