常微分方程筆記（五）

2023-03-19 17:21 作者:啊啊啊每當(dāng)想起你 0人讀過(guò) | 我要投稿

前言：沒(méi)想到這個(gè)（tuo）筆（da）記（bian）已經(jīng)出到第五回了.雖然再過(guò)幾天就復(fù)試了，但是如果沒(méi)寫(xiě)完的話(huà)，我還是會(huì)填完這個(gè)坑，畢竟除了要考的內(nèi)容外也還是有一些想寫(xiě)的東西，不過(guò)也許要等畢業(yè)了（？）.

????這一章我認(rèn)為最基本就是Wronsky行列式，常數(shù)變易法，降階以及冪級(jí)數(shù)解法，關(guān)于常系數(shù)線(xiàn)性微分方程的解法可以和第五章的內(nèi)容結(jié)合，用線(xiàn)性方程組的方法來(lái)解，所以放到下一章來(lái)說(shuō).

第四章高階偏微分方程

4.1 線(xiàn)性微分方程的一般理論

????n階非齊次線(xiàn)性方程組：形如

???? $%5Cfrac%20%7Bd%5Enx%7D%20%7Bdt%5En%7D%20%2B%20a_1(t)%20%5Cfrac%20%7Bd%5E%7Bn-1%7Dx%7D%20%7Bdt%5E%7Bn-1%7D%7D%20%0A%2B%20...%20%2Ba_%7Bn-1%7D(t)%20%5Cfrac%20%7Bdx%7D%20%7Bdt%7D%20%2B%20a_n(t)x%20%3D%20f(t)$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4.1）

????方程（4.1）對(duì)應(yīng)的n階齊次線(xiàn)性方程組：形如

????上述兩個(gè)方程中 $a_i(t)(i%3D1%2C%2C..%2Cn)$ 及f(t)都是a≤t≤b上的連續(xù)函數(shù).

????方程（4.1）的存在唯一性定理：如果 $a_i(t)(i%3D1%2C%2C..%2Cn)$ 及f(t)都是a≤t≤b上的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任一 $t_0%20%5Cin%20%5Ba%2Cb%5D$ 及任意的 $x_0%2Cx_0%5E%7B(1)%7D%2C...%2Cx_0%5E%7B(n-1)%7D$ ，方程存在唯一解x=φ(t)定義于a≤t≤b上，且滿(mǎn)足初值條件?

???? $%5Cvarphi%20(t_0)%3Dx_0%2C%5Cfrac%20%7Bd%5Cvarphi%20(t_0)%7D%7Bdt%7D%3Dx_0%5E%7B(1)%7D%2C%0A...%2C%5Cfrac%20%7Bd%5E%7Bn-1%7D%5Cvarphi%20(t_0)%7D%7Bdt%5E%7Bn-1%7D%7D%3Dx_0%5E%7B(n-1)%7D$ ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4.3）

4.1.1 齊次線(xiàn)性微分方程的解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)

????定理1（疊加原理）如果 $x_1(t)%2C%20x_2(t)%2C...%2Cx_k(t)$ 是方程（4.2）的k個(gè)解，則它們的線(xiàn)性組合 $c_1x_1(t)%2Bc_2x_2(t)%2B...%2Bc_kx_k(t)$ 也是方程（4.2）的解，這里 $c_1%2Cc_2%2C...%2Cc_k$ 是任意常數(shù).特別的，當(dāng)k=n時(shí)，即方程（4.2）有解

???? $x%3Dc_1x_1(t)%2Bc_2x_2(t)%2B...%2Bc_nx_n(t)$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?（4.4）

????線(xiàn)性相關(guān)/無(wú)關(guān)：考慮定義在a≤t≤b上的函數(shù) $x_1(t)%2C%20x_2(t)%2C...%2Cx_k(t)$ ，如果存在不全為零的常數(shù) $c_1%2Cc_2%2C...%2Cc_k$ ，使得恒等式 $c_1x_1(t)%2Bc_2x_2(t)%2B...%2Bc_kx_k(t)%20%5Cequiv%200$ 對(duì)于所有

$t%20%5Cin%20%5Ba%2Cb%5D$ 都成立，我們稱(chēng)這些函數(shù)是線(xiàn)性相關(guān)的，否則就稱(chēng)這些函數(shù)在所給區(qū)間上線(xiàn)性無(wú)關(guān).

