更新至P17

P2、初高中銜接基礎(chǔ)（十字相乘法、二次函數(shù)、不等式）

1.十字相乘法

條件：二次項(xiàng)系數(shù)a,一次項(xiàng)系數(shù)b,常數(shù)項(xiàng)c都得是整數(shù)

本質(zhì)：因式分解

舉例:

2.二次函數(shù)圖像

y = ax2 + bx + c , (a ≠ 0)

? a > 0, 開口向上; a < 0, 開口向下

? Δ: b2 - 4ac

?對稱軸公式： - b / 2a

3.二次方程（求根：用十字相乘法、求根公式、韋達(dá)定理）

?韋達(dá)定理

4.二次不等式

P3、乘法公式

1. ?平方差公式：a2 - b2 = (a - b) (a + b)
2. ?完全平方公式：(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
3. ?和立方公式：(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 【按照a的降次b的升次寫，系數(shù)用楊輝三角算】
4. ?差立方公式：(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 【系數(shù)符號正負(fù)交替出現(xiàn)】

楊輝三角：

5.

?立方差：a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

?立方和：a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

6.

?三數(shù)和的平方：(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

例題：

1.

解題思路：看a2 + b2 + c2 - ab -bc - ca 能用哪個(gè)公式

沒有平方相減，排除平方差

要出現(xiàn)了三次方的才用的上與立方有關(guān)的公式

所以只剩下(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 可以考慮

2.

我覺得其實(shí)化簡為

M = ( x2 + 1 + 2x ) ( x2 + 1 - 2x )

= ( x2 + 1 )2 - ( 2x )2

= ( x2 + 1 )2 - 4x2

N = ( x2 + 1 + x ) ( x2 + 1 - x )

= ( x2 + 1 )2 - ( x )2

= ( x2 + 1 )2 - x2

就可以了

然后，用做差法

M - N = ( x2 + 1 )2 - 4x2 - [ ( x2 + 1 )2 - x2 ]

= -4x2 + x2

= -3x2

因?yàn)閤≠0，所以x2為正，-3x2為負(fù)，M < N

其實(shí)，找出規(guī)律，知道用什么公式變形，答案就很容易出來了

3.

P4、絕對值相關(guān)問題（分類思想）

例題:

1.

2.

P5、二次函數(shù)中的a、b、c

y = ax2 + bx + c ( c ≠ 0)

a:

1. 控制開口 a > 0,開口向上 ; a < 0,開口向下
2. 控制Δ
3. 控制根

b:

?對稱軸： x = -b / 2a

c:

二次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是c

?Δ: b2 - 4ac

當(dāng)Δ > 0, 二次函數(shù)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)Δ = 0, 二次函數(shù)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)

當(dāng)Δ < 0, 二次函數(shù)與x軸沒有交點(diǎn)

?求根公式

?：a的大小對函數(shù)走勢的影響

a越大， 函數(shù)越陡峭（a > 0）

a越小，函數(shù)越平緩（a > 0）

在b變化時(shí)，對稱軸會左右平移

b越大，與軸的交點(diǎn)越靠上

例題：

1.

解題思路：將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)換為交點(diǎn)問題，根據(jù)“a越大，函數(shù)越陡”這個(gè)規(guī)律畫圖

2.

解題思路：

• 看圖，開口向上，所以a > 0
• 用對稱軸公式求出a和b的關(guān)系

• 看圖，c是與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以 c < 0

• 看圖，延長圖象，發(fā)現(xiàn)圖象和x軸有2個(gè)交點(diǎn)，所以b2 - 4ac > 0

• 看圖，因?yàn)閷ΨQ軸與兩個(gè)交點(diǎn)的距離相等，已知對稱軸和右邊交點(diǎn)的位置，可以求出左邊交點(diǎn)

• 9a - 3b + c = 0, 可以將零點(diǎn)代入，可證為真
• 開口向上時(shí)，距離對稱軸越遠(yuǎn)，y值越大

3.

解題思路：

• 頂點(diǎn)在對稱軸上，如果要保證頂點(diǎn)的y值大于其他兩個(gè)y值，那么函數(shù)開口要向下，所以a < 0
• 看題， y? ≥ y? > y?，也就是說 y? > y?，（-6，y? ）離對稱軸要近一些
• 求出-6和2的中點(diǎn)是-2，對稱軸要偏向-6，那就要小于-2

P6、含參一元二次不等式函數(shù)相關(guān)問題

考點(diǎn)：

1. 最值 -- 要確定開口方向，畫圖

2. 根的分布 -- 畫圖，看端點(diǎn)

3. 不等式 -- 畫圖

例題：

1.

