目錄

• 壓縮感知的數(shù)學(xué)描述

• 基于隨機(jī)解調(diào)的壓縮感知理論推導(dǎo)

• 信號(hào)相乘

• 低通濾波

• 低速采樣

• 計(jì)算感知矩陣

• 信號(hào)重構(gòu) OMP算法

• 仿真驗(yàn)證

壓縮感知的數(shù)學(xué)描述

????????壓縮感知的過程可以簡單描述為，通過某種方式對原始信號(hào)加工，然后對加工后的信號(hào)進(jìn)行較少的采樣，最后通過重構(gòu)算法，從采樣信號(hào)中恢復(fù)出完整的原始信號(hào)。

????????這一過程要求原始信號(hào)具備某種稀疏性。將原始信號(hào)寫為某些基向量的線性組合，如果大部分系數(shù)都是0則稱該信號(hào)是稀疏的。

系數(shù)向量a=[a1, a2……an]中大部分元素是0，若有K個(gè)非零元素，則稱信號(hào)x的稀疏度是K。

壓縮感知的過程為

其中是觀測矩陣，由測量系統(tǒng)決定也就是先前所說的“加工過程”，測量得到的信號(hào)y就是觀測矩陣對原始信號(hào)x作用的結(jié)果，為了達(dá)到壓縮的效果，應(yīng)當(dāng)是一個(gè)行數(shù)小于列數(shù)的矩陣。

Θ稱為感知矩陣，由觀測矩陣和稀疏基共同決定，信號(hào)重構(gòu)的過程就是求解x的過程。這看起來似乎是不現(xiàn)實(shí)的，因?yàn)榉匠探M中未知量的數(shù)目大于方程的數(shù)目。但是原始信號(hào)的稀疏性為其求解帶來了可能。

????????壓縮感知最明顯的優(yōu)勢就是降低對AD性能的要求，可以通過較低頻率的采樣得到高頻的原始信號(hào)，某種意義上打破了奈奎斯特采樣定理的限制。

基于隨機(jī)解調(diào)的壓縮感知理論推導(dǎo)

????????隨機(jī)解調(diào)時(shí)壓縮感知框架下實(shí)現(xiàn)模擬信息轉(zhuǎn)換的一種方法，能夠?qū)嚎s感知理論從離散時(shí)間域擴(kuò)展到連續(xù)時(shí)間域，顯著降低信號(hào)采樣速率。

隨機(jī)解調(diào)系統(tǒng)流程如下：

? ? ? 信號(hào)相乘

?????????原始信號(hào)x(t)具備稀疏性，是實(shí)現(xiàn)壓縮感知的前提。即原始信號(hào)在某域展開后大部分系數(shù)均為0，若有K項(xiàng)不為0，則稱原始信號(hào)稀疏度為K。例如，原始信號(hào)包含頻率為3kHz與4kHz的正弦信號(hào)，則將其在頻域展開后只有兩項(xiàng)系數(shù)不為0，原信號(hào)的稀疏度為2。

????????隨機(jī)信號(hào)P(t)的幅值近似隨機(jī)地跳變?yōu)?或-1，這種隨即特性使其頻譜近似于寬帶白噪聲，幾乎覆蓋整個(gè)頻率軸。

乘法器實(shí)現(xiàn)地?cái)?shù)學(xué)過程如下

????????其中y1是乘法器輸出地混頻信號(hào)。

????????在頻域看待這一過程則有

式中，是原始信號(hào)的傅里葉系數(shù)，是傅里葉變逆換的基向量。因?yàn)樵夹盘?hào)在頻域是稀疏的，所以式子中N是有限的整數(shù)。

Y1和 P分別是混頻信號(hào)和偽隨機(jī)信號(hào)的傅里葉變換。這一時(shí)域相乘的過程可以等效為兩信號(hào)在頻域做卷積。

這樣做的意義在于混頻信號(hào)頻譜中的每一點(diǎn)都包含著原始信號(hào)全部頻譜信息。從最后的化簡結(jié)果來解釋這一點(diǎn)：混頻信號(hào)的頻譜中任意一點(diǎn)都包含了k從-N到N的全部，這為低頻采樣后的信號(hào)重構(gòu)提供了可能。

????????低通濾波

????????前文已經(jīng)解釋過，混頻信號(hào)頻譜中每一點(diǎn)都包含了原始信號(hào)的全部傅里葉系數(shù)，因此濾除混頻信號(hào)的高頻成分，就可以用低速采樣獲取原始信號(hào)的信息。

濾波的數(shù)學(xué)過程為

其中y2是濾波后的信號(hào)，h是濾波器的沖激響應(yīng)。????

