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最近我們被客戶要求撰寫(xiě)關(guān)于時(shí)變向量自回歸（TV-VAR）模型的研究報(bào)告，包括一些圖形和統(tǒng)計(jì)輸出。

在心理學(xué)研究中，個(gè)人主體的模型正變得越來(lái)越流行。原因之一是很難從人之間的數(shù)據(jù)推斷出個(gè)人過(guò)程

另一個(gè)原因是，由于移動(dòng)設(shè)備無(wú)處不在，從個(gè)人獲得的時(shí)間序列變得越來(lái)越多。所謂的個(gè)人模型建模的主要目標(biāo)是挖掘潛在的內(nèi)部心理現(xiàn)象變化?？紤]到這一目標(biāo)，許多研究人員已經(jīng)著手分析個(gè)人時(shí)間序列中的多變量依賴關(guān)系。對(duì)于這種依賴關(guān)系，最簡(jiǎn)單和最流行的模型是一階向量自回歸（VAR）模型，其中當(dāng)前時(shí)間點(diǎn)的每個(gè)變量都是由前一個(gè)時(shí)間點(diǎn)的所有變量（包括其本身）預(yù)測(cè)的（線性函數(shù)）。

標(biāo)準(zhǔn)VAR模型的一個(gè)關(guān)鍵假設(shè)是其參數(shù)不隨時(shí)間變化。然而，人們往往對(duì)這種隨時(shí)間的變化感興趣。例如，人們可能對(duì)參數(shù)的變化與其他變量的關(guān)系感興趣，例如一個(gè)人的環(huán)境變化?？赡苁且环菪碌墓ぷ?，季節(jié)，或全球大流行病的影響。在探索性設(shè)計(jì)中，人們可以研究某些干預(yù)措施（如藥物治療或治療）對(duì)癥狀之間的相互作用有哪些影響。

在這篇博文中，我非常簡(jiǎn)要地介紹了如何用核平滑法估計(jì)時(shí)變VAR模型。這種方法是基于參數(shù)可以隨時(shí)間平滑變化的假設(shè)，這意味著參數(shù)不能從一個(gè)值 "跳 "到另一個(gè)值。然后，我重點(diǎn)介紹如何估計(jì)和分析這種類型的時(shí)變VAR模型。

通過(guò)核平滑估計(jì)時(shí)變模型

核平滑法的核心思想如下。我們?cè)谡麄€(gè)時(shí)間序列的持續(xù)時(shí)間內(nèi)選擇間隔相等的時(shí)間點(diǎn)，然后在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)估計(jì) "局部 "模型。所有的局部模型加在一起就構(gòu)成了時(shí)變模型。對(duì)于 "局部 "模型，我們的意思是，這些模型主要是基于接近研究時(shí)間點(diǎn)的時(shí)間點(diǎn)。這是通過(guò)在參數(shù)估計(jì)過(guò)程中對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行相應(yīng)的加權(quán)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。這個(gè)想法在下圖中對(duì)一個(gè)數(shù)據(jù)集進(jìn)行了說(shuō)明。

這里我們只說(shuō)明在t=3時(shí)對(duì)局部模型的估計(jì)。我們?cè)谧筮叺拿姘迳峡吹竭@個(gè)時(shí)間序列的10個(gè)時(shí)間點(diǎn)。紅色的一列w_t_e=3表示我們?cè)趖=3時(shí)估計(jì)局部模型可能使用的一組權(quán)重：接近t=3的時(shí)間點(diǎn)的數(shù)據(jù)得到最高的權(quán)重，而更遠(yuǎn)的時(shí)間點(diǎn)得到越來(lái)越小的權(quán)重。定義這些權(quán)重的函數(shù)顯示在右圖中。左圖中的藍(lán)色柱子和右邊相應(yīng)的藍(lán)色函數(shù)表示另一種可能的加權(quán)。使用這種加權(quán)，我們結(jié)合了更少的時(shí)間上接近的觀測(cè)值。這使我們能夠在參數(shù)中檢測(cè)到更多的 "時(shí)間可變性"，因?yàn)槲覀儗?duì)更少的時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行了平滑處理。然而，另一方面，我們使用的數(shù)據(jù)較少，這使得我們的估計(jì)值不太可靠。因此，選擇一個(gè)加權(quán)函數(shù)，在對(duì) "時(shí)變性 "的敏感性和穩(wěn)定的估計(jì)之間取得良好的平衡是很重要的。在這里介紹的方法中，我們使用了一個(gè)高斯加權(quán)函數(shù)（也稱為核），它是由其標(biāo)準(zhǔn)差（或帶寬）定義的。我們將在下面討論如何選擇一個(gè)好的帶寬參數(shù)。

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R語(yǔ)言估計(jì)時(shí)變VAR模型時(shí)間序列的實(shí)證研究分析案例

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加載和檢查數(shù)據(jù)

