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標(biāo)準(zhǔn)的ARIMA（移動(dòng)平均自回歸模型）模型允許只根據(jù)預(yù)測(cè)變量的過去值進(jìn)行預(yù)測(cè)。該模型假定一個(gè)變量的未來的值線性地取決于其過去的值，以及過去（隨機(jī)）影響的值。ARIMAX模型是ARIMA模型的一個(gè)擴(kuò)展版本。它還包括其他獨(dú)立（預(yù)測(cè)）變量。該模型也被稱為向量ARIMA或動(dòng)態(tài)回歸模型。

ARIMAX模型類似于多變量回歸模型，但允許利用回歸殘差中可能存在的自相關(guān)來提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。
本文練習(xí)提供了一個(gè)進(jìn)行ARIMAX模型預(yù)測(cè)的練習(xí)。還檢查了回歸系數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

這些練習(xí)使用了冰淇淋消費(fèi)數(shù)據(jù)。該數(shù)據(jù)集包含以下變量。

• 美國(guó)的冰淇淋消費(fèi)（人均）

• 每周的平均家庭收入

• 冰淇淋的價(jià)格

• 平均溫度。

觀測(cè)數(shù)據(jù)的數(shù)量為30個(gè)。它們對(duì)應(yīng)的是1951年3月18日至1953年7月11日這一時(shí)間段內(nèi)的四周時(shí)間。
?

練習(xí)1

加載數(shù)據(jù)集，并繪制變量cons（冰淇淋消費(fèi)）、temp（溫度）和收入。

1. ggplot(df, aes(x = X, y = income)) +

2. ylab("收入") +

3. xlab("時(shí)間") +

4. 


5. grid.arrange(p1, p2, p3, ncol=1, nrow=3)

練習(xí)?2?

對(duì)冰淇淋消費(fèi)數(shù)據(jù)估計(jì)ARIMA模型。然后將該模型作為輸入傳給預(yù)測(cè)函數(shù)，得到未來6個(gè)時(shí)期的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)。

auto.arima(cons)

fcast_cons <- forecast(fit_cons, h = 6)

練習(xí)3

繪制得到的預(yù)測(cè)圖。

練習(xí)4

找出擬合的ARIMA模型的平均絕對(duì)誤差（MASE）。

accuracy

練習(xí)5

為消費(fèi)數(shù)據(jù)估計(jì)一個(gè)擴(kuò)展的ARIMA模型，將溫度變量作為一個(gè)額外的回歸因子（使用auto.arima函數(shù)）。然后對(duì)未來6個(gè)時(shí)期進(jìn)行預(yù)測(cè)（注意這個(gè)預(yù)測(cè)需要對(duì)期望溫度進(jìn)行假設(shè)；假設(shè)未來6個(gè)時(shí)期的溫度將由以下向量表示：

1. fcast_temp <- c(70.5, 66, 60.5, 45.5, 36, 28)）

2. 


繪制獲得的預(yù)測(cè)圖。

練習(xí)6

輸出獲得的預(yù)測(cè)摘要。找出溫度變量的系數(shù)，它的標(biāo)準(zhǔn)誤差，以及預(yù)測(cè)的MASE。將MASE與初始預(yù)測(cè)的MASE進(jìn)行比較。

summary(fca)

溫度變量的系數(shù)是0.0028

該系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.0007

平均絕對(duì)比例誤差為0.7354048，小于初始模型的誤差（0.8200619）。

練習(xí)7

檢查溫度變量系數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。該系數(shù)在5%的水平上是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義？

test(fit)

練習(xí)8

估計(jì)ARIMA模型的函數(shù)可以輸入更多的附加回歸因子，但只能以矩陣的形式輸入。創(chuàng)建一個(gè)有以下幾列的矩陣。

溫度變量的值。
收入變量的值。
滯后一期的收入變量的值。
滯后兩期的收入變量的值。
輸出該矩陣。
注意：最后三列可以通過在收入變量值的向量中添加兩個(gè)NA來創(chuàng)建，并將得到的向量作為嵌入函數(shù)的輸入（維度參數(shù)等于要?jiǎng)?chuàng)建的列數(shù)）。

1. 


2. vars <- cbind(temp, income)

3. print(vars)

練習(xí)9

使用獲得的矩陣來擬合三個(gè)擴(kuò)展的ARIMA模型，使用以下變量作為額外的回歸因子。

溫度、收入。
溫度、收入的滯后期為0、1。
溫度，滯后期為0、1、2的收入。
檢查每個(gè)模型的摘要，并找到信息準(zhǔn)則（AIC）值最低的模型。
注意AIC不能用于比較具有不同階數(shù)的ARIMA模型，因?yàn)橛^察值的數(shù)量不同。例如，非差分模型ARIMA（p，0，q）的AIC值不能與差分模型ARIMA（p，1，q）的相應(yīng)值進(jìn)行比較。

1. auto.arima(cons, xreg = var)

2. print(fit0$aic)

?可以使用AIC，因?yàn)楦髂Ｐ偷膮?shù)階數(shù)相同（0）。

AIC值最低的模型是第一個(gè)模型。

它的AIC等于-113.3。

練習(xí)10

使用上一練習(xí)中發(fā)現(xiàn)的模型對(duì)未來6個(gè)時(shí)期進(jìn)行預(yù)測(cè)，并繪制預(yù)測(cè)圖。預(yù)測(cè)需要一個(gè)未來6個(gè)時(shí)期的期望溫度和收入的矩陣；使用temp變量和以下期望收入值創(chuàng)建矩陣：91, 91, 93, 96, 96, 96。
找出該模型的平均絕對(duì)比例誤差，并與本練習(xí)集中前兩個(gè)模型的誤差進(jìn)行比較。

帶有兩個(gè)外部回歸因子的模型具有最低的?平均絕對(duì)比例誤差(0.528)

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