以下是2023佛山數(shù)學(xué)二模立體幾何題：

以下為鋪墊內(nèi)容：

幾何法不是非常直觀能夠一眼看出答案，所以不考慮。這個(gè)題咋一看非常好建系，且每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都輕松可得。但兩問分別求的是平面與立方體的截線，即平面的延長(zhǎng)部分與平面的交線或者交點(diǎn)。這在高中立體幾何所教的有限的范圍內(nèi)是非常不直觀的。需要在棱PD上設(shè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后證明交點(diǎn)的坐標(biāo)在截平面上。這其中的邏輯思維就非常不連貫，不好設(shè)也不好證。用平面截立方體求交線、交點(diǎn)，最直接的就是如果能有方程聯(lián)立起來解出(x,y,z)的坐標(biāo)，即可說明這個(gè)點(diǎn)自然就在平面上，即為待求的點(diǎn)。這種方法就不證自明了，不需要額外證明一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面上。

下面先介紹平面的點(diǎn)法式方程：

假設(shè)某平面上任意一點(diǎn)P為(x0,y0,z0)，同時(shí)平面有一條法向量n=(x1,y1,z1)。則顯然平面上任意一點(diǎn)(x,y,z)到點(diǎn)P的向量(x-x0,y-y0,z-z0)必定與法向量n垂直。根據(jù)空間向量垂直的定義可得：

(x-x0,y-y0,z-z0)·(x1,y1,z1)=0

展開得：(x-x0)x1+(y-y0)y1+(z-z0)z1=0

這就是平面的點(diǎn)法式方程。繼續(xù)展開發(fā)現(xiàn)x1*x+y1*y+z1*z=x0*x1+y0*y1+z0*z1。由于x0,y0,z0,x1,y1,z1均為已知量，所以以上方程等價(jià)于A*x+B*y+C*z=D的線性形式（ABCD均可為0，但ABC不可同時(shí)為0）。所以任何三元一次線性方程都對(duì)應(yīng)三維空間中的一個(gè)平面。三個(gè)不互相平行的平面交于一點(diǎn)的坐標(biāo)就是聯(lián)立起來的三元一次方程組的解。而空間中直線的方程其實(shí)就是該直線所在的任意兩個(gè)平面聯(lián)立所構(gòu)成的不定方程組，而這個(gè)不定方程組的無窮多組解構(gòu)成了兩平面的交線，即該直線。

以下為解答：

以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP分別為x、y、z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系。則：
A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)
E為PC中點(diǎn)：(0+2,0+2,2+0)/2=(1,1,1)
F為AD中點(diǎn)：(0,1,0)
平面EAB的一條法向量：AE×AB=(1,1,1)×(2,0,0)=(0,2,-2)
則平面EAB的點(diǎn)法式方程為(不妨取A點(diǎn))：(x-0,y-0,z-0)·(0,2,-2)=0，展開得：y-z=0 ①
平面PCD的一條法向量：DP×DC=(0,-2,2)×(2,0,0)=(0,4,4)
則平面PCD的點(diǎn)法式方程為(不妨取P點(diǎn))：(x-0,y-0,z-2)·(0,4,4)=0，展開得：y+z=2 ②
平面PAD就是oyz平面，x軸就是它的一條法向量，所以它的點(diǎn)法式方程為(不妨取A點(diǎn))：(x-0,y-0,z-0)·(1,0,0)=0，展開得：x=0 ③
聯(lián)立①②③，解得：
x=0,y=1,z=1
即(0,1,1)為平面EAB截立方體與PD棱的交點(diǎn)，且剛好為PD的中點(diǎn)，不妨設(shè)為G
畫線方法就是在立方體表面把GE、GA分別作直線鏈接。
AG在RT△PAD中，且為斜邊上的中線，則AG=(2*√2)/2=√2
EG在△PCD中，由相似三角形易知EG=1/2CD=1/2*2=1
BE=√((2-1)^2-(0-1)^2-(0-1)^2)=√3
AB=2
則ABEG的周長(zhǎng)為2+√3+1+√2=3+√3+√2
平面BEF的一條法向量：BE×BF=(-1,1,1)×(-2,1,0)=(-1,-2,1)
則平面BEF的點(diǎn)法式方程為(不妨取點(diǎn)B)：(x-2,y-0,z-0)·(-1,-2,1)=0，展開得：x+2y-z=2 ④
聯(lián)立②③④，解得：
x=0,y=4/3,z=2/3
即(0,4/3,2/3)是平面BEF與棱PD的交點(diǎn)(不妨設(shè)為H)。在RT△PAD中，由相似三角形易知：H為PD的三等分點(diǎn)，且靠近D點(diǎn)。
畫線方法就是在立方體表面把HE、HF分別作直線連接。

總結(jié)：

平面方程在解析法中處理截線、交點(diǎn)非常簡(jiǎn)單直接。而且該方法中重復(fù)步驟非常多（求法向量、求平面方程），思維非常線性向前，不存在什么高級(jí)的構(gòu)造。高考中極易掌握。計(jì)算量不大，在高考中也不易出錯(cuò)。是個(gè)值得花一點(diǎn)點(diǎn)時(shí)間掌握的高效技法。