題一、
已知x/(x2?3x+1)=1，求4x?1/(x??9x2+1)

分析題目
分析題目，已知的一元分式代數(shù)式，值為1，所求分式代數(shù)式最高次為四次，這種題目我們常規(guī)思路必然是建立合適的降冪等式來解題，哪種降冪等式合適呢，那我們先把可能的降冪等式都列出來，然后通過分析所求看具體需要哪個(gè)降冪等式，據(jù)此我們首先來分析已知，

考慮到X不可能為0，直接倒轉(zhuǎn)分子分母即得到，
(x2?3x+1)/x=1

拆分分子后得到，
x?3+1/x=1

將常數(shù)4移到等號(hào)右邊，得到，
x+1/x=4

這樣我們得到一個(gè)X自倒數(shù)和的降冪等式，接著我們繼續(xù)轉(zhuǎn)換已知條件，直接去分母后得到，
(x2?3x+1)=x

移項(xiàng)后得到x2=4x?1，這樣我們得到一個(gè)二次與一次等價(jià)的降冪等式，據(jù)此我們來求解所求的代數(shù)式，即，
(4x?1)/(x??9x2+1)

可以看出分子是否逆向操作直接升次為二次，因?yàn)樗挝覀儎偛沤⒌慕祪绲仁酵耆恢?，升次后，剛好可以分子分母同時(shí)除以X方，直接可以構(gòu)造分母的X方自倒數(shù)何出來，完美的思路，據(jù)此，我們直接對分子升次得到，
(4x?1)/(x??9x2+1)=x2/(x??9x2+1)

然后分子分母同時(shí)除以X方，得到，
(4x?1)/(x??9x2+1)=1/x2?9+1/x2

可以看出分母有一個(gè)X方的自倒數(shù)和，那我們利用自倒數(shù)和的特性，直接湊X自倒數(shù)和的完全平方式，即得到，
(4x?1)/(x??9x2+1)=1/(x+1/x)2?2?9

則代入我們剛開始求得的x自倒數(shù)和的值4，即得到，
(4x?1)/(x??9x2+1)=1/42?2?9

最后算得
(4x?1)/(x??9x2+1)=1/5

參考答案