????Wronsky行列式：稱(chēng)以下定義在a≤t≤b上的k個(gè)可微k-1次函數(shù) $x_1(t)%2C%20x_2(t)%2C...%2Cx_k(t)$ 所作成的行列式為Wronsky行列式：

???? $W%5Bx_1(t)%2Cx_2(t)%2C...x_k(t)%5D%20%5Cequiv%20W(t)%20%20%5Cequiv%0A%5Cleft%7C%0A%5Cbegin%7Barray%7D%0A%7Bcccc%7D%0Ax_1(t)%26x_2(t)%26...%26x_k(t)%5C%5C%0Ax'_1(t)%26x'_2(t)%26...%26x'_k(t)%5C%5C%0A%5Cvdots%26%5Cvdots%26%20%26%5Cvdots%26%5C%5C%0Ax_1%5E%7B(n-1)%7D(t)%26x_2%5E%7B(n-1)%7D(t)%26...%26x_k%5E%7B(n-1)%7D(t)%5C%5C%0A%5Cend%7Barray%7D%0A%5Cright%7C$

????定理2 若函數(shù) $x_1(t)%2C%20x_2(t)%2C...%2Cx_n(t)$ 在a≤t≤b上線(xiàn)性相關(guān)，則在a≤t≤b上它們的 $W(t)%20%5Cequiv%200$ .

????定理3 如果方程（4.2）的解 $x_1(t)%2C%20x_2(t)%2C...%2Cx_n(t)$ 在a≤t≤b上線(xiàn)性相關(guān)，則 $W%5Bx_1(t)%2Cx_2(t)%2C...%2Cx_n(t)%5D%5Cneq%200(a%20%5Cleq%20t%20%5Cleq%20b)$ .

????定理4 n階齊次線(xiàn)性微分方程（4.2）一定存在n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解.

????定理5（通解結(jié)構(gòu)）?如果 $x_1(t)%2C%20x_2(t)%2C...%2Cx_n(t)$ 是方程（4.2）的n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，則方程（4.2）的通解可表示為（4.4）的形式，其中 $c_1%2Cc_2%2C...%2Cc_n$ 是任意常數(shù)，且通解（4.4）包含了方程（4.2）的所有解.

????推論?方程（4.2）的線(xiàn)性無(wú)關(guān)解最多為n個(gè).因此可得結(jié)論：n階齊次線(xiàn)性微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè)n維線(xiàn)性空間.方程（4.2）的一組n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解稱(chēng)為方程的基本解組.顯然，基本解組不是唯一的.特別的，當(dāng) $W(t_0)%20%3D%201$ 時(shí)稱(chēng)其為標(biāo)準(zhǔn)基本解組.

????Liouville公式：設(shè) $x_1(t)%2C%20x_2(t)%2C...%2Cx_n(t)$ 是方程（4.2）的任意n個(gè)解，它們所構(gòu)成的Wronsky行列式滿(mǎn)足一階線(xiàn)性微分方程

???? $W'%2Ba_1(t)W%3D0$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4.5）

因而有

???? $W(t)%3DW(t_0)%20%5Cexp%20%5Cbigg(-%20%5Cint%5Et%20_%7Bt_0%7Da_1(s)ds%20%5Cbigg)%2Ct_0%2Cs%20%5Cin%20(a%2Cb)$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4.6）

4.1.2 非齊次線(xiàn)性方程組與常數(shù)變易法

????兩個(gè)性質(zhì)：（1）如果 $%5Cbar%7Bx%7D(t)%20$ 是方程（4.1）的解，而x(t)是方程（4.2）的解，則 $%5Cbar%7Bx%7D(t)%20%2B%20x(t)$ 也是方程（4.1）的解.

（2）方程（4.1）的任意兩個(gè)解之差必為方程（4.2）的解.

????定理6 設(shè) $x_1(t)%2C%20x_2(t)%2C...%2Cx_n(t)$ 是方程（4.2）的基本解組，而 $%5Cbar%7Bx%7D(t)%20$ 是方程（4.1）的某一解，則方程（4.1）的通解可表示為

???? $x%3Dc_1x_1(t)%2Bc_2x_2(t)%2B...%2Bc_nx_n(t)%2B%5Cbar%7Bx%7D(t)$ ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4.7）

其中 $c_1%2Cc_2%2C...%2Cc_n$ 是任意常數(shù)，且該通解（4.5）包含了方程（4.1）的所有解.

????常數(shù)變易法：設(shè) $x_1(t)%2C%20x_2(t)%2C...%2Cx_n(t)$ 是方程（4.2）的基本解組，則方程（4.2）的通解為? $x%3Dc_1x_1(t)%2Bc_2x_2(t)%2B...%2Bc_nx_n(t)$ ? .把其中的任意常數(shù) $c_1%2Cc_2%2C...%2Cc_n$ 看成是 $c_1(t)%2Cc_2(t)%2C...%2Cc_n(t)$ ，得

????? $x%3Dc_1(t)x_1(t)%2Bc_2(t)x_2(t)%2B...%2Bc_n(t)x_n(t)$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?（4.8）

求導(dǎo)得：? $x'%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c_i(t)x'_i(t)%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c'_i(t)x_i(t)$ ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?（4.9）