（1）解題思路，將a代入得y = x2 - 4x + 3

• 化簡：

y = x2 - 4x + 3

= [ x2 - 4x + 3 + 1] - 1

= (x -2)2 - 1

• 畫圖：

對于怎么畫出這個(gè)圖的，我的理解是：

先畫y= (x -2)2 ,再向下平移一個(gè)單位。

（2）解題思路，用分類思想，分別畫出對應(yīng)的圖

• ① 用公式求出對稱軸

x = - b / 2a

= - ( -4a ) / 2a

= 2

• ② 先考慮開口向上（a > 0）的情況，開口向上時(shí)，離對稱軸越遠(yuǎn)，值越大。所以x = 4 時(shí)y在 區(qū)間內(nèi)最大

求出a值后，要驗(yàn)證是否符合一開始假設(shè)的 a > 0,符合才行

• ③ 再考慮開口向下（a < 0）的情況，開口向下時(shí)，離對稱軸越近，值越大。1 ≤ x ≤ 4 剛好包含對稱軸，那當(dāng)然是在頂點(diǎn)的時(shí)候值最大

2.

解題思路：

• x2 - 2ax + 1 的 二次項(xiàng)系數(shù)是1(大于0，開口向上)
• 根據(jù)“兩根分別在 ( 0, 1 )與 ( 1, 2 ) 內(nèi)” 畫圖

• 根據(jù)圖的內(nèi)容寫出不等式組，分別求出a

三個(gè)條件都要滿足，取重合部分

3.

(1) 解題思路:

題目說“有且只有一個(gè)零點(diǎn)”，那就是說 b2 - 4ac = 0,

將參數(shù)代入可得：(2m)2 - 4(3m + 4) = 0;

用十字相乘法可求出m的值

(2) 解題思路：

• 首先，函數(shù)開口是向上的（x2前面系數(shù)為正），
• 題目說“有兩個(gè)零點(diǎn)”，那就是說b2 - 4ac > 0,
• "零點(diǎn)均比-1大"，那就是說，對稱軸要大于-1，- ( 2m ) / 2 > - 1
• 而且-1 不在 兩個(gè)零點(diǎn)之間的區(qū)域， x = -1 時(shí)， y > 0

畫圖

• 把條件寫成方程式

• 分別求出結(jié)果，取都滿足的部分

4.

(1) 解題思路：

• ax2 + 3x + 2 > 0 的 解集是連續(xù)的，取中間，開口應(yīng)該向下（a < 0）

• 看圖，b和1就是 ax2 + 3x + 2 的兩個(gè)零點(diǎn)，所以將x = 1代入可得：

• 將a = -5 代回原式可得：

• 用十字相乘法解方程可求出另一個(gè)根

（2）解題思路：

• 先把不等式右邊的內(nèi)容全部移到左邊:

ax2 + 3x + 2 - (-ax - 1) > 0

ax2 + (3 + a)x + 3 > 0

用十字相乘法

• 由題 a > 0 ,可知 開口向上
• 根據(jù)兩個(gè)根（-1、-3 / a）的位置關(guān)系分類

------------------------------

------------------------------

P7、韋達(dá)定理相關(guān)問題

適用條件：

ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)， b2 - 4ac > 0

例題

1.

(1)解題思路：

題目說有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，也就是說Δ ≥ 0，可以等于0，等于零認(rèn)為是有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

(2)直接用韋達(dá)定理: x?+ x? = -b / a, x? * x? = c / a

2.

解題思路：

• 題目說，m是不小于-1的實(shí)數(shù) ，即 m ≥ -1
• 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，指明了“不相等”，即Δ ＞ 0

(1) 解題步驟，

• 先根據(jù)題目條件把Δ ＞ 0算出m的取值范圍

[2(m - 2)]2 - 4(-3m + 3) > 0

求得m < 1, 再根據(jù)m ≥ -1，得到m的取值范圍：-1 ≤ m < 1

• 然后，用韋達(dá)定理的變形公式：

x?2 + x?2 = (x? + x?)2 - 2x?x?