為了說(shuō)明估計(jì)時(shí)變VAR模型，我使用了12個(gè)情緒相關(guān)變量的ESM時(shí)間序列，這些變量每天最多測(cè)量10次，連續(xù)測(cè)量238天。這些問(wèn)題是 "我感到放松"、"我感到沮喪"、"我感到煩躁"、"我感到滿意"、"我感到孤獨(dú)"、"我感到焦慮"、"我感到熱情"、"我感到懷疑"、"我感到高興"、"我感到內(nèi)疚"、"我感到猶豫不決"、"我感到堅(jiān)強(qiáng)"。每個(gè)問(wèn)題都用7分的李克特量表回答，范圍從 "不 "到 "非常"。

我們看到數(shù)據(jù)集有1476個(gè)觀察樣本：

##?[1]?1476???12head(data)

time_data包含每個(gè)測(cè)量的時(shí)間信息。我們將利用測(cè)量發(fā)生的日期、測(cè)量提示和時(shí)間戳（time）。

選擇最佳帶寬

選擇好的帶寬參數(shù)的方法之一是在訓(xùn)練數(shù)據(jù)集上用不同的候選帶寬參數(shù)擬合時(shí)變模型，并在測(cè)試數(shù)據(jù)集上評(píng)估它們的預(yù)測(cè)誤差。此外，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的帶寬選擇可能需要相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間來(lái)運(yùn)行。因此，在本文中，我們只是將帶寬固定為已經(jīng)選擇的最佳值。

bandwidth?<-?.26

估計(jì)時(shí)變var模型

我們現(xiàn)在可以指定時(shí)間變化的VAR模型的估計(jì)。我們提供數(shù)據(jù)作為輸入，并通過(guò)type和level參數(shù)指定變量的類型以及它們有多少個(gè)類別。在我們的例子中，所有的變量都是連續(xù)的，因此我們?cè)O(shè)置type = rep("g")表示連續(xù)高斯。我們選擇用lambdaSel = "CV "的交叉驗(yàn)證法來(lái)選擇正則化參數(shù)，并且我們指定VAR模型應(yīng)該包括一個(gè)滯后期=1的單滯后期。參數(shù)bee和day提供了每個(gè)測(cè)量的日期和某一天的通知數(shù)量。此外，我們還提供了所有測(cè)量的時(shí)間戳，時(shí)間點(diǎn)=time，來(lái)說(shuō)明缺失的測(cè)量。然而，請(qǐng)注意，我們?nèi)匀患僭O(shè)滯后期大小為1。時(shí)間戳只是用來(lái)確保加權(quán)確實(shí)給那些最接近當(dāng)前估計(jì)點(diǎn)的時(shí)間點(diǎn)最高的權(quán)重。

對(duì)于時(shí)變模型，我們需要指定兩個(gè)額外的參數(shù)。首先，用 seq(0, 1, length = 20)我們指定我們想在整個(gè)時(shí)間序列的持續(xù)時(shí)間內(nèi)估計(jì)20個(gè)局部模型（被歸一化為[0,1]）。估計(jì)點(diǎn)的數(shù)量可以任意選擇，但在某些時(shí)候，增加更多的估計(jì)點(diǎn)意味著增加了不必要的計(jì)算成本，因?yàn)楹罄m(xù)的局部模型基本上是相同的。最后，我們用帶寬參數(shù)指定帶寬。

#?完整數(shù)據(jù)集的估算模型tvvar(data, ????????????????????type?=?rep("g"), ????????????????????lambdaSel?=?"CV", ????????????????????lags?=?1, ????????????????????estpoints?=?seq(0,?1,?length?=?20),? ????????????????????bandwidth?=?bandwidth,

我們可以輸出對(duì)象

#?檢查使用了多少數(shù)據(jù)obj

其中提供了模型的摘要，也顯示了VAR設(shè)計(jì)矩陣中的行數(shù)（876）與數(shù)據(jù)集中的時(shí)間點(diǎn)數(shù)量（1476）。前者的數(shù)量較少，因?yàn)橹挥性诮o定的時(shí)間點(diǎn)也有滯后1年的時(shí)間點(diǎn)時(shí)，才能估計(jì)VAR（1）模型。

計(jì)算時(shí)變預(yù)測(cè)誤差

與標(biāo)準(zhǔn)VAR模型類似，我們可以計(jì)算預(yù)測(cè)誤差。從模型對(duì)象中提供新數(shù)據(jù)和變量可以計(jì)算新樣本的預(yù)測(cè)誤差。

參數(shù)errorCon = c("R2", "RMSE")指定解釋方差的比例（R^2）和均方根誤差（RMSE）作為預(yù)測(cè)誤差。最后一個(gè)參數(shù)Method指定了如何計(jì)算時(shí)間變化的預(yù)測(cè)誤差。選項(xiàng)Method = "closestModel "使用最接近的局部模型對(duì)一個(gè)時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)。這里選擇的選項(xiàng)tvMethod = "weighted"，提供了所有局部模型預(yù)測(cè)的加權(quán)平均值，使用以當(dāng)前時(shí)間點(diǎn)的位置為中心的加權(quán)函數(shù)進(jìn)行加權(quán)。通常情況下，這兩種方法得到的結(jié)果非常相似。

pred_obj?<-?predict(object?=?obj,? ????????????????????data?=?data,? ????????????????????errorCon?=?c("R2",?"RMSE"), ????????????????????Method?=?"weighted")

