【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)30】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識(shí)：
數(shù)列l(wèi)im n^（1/n）=1，lim a^（1/n）=1，a>0；
收斂數(shù)列{an}極限為a，則an=a+ɑn，其中{ɑn}為一個(gè)無(wú)窮小；
收斂數(shù)列必有界；
有限個(gè)無(wú)窮小的和還是無(wú)窮??；
有界數(shù)列乘以無(wú)窮小的積還是無(wú)窮小；
設(shè)lim an=a，則lim（a1+a2+……+an）/n=a；
設(shè)lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；
設(shè)lim（a1+a2+……+an）=A，lim（a1+2a2+……+nan）/n=0；
設(shè)lim（a1+a2+……+an）=A，lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.
定比分點(diǎn)：在線段P1P2上求一點(diǎn)P，使得由P分成的兩個(gè)有向線段P1P與PP2的量的比為定數(shù)λ（λ不為-1），即P1P/PP2=λ，則P為線段P1P2以λ為定比的分點(diǎn)，且OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）——定比分點(diǎn)公式。
矩陣乘法運(yùn)算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級(jí)矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對(duì)應(yīng)的行列式。
矩陣對(duì)應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；
設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）為單位矩陣i，j行對(duì)調(diào)——
方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A
方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）
矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級(jí)矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。
定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對(duì)稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反對(duì)稱矩陣。
定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。
矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強(qiáng) 編著）
《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來(lái)自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強(qiáng)?編著）》）——
試求下述數(shù)列{an}的斂散性：an=（bn+bn^2+……+bn^m-m））/（bn-1）（bn不為1，lim bn=1）
解：
已知m次方差公式：（bn^m-1）=（bn-1）[bn^（m-1）+bn^（m-2）+……+1]；
an
=（bn+bn^2+……+bn^m-m））/（bn-1）
=[（bn-1）+（bn^2-1）+……+（bn^m-1）]/（bn-1）
={（bn-1）+（bn-1）（bn+1）+……+（bn-1）[bn^（m-1）+bn^（m-2）+……+1]}/（bn-1）
=1+（bn+1）+……+[bn^（m-1）+bn^（m-2）+……+1]
lim?bn=1，則
lim?an
lim{1+（bn+1）+……+[bn^（m-1）+bn^（m-2）+……+1]}
=1+（lim bn+1）+……+[lim?bn^（m-1）+lim?bn^（m-2）+……+1]
=1+2+……+m=m（1+m）/2.
解析幾何——
例題（來(lái)自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——
對(duì)于不共線的兩個(gè)向量a，b，證明（axb）^2=a^2b^2-（ab）^2.
證：
由外積定義，有（axb）^2=|axb|^2=a^2b^2*sin∠（a，b）^2；
由內(nèi)積定義，有（ab）^2=|ab|^2=a^2b^2*cos∠（a，b）^2；
所以有：（axb）^2=a^2b^2-（ab）^2.
高等代數(shù)——
例題（來(lái)自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——
證明：設(shè)A是n級(jí)矩陣，則|AA'|=|A|^2.
證：|AA'|=|A||A'|=|A|^2.
到這里！
