當(dāng)我們畫出一個(gè)直角三角形（a>0且a,b為直角邊）

?

?

?

?

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊只差小于第三邊，不難得出一下結(jié)論：

a+b>c

a-b<c

經(jīng)過(guò)整理可得

a-b<c<a+b

∵a>b，且a，b，c均為正數(shù)

∴a-b>0，(a-b)2<c<(a+b)2

a2+b2-2ab<c2<a2+b2+2ab

到這里我們發(fā)現(xiàn)，

c2處于a2+b2-2ab與a2+b2+2ab之間，

c是不是它們兩數(shù)的中間值呢？

如果是，那么我們就可以作出有關(guān)這個(gè)猜想的等式，并使用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行推導(dǎo)：

a2+b2=c2，假如有一個(gè)兩條直角邊分別為3和4的直角三角形，

也就是a=3,b=4，那么

若把它畫出來(lái)，再用尺子量一下，可以發(fā)現(xiàn)第三條邊的長(zhǎng)度確實(shí)是5，這與我們計(jì)算的結(jié)果一樣。再試試直角邊長(zhǎng)分別為6和8，8和15等數(shù)據(jù)，畫出的圖示也與計(jì)算的結(jié)果相等。

既然直角三角形的三邊關(guān)系這么神奇，那么其它樣子的三角形是不是也符合這一規(guī)律呢？

我們可以畫一個(gè)兩邊長(zhǎng)為3和4的銳角三角形，結(jié)果第三條邊計(jì)算結(jié)果是5，但測(cè)量結(jié)果小于5；或者畫一個(gè)兩邊長(zhǎng)為3和4的鈍角三角形，結(jié)果第三條邊計(jì)算結(jié)果是5，但測(cè)量結(jié)果大于5。

再如果我們將a，c的位置互換一下，得b2+c2=a2，代入數(shù)字42+52=32。這個(gè)等式使不成立得，即使使用測(cè)量法查不出錯(cuò)誤，將b，c互換得結(jié)果也是如此。

顯然，這個(gè)猜想目前能作用在直角三角形中并且c不能與其它單獨(dú)得某個(gè)字母互換位置。其實(shí)，這個(gè)猜想先人已經(jīng)提出來(lái)并驗(yàn)證過(guò)了。它的名字叫“勾股定理”。

?

勾股定理，又稱“商高定理”“畢達(dá)哥拉斯定理”，是一個(gè)基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國(guó)古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一長(zhǎng)直角邊為股，斜邊為弦。在中國(guó)，周朝時(shí)期的商高最先提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。以上在《九章算術(shù)》《幾何原本》內(nèi)均有記載。

即

?

?

?

?

?

?

?

?

?

勾股定理的證法有500多種，其中，最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽。這張圖對(duì)后世的影響及其重大，2002年第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)用它做過(guò)會(huì)標(biāo)

?

如圖，已知IJLK是正方形且三角形①②③④⑤⑥⑦⑧為直角三角形

解：設(shè)BC=a，AB=c，AC=b

∴DF=IB=DK=GE=EL=AH=JA=BC=a

ID=BF=DG=KE=EH=AL=BJ=CA=b

∵三角形①②③④⑤⑥⑦⑧為直角三角形

∴它們?nèi)龋⊿AS）

∴BD=DE=AE=BA=c

∴CF=BF-BC=b-a

同理可得CH=HG=GF=CF=b-a

所以SCHFG=(b-a)2

又∵SCHFG=SBADE -S△BDF-S△DGE-S△AHE-S△ACB=C2-4×?ab=c2-2ab

∴SCHFG=SCHFG

即(b-a)2=c2-2ab

b2+a2-2ab=c2-2ab

a2+b2=c2

?

除此之外，還可以這樣證明，證明：

解：設(shè)EC=a,AE=b,AC=c,

在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，AE=CD=b，CE=BD=a，AC=BC=c

S△AEC=S△CDB=ab/2

S△ACB=c2/2

SAEDB=(a+b)(a+b)/2

∵S△AE+CS△CDB+S△ACB=S△BEAD

∴ab/2+ab/2+c2/2=(a+b)2/2

∴ab+c2/2=ab+(a2+b2)/2

∴c2=a2+b2

以上這種方法叫“加菲爾德證法”又稱“總統(tǒng)證法”

?

有了勾股定理，我們可以解決一些實(shí)際問(wèn)題。如：

?

“我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)題：“枯木一根直立地上，高2丈，周3尺，有葛藤自根纏繞而上，5周而達(dá)其頂．問(wèn)葛藤之長(zhǎng)幾何？”這里1丈=10尺，葛藤之長(zhǎng)指它的最短長(zhǎng)度．解題時(shí)，枯木視為圓柱體（如圖所示）周3尺指圓柱體底面周長(zhǎng)3尺．那么葛藤的長(zhǎng)是?__________?尺．”

作圖，得

?

?

?

??

?

?

?

AB2=242+（6*3）2，

解得AB=±30

∵AB>0

∴當(dāng)AB=-30時(shí)不合題意，舍去

當(dāng)AB=30時(shí)，符合題意

∴綜上所述，AB=30

即此題答案為30.

?

勾股定理是歐氏幾何的基礎(chǔ)定理，并有巨大的實(shí)用價(jià)值同時(shí)勾股定理導(dǎo)致了無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，大大加深了人們對(duì)數(shù)的理解。這條定理不僅在幾何學(xué)中是一顆光彩奪目的明珠，被譽(yù)為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。我們站在先人的肩膀上思考這問(wèn)題，計(jì)算著答案。咱這一代需要做的，就是努力學(xué)習(xí)，了解先人的智慧并給后人提供更多知識(shí)，為數(shù)學(xué)這座宮殿添磚加瓦?。

?

?