再根據(jù) x? + x? = -b / a, x? * x? = c / a 得：

(x? + x?)2 - 2x?x? = 6

[2(2 - m)]2 - 2(m2 -3m + 3) = 6

4(2 - m)2 - 2(m2 -3m + 3) = 6

4(22 - 2*2m + m2) - 2(m2 -3m + 3) = 6

4(m2 - 4m + 4) - 2(m2 -3m + 3) = 6

2(m2 - 4m + 4) - (m2 -3m + 3) = 3

2m2 - 8m + 8 - m2 + 3m - 3 - 3 = 0

2m2 - m2 -8m + 3m + 8 - 6 = 0

m2 - 5m + 2 = 0

• 用求根公式解出m的兩個(gè)根，結(jié)合由題目條件得出的m的取值范圍：-1 ≤ m < 1，其中一個(gè)大于1,舍去

(2)解題思路，

先通分，再用韋達(dá)定理

先將T化簡為 2 - 2m (m ≠ 0，m ≠ 1)

再根據(jù)題目條件m的取值范圍：-1 ≤ m < 1算出 2 - 2m 的取值范圍

m*-2, 乘負(fù)數(shù)，不等號的方向改變：

-1 * -2 ≥ -2*m > 1 * -2

2 ≥ -2m > -2

再加上2

2 + 2 ≥ 2 - 2m > -2 + 2

4 ≥ 2 - 2m > 0

即：0 < 2 - 2m ≤ 4

T = 2 - 2m (m ≠ 0，m ≠ 1)

把2 - 2m 換成T，由m ≠ 0得 T ≠ 2，m ≠ 1得 T ≠0

T ≠0 剛好不在算出的取值范圍內(nèi)，不用另外說明，T ≠ 2在算出的取值范圍內(nèi)，要另外說明，所以，最終結(jié)果：

0 < T ≤ 4 且 T ≠ 2

3.

(1)解題思路，根據(jù) k 是否等于 0分類(等于0時(shí)不是二次方程，不能用Δ的規(guī)律)

(2)直接用韋達(dá)定理的變形公式

P8、【集合】【一數(shù)辭典】1集合的基本定義與表示方法

研究對象：元素

元素所構(gòu)成的整體：集合

集合三大特性：確定性、互異性、無序性

集合寫法：一般用大寫

元素：一般用小寫

屬于符號：∈

不屬于符號：?

常用集合：

• 實(shí)數(shù)集：R 【Real，真實(shí)的】
• 有理數(shù)集：Q 【Quotient 商，除法所得的結(jié)果】
• 整數(shù)集： Z
• 正整數(shù)集：N? 或 N* (不包含0)
• 自然數(shù)集：N （包含0）【Natural】
• 無理數(shù)集：無符號

集合表示方法

• 列舉法（枚舉法）
• 描述法（左邊是元素，右邊的元素滿足的條件或共同特征）
• 區(qū)間法

P9、【集合】【一數(shù)辭典】2集合之間關(guān)系

• 子集：A?B, 如果A中的元素,B中全有，就稱之為：A是B的子集

• 真子集：A?B，A屬于B，并且存在x屬于B，但x不屬于A，就稱之為A是B的真子集（A不等于B）

• 空集:?, 空集是任何集合的子集

集合之間的關(guān)系

• 交集：∩, 它們共有的元素組成的集合
• 并集: ∪, 它們所有元素組成的集合
• 補(bǔ)集：C?A, A在全集U中的補(bǔ)集 [U中除A以外的其他元素組成的集合]

集合個(gè)數(shù)

• 子集個(gè)數(shù)：設(shè)集合的元素個(gè)數(shù)為n,則該集合的子集個(gè)數(shù)為2?個(gè)
• 非空子集個(gè)數(shù)：除開空集以外的其他子集 -- 2? -1個(gè)
• 真子集：不算和本身相等的那個(gè)集合 -- 2? -1個(gè)
• 非空真子集：非空：除去空子集，真子集：除去和本身相等的 -- 2? - 2個(gè)

P10、【集合】【一數(shù)辭典】3集合習(xí)題(從一到無窮大系列）

改條件：x∈Z, 求元素個(gè)數(shù)、子集個(gè)數(shù)

交并關(guān)系

補(bǔ)集：

P11、【集合】【考點(diǎn)精華】4集合的互異性相關(guān)問題（基礎(chǔ)）

1.

解題思路：抓住集合互異性，然后考慮a, a2 -a + 1不能取的值

分類討論：

• 首先看集合A：a ≠ 1，3, 看集合B ：a2 -a + 1 ≠ 1

a2 - a + 1 ≠ 1

a2 - a ≠ 0

a(a -1) ≠ 0

a ≠ 0，1

綜合：a ≠ 0, 1, 3 (這是后面分類討論的大前提)

2.

解題思路：求它們一一對應(yīng)相等就好了，有兩種組合，分類討論

前提：

集合A,根據(jù)互異性：3 + m ≠ 3, 3 + 5m ≠ 3，解得m ≠ 0,

集合B,根據(jù)互異性: 3p ≠ 3, 3p2 ≠ 3，3p ≠ 3p2 解得m ≠ ± 1, 0

分類討論：

P12、【集合】【考點(diǎn)精華】5集合相等的證明方法

1.