????????低速采樣

????????低速采樣的過程可以描述為

????????

上式就是將連續(xù)信號(hào)離散化的過程，離散化的采樣信號(hào)可以寫為

其中

信號(hào)重構(gòu)的過程就是從y[m]中恢復(fù)出x(t)的過程。

????????計(jì)算感知矩陣

其中，c是原始信號(hào)離散后的點(diǎn)數(shù)與低速采樣信號(hào)點(diǎn)數(shù)的比例，形象的解釋如下：

低速采樣信號(hào)的采樣間隔是，在這段時(shí)間里從原始信號(hào)中取了c點(diǎn)。c可以用n/m計(jì)算，

其中n是原始信號(hào)點(diǎn)數(shù)，m是低速采樣信號(hào)點(diǎn)數(shù)。

信號(hào)重構(gòu) OMP算法

首先介紹算法的流程

輸入?yún)?shù)：感知矩陣Θ、低頻采樣信號(hào)y、原始信號(hào)稀疏度K

輸出參數(shù)：重構(gòu)系數(shù)a

步驟1：初始化各參數(shù)，包括殘差，支撐矩陣，計(jì)數(shù)變量

步驟2：計(jì)算感知矩陣每列向量與殘差的內(nèi)積，并找出內(nèi)積最大位置，記錄該位置，將該位置的列向量加入支撐矩陣A。

步驟3：求低頻采樣信號(hào)在支撐集上的投影得到逼近信號(hào)x（這里的x不是指前文中的原始信號(hào)），也即求解

?????????????????????????????????????????? ???????????????

需要最小二乘法。

步驟4：更新殘差，

????????????????????????????????????????????????

步驟5：計(jì)數(shù)變量加一，若小于等于K則回到步驟2；反之執(zhí)行步驟6。

步驟6：輸出重構(gòu)系數(shù)x，及其在a向量中的位置。

對OMP算法的簡單解釋：

????????初始?xì)埐罹褪堑皖l采樣信號(hào)y，y可以由感知矩陣列向量的線性組合得到，而且由于原始信號(hào)的稀疏性，這一線性組合中大多數(shù)系數(shù)都是0只有少部分非零，重構(gòu)信號(hào)的過程其實(shí)就是求解這些非零系數(shù)的過程。

????????換言之，我們希望知道，感知矩陣的每一列在y中的占比。初始?xì)埐钆c感知矩陣每一個(gè)列向量求內(nèi)積的過程可以類比自相關(guān)，這一過程可以幫助我們判斷哪一列的系數(shù)非零。之后將這一列加入支撐集用最小二乘法讓支撐集逼近y，從而得到這一列對應(yīng)的系數(shù)。

????????更新殘差的過程本質(zhì)上是將y中已經(jīng)確定的成分剔除，然后繼續(xù)判斷去掉剛才的那一列之后，感知矩陣的哪一列在y中占比最高，再將其加入支撐集，用最小二乘法求解對應(yīng)的系數(shù)。不斷重復(fù)這一過程直至得到全部系數(shù)。

仿真驗(yàn)證

????????將頻率為3000Hz、4000Hz的正余弦信號(hào)疊加，與混頻信號(hào)相乘，通過低通濾波器，低頻采樣，得到采樣信號(hào)。

嘗試用OMP算法從采樣信號(hào)中恢復(fù)出原始信號(hào)，并做對比

可以看到重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)幾乎完全一致。

總結(jié)

????????偽隨機(jī)信號(hào)的頻譜幾乎遍布整個(gè)頻率軸，這是一個(gè)很重要的性質(zhì)。原始信號(hào)與為隨機(jī)信號(hào)在時(shí)域相乘，也即在頻域的卷積將原始信號(hào)的頻譜信息隱藏在了混頻信號(hào)的每一頻率中。這為后續(xù)的解調(diào)信號(hào)創(chuàng)造了可能。低通濾波器保留混頻信號(hào)的低頻成分，從而可以使用較低的采樣頻率采樣，但采樣頻率應(yīng)該至少高于低通濾波器截止頻率的兩倍。

????????OMP算法需要實(shí)先確定原始信號(hào)的稀疏度，導(dǎo)致這一算法可能并不實(shí)用。

????????另外，雖然仿真結(jié)果很美好，但這一系統(tǒng)的硬件實(shí)現(xiàn)似乎不太容易。

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