主要的輸出是以下兩個(gè)對(duì)象。
tverrors是一個(gè)列表，包括每個(gè)估計(jì)點(diǎn)局部模型的估計(jì)誤差；errors包含整個(gè)估計(jì)點(diǎn)的平均誤差。

將模型的部分內(nèi)容可視化

在這里，我們選擇了兩種不同的可視化方式。首先，我們來(lái)檢查估計(jì)點(diǎn)1、10和20的VAR交互參數(shù)。

for(tp?in?c(1,10,20))igraph(wadj[,?,?1,tp??],? ?????????????????????????????layout?=?"circle", ?????????????????????????????paste0("估計(jì)點(diǎn)?=?"))

我們看到，VAR 模型中的一些參數(shù)隨時(shí)間變化很大。例如，"放松 "的自相關(guān)效應(yīng)似乎隨著時(shí)間的推移而減少，"強(qiáng)烈 "對(duì) "滿意 "的正效應(yīng)只出現(xiàn)在估計(jì)點(diǎn)20，"滿意 "對(duì) "有罪 "的負(fù)效應(yīng)也只出現(xiàn)在估計(jì)點(diǎn)20。

我們可以通過(guò)繪制這些單個(gè)參數(shù)與時(shí)間的函數(shù)來(lái)放大它們。

#?畫(huà)圖 title(xlab?=?"估計(jì)點(diǎn)",?cex.lab?=?1.2) title(ylab?=?"參數(shù)估計(jì)",?cex.lab?=?1.2) for(i?in?1:nrow(display))?{ ??lines(1:20,?ests[par_row[1],?],?lty?=?i)? legend<-?c(expression("輕松"["t-1"]??%->%??"輕松"["t"]), ???????????????????expression("強(qiáng)烈"["t-1"]??%->%??"滿意"["t"]), ???????????????????expression("滿意"["t-1"]??%->%??"慚愧"["t"]))

我們看到，在時(shí)間序列的開(kāi)始階段，"放松 "對(duì)其本身的影響是比較強(qiáng)的，但隨后會(huì)向零下降，并在估計(jì)點(diǎn)13左右保持零?！皬?qiáng)烈”對(duì)“滿意”對(duì)下一個(gè)時(shí)間點(diǎn)的交叉滯后效應(yīng)在估計(jì)點(diǎn)9之前等于零，但隨后似乎單調(diào)地增加。最后，"滿意 "對(duì) "慚愧?"的交叉滯后效應(yīng)也等于零，直到估計(jì)點(diǎn)13附近，然后單調(diào)地減少了。

估計(jì)的穩(wěn)定性

與標(biāo)準(zhǔn)模型類似，可以使用bootstrap采樣分布來(lái)評(píng)估時(shí)變參數(shù)的穩(wěn)定性。

是否有時(shí)間變化？

在某些情況下，可能需要決定一個(gè)VAR模型的參數(shù)是否具有可靠的時(shí)變性。為了做出這樣的決定，我們可以使用一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)，其原假設(shè)是模型不具有時(shí)變性。下面是進(jìn)行這種假設(shè)檢驗(yàn)的一種方法。首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)的VAR模型的擬合，然后反復(fù)模擬這個(gè)估計(jì)模型的數(shù)據(jù)。對(duì)于每個(gè)模擬的時(shí)間序列數(shù)據(jù)集，我們計(jì)算出時(shí)變模型的集合預(yù)測(cè)誤差。這些預(yù)測(cè)誤差的分布可作為原假設(shè)下預(yù)測(cè)誤差的抽樣分布?，F(xiàn)在我們可以計(jì)算時(shí)變VAR模型在經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)上的集合估計(jì)誤差，并將其作為一個(gè)測(cè)試統(tǒng)計(jì)量。

總結(jié)

在本文中，我展示了如何用核平滑法估計(jì)一個(gè)時(shí)變VAR模型，該方法是基于所有參數(shù)是時(shí)間的平滑函數(shù)的假設(shè)。除了估計(jì)模型外，我們還討論了選擇適當(dāng)?shù)膸拝?shù)，如何計(jì)算（時(shí)變的）預(yù)測(cè)誤差，以及如何將模型的不同方面可視化。最后，介紹了如何通過(guò)bootstrap法評(píng)估估計(jì)值的穩(wěn)定性，以及如何進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，人們可以用它來(lái)選擇標(biāo)準(zhǔn)的和時(shí)變的VAR模型。

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本文選自《R語(yǔ)言時(shí)變向量自回歸（TV-VAR）模型分析時(shí)間序列和可視化》。

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