求三個(gè)集合的關(guān)系

解題思路：先通分

再用代入法預(yù)測：

將B變形，往C的形式湊，C有+1，B也再+1，加了之后要減去，湊成：

因?yàn)閚是整數(shù)，所以n-1也是整數(shù)，p能取到的整數(shù)，n-1也能取到，所以B = C

A和C：

6m 就相當(dāng)于3乘以一個(gè)偶數(shù)，而3p中p可以取任意整數(shù)，因此集合A只有集合C的一半，所以A?C

2.

解：

解題思路：證明A?B 且B ? A

（此題有點(diǎn)繞，不太理解）

后續(xù)：

①：A?B

A?B，A中的元素B中都有，B可以看作是所有偶數(shù)的集合，A可以看作是特定偶數(shù)的集合，當(dāng)（7m + 18n）= k時(shí)，A?B，（7m + 18n）可以等于 k,因?yàn)樗鼈兌际钦麛?shù)

②：B ? A

我們看集合B中的元素是否A中都有，要證明k = 7m + 18n有整數(shù)解，即求出m和n分別等于多少k才滿足式子

P13、【集合】【考點(diǎn)精華】6子集相關(guān)問題 （基礎(chǔ)）

1.

解題思路：找一個(gè)非常嚴(yán)格的分類依據(jù)

用P的元素個(gè)數(shù)來分類：

所以滿足條件的P集合：

{ a, b }、{ a, c }、{ a, d } 、{ a, b, c }、{ a, c, d }, { a, b, d }、{ a, b, c, d}

2.

不要忘記空集的情況

綜上：{k | k≤ 3/2 }

（如果不知道k的取值范圍，可以將前面3個(gè)關(guān)于k的取值范圍畫在數(shù)軸上，取兩個(gè)情況的并集）

3.

分類依據(jù)：從最小元素開始

有6個(gè)

P14、【集合】【考點(diǎn)精華】7集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算（基礎(chǔ)）（重要）

數(shù)軸適合用于給出區(qū)間范圍的集合

Venn圖適合給出一個(gè)一個(gè)元素(散點(diǎn))或元素未知的集合

1.

(1):根據(jù)題意畫圖

集合A：

集合B：

將a=2代入不等式

-----------------------------------

(2):根據(jù)a與1的位置關(guān)系分類：

當(dāng)a > 1, 時(shí)，a - 1 要在1的左邊才行

當(dāng)a = 1時(shí)，兩邊接上了，滿足條件

當(dāng)a<1時(shí)，a-1<1,畫出的圖和上面一樣，故也滿足調(diào)節(jié)

綜上 a∈（-∞，2]時(shí)，A∪B=R

2.

A:

中間深紅色部分

B:

兩邊都表示除了中間白色部分

C:

D：

等式左邊如C選項(xiàng)的圖，填滿紅色部分

等式右邊如上圖，除去中間填滿藍(lán)色的部分

P15、【集合】【補(bǔ)充】集合易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)（中檔）

• ∈是對元素而言的，但集合也可以作為另一個(gè)集合中的元素，
• ?是對于集合而言的

• 描述法與區(qū)間法

問：這兩個(gè)集合一樣嗎？

集合A，求的是能讓式子有意義的x的值

集合B：求的是式子有意義時(shí)y能取到的值

集合C：求滿足式子的坐標(biāo)點(diǎn)

• 有未知數(shù)的集合

記住描述法的核心：左邊的取值構(gòu)成了集合，右邊是對變量進(jìn)行的描述。

考到子集，不要忘記空集

集合相等、包含的問題。如果是小題，可以取一些值，通過求出的值來判斷，如果是證明的話，基本上都是用證明相互包含的方法

-----------------------------------------------

選B

------------------------------------------------------------

用列舉法，然后畫Venn圖

A 的部分取值：1， 3， 5，7，9，11

B的部分取值： 1，5，9

T ? S

選C

P16、【集合】【考點(diǎn)精華】8集合的新定義問題考點(diǎn)解析 (拔高）

1.

M - P：

A - B：

子集個(gè)數(shù)公式： 2?個(gè)，n為集合中元素個(gè)數(shù)

22 = 4，選D

2.

算出A的取值范圍：

再算出B的取值范圍：

用數(shù)軸表示A - B：

用數(shù)軸表示B - A：

（A - B）∪ （ B - A）：

選C

3.

將A1元素個(gè)數(shù)作為分類標(biāo)準(zhǔn)：

共27種

P17、【集合】【考點(diǎn)精華】9集合拓展訓(xùn)練（拔高）

1.

(1)

(2）

2.