復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻老師高等代數(shù)在線習(xí)題課思考題分析與解 ep.44

2022-01-31 12:47 作者:CharlesMa0606 0人讀過 | 我要投稿

本文內(nèi)容主要有關(guān)于可對角化的判定，在高代白皮書上對應(yīng)第6.2.2節(jié)、第7.2.3節(jié)、第9.2.6節(jié)

題目來自于復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻教授在本站高等代數(shù)習(xí)題課的課后思考題，本文僅供學(xué)習(xí)交流

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本人解題水平有限，可能會有錯誤，懇請斧正！

祝大家除夕快樂！

練習(xí)題3(17級高代II每周一題第4題)? 設(shè)A為n階方陣， $%5Calpha%2C%5Cbeta$ 為n維列向量， $B%3DA%5Calpha%5Cbeta%5E%5Cprime$ ，求證：B可對角化當(dāng)且僅當(dāng)B有一個非零特征值或者B=O.

證明? 考慮B的特征多項式 $%5Cleft%7C%5Clambda%20I_n-B%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%5Clambda%20I_n-%5Cleft(A%5Calpha%5Cright)%5Cbeta%5E%5Cprime%5Cright%7C%3D%5Clambda%5E%7Bn-1%7D%5Cleft(%5Clambda-%5Cbeta%5E%5Cprime%20A%5Calpha%5Cright)$

先證充分性.當(dāng) $%5Cbeta%5E%5Cprime%20A%5Calpha$ 非零時，B的特征值為0(n-1重), $%5Cbeta%5E%5Cprime%20A%5Calpha$ (1重)，此時設(shè)0特征值的代數(shù)重數(shù)為m，幾何重數(shù)為t，則 $m%3Dn-1%EF%BC%8Ct%3Dn-r(%CE%BBI_n-B)%3Dn-r(B)%3Dn-1$ ，從而m=t，因此B有完全特征向量系，于是B可對角化.而當(dāng)B=O時，顯然.

再證必要性，B可對角化，因此B具有完全的特征向量系，注意到0特征值的幾何重數(shù)為 $n-r%5Cleft(B%5Cright)$ ，注意到 $r%5Cleft(B%5Cright)%5Cle1$ ，從而若 $r%5Cleft(B%5Cright)%3D1$ ，則代數(shù)重數(shù)等于n-1，于是必有一個非零特征值，若 $r%5Cleft(B%5Cright)%3D0$ ，則B=O，于是0的幾何重數(shù)為n，意味著代數(shù)重數(shù)也為n，沒有任何問題.

從而B可對角化當(dāng)且僅當(dāng)B有一個非零特征值或者B=O.

$%5BQ.E.D%5D$

練習(xí)題4(18級高代II每周一題第3題)? 求證：下列n階方陣可對角化當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0或者 $ab%5Cneq0$

$A%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7D0%26a%26%5Ccdots%26a%26a%5C%5Cb%260%26%5Ccdots%26a%26a%5C%5C%5Cvdots%26%5Cvdots%26%5C%20%26%5Cvdots%26%5Cvdots%5C%5Cb%26b%26%5Ccdots%260%26a%5C%5Cb%26b%26%5Ccdots%26b%260%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright)$

證明? 考慮A的特征多項式 $%5Cleft%7C%5Clambda%20I_n-A%5Cright%7C$ ，由白皮書例1.25可知

當(dāng) $a%5Cneq%20b$ 時，

$%5Cleft%7C%5Clambda%20I_n-A%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Ba-b%7D%5Cleft%5Ba%5Cleft(%5Clambda%2Bb%5Cright)%5En-b%5Cleft(%5Clambda%2Ba%5Cright)%5En%5Cright%5D%3D0$