令含有 $c'_i(t)$ 的部分等于0，得到第一個(gè)條件

????? $%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c'_i(t)x_i(t)%3D0$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??（4.10）

???? $x'%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c_i(t)x'_i(t)$ ???? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4.11）

????將（4.11）式再對(duì)t求導(dǎo)，令含有 $c%E2%80%99_i(t)$ 的部分等于0，得到第二個(gè)條件? $%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c'_i(t)x'_i(t)%3D0$ ，取剩余部分再求導(dǎo).這樣反復(fù)至得到第j(j=1,2,...,n-1)個(gè)條件

???? $%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c'_i(t)x_i%5E%7B(j-1)%7D(t)%3D0$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4.12）

和表達(dá)式

???? $x%5E%7B(j)%7D%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c_i(t)x_i%5E%7B(j)%7D(t)$ ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????（4.13）

????j=n-1時(shí)，對(duì)（4.13）求導(dǎo)得 $x%5E%7B(n)%7D%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c_i(t)x_i%5E%7B(n)%7D(t)%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c'_i(t)x_i%5E%7B(n-1)%7D(t)$ ?????（4.14）

????將（4.13）式當(dāng)j=1,2,...,n-1時(shí)的表達(dá)式都代入至（4.14），注意到 $x_1(t)%2C%20x_2(t)%2C...%2Cx_n(t)$ 是方程（4.2）的解，得到最后一個(gè)條件

???? $c%E2%80%98_1(t)x_1%5E%7B(n-1)%7D(t)%2Bc%E2%80%99_2(t)x_2%5E%7B(n-1)%7D(t)%2B...%2Bc%E2%80%98_n(t)x_n%5E%7B(n-1)%7D(t)%3Df(t)$ ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4.15）

聯(lián)立（4.12）式當(dāng)j=1,2,...,n-1時(shí)的方程以及（4.15）式可得線(xiàn)性方程組，其系數(shù)行列式正是 $W%5Bx_1(t)%2Cx_2(t)%2C...%2Cx_n(t)%5D%5Cneq%200$ ，因而方程組的解可唯一確定.設(shè)求得

???? $c'_i(t)%3D%5Cvarphi%20_i(t)%2Ci%3D1%2C2%2C...%2Cn$

積分得： $c_i(t)%3D%5Cint%5Cvarphi%20_i(t)dt%2B%5Cgamma%20_i%2Ci%3D1%2C2%2C...%2Cn$

這里 $%5Cgamma_i(i%3D1%2C2%2C...%2Cn)$ 是任意常數(shù).將所得 $c_1(t)%2Cc_2(t)%2C...%2Cc_n(t)$ 的表達(dá)式代入（4.8），即得方程的（4.1）的解

???? $x%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20%5Cgamma%20_i%20x_i(t)%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20x_i(t)%5Cint%20%5Cvarphi%20_i(t)dt$ ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4.16）

顯然，它也是方程（4.1）的通解.得到方程的一個(gè)解，只需要給定常數(shù) $%5Cgamma_i(i%3D1%2C2%2C...%2Cn)$ 即可.

4.3 高階微分方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法

4.3.1 可降階的一些方程類(lèi)型

????n階微分方程一般可寫(xiě)為 $F(t%2Cx%2Cx'%2C...%2Cx%5E%7B(n)%7D)%3D0$ .

????三類(lèi)特殊方程的降階問(wèn)題：

????（1）方程不顯含未知函數(shù)x，或更一般地，設(shè)方程不含 $x%2Cx'%2C...%2Cx%5E%7B(k-1)%7D$ ，即方程形如

???? $F(t%2Cx%5E%7B(k)%7D%2Cx%5E%7B(k%2B1)%7D%2C...%2Cx%5E%7B(n)%7D)%3D0%20(1%20%5Cleq%20k%20%5Cleq%20n)$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4.17）

若令 $x%5E%7B(k)%7D%3Dy$ ，則方程即降為關(guān)于y的n-k階方程

????? $F(t%2Cy%2Cy'%2C...%2Cy%5E%7B(n-k)%7D)%3D0$ ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4.18）

????如果能夠求得方程（4.18）的通解，即得 $x%5E%7B(k)%7D%3Dy%3D%5Cvarphi%20(t%2Cc_1%2Cc_2%2C...%2Cc_%7Bn-k%7D)$ ?.再經(jīng)過(guò)k次積分得到? $x%3D%5Cpsi%20(t%2Cc_1%2Cc_2%2C...%2Cc_%7Bn%7D)$ ，其中 $c_1%2Cc_2%2C...%2Cc_n$ 是任意常數(shù)，這就是方程（4.17）的解.

????（2）不顯含自變量t的方程

????? $F(x%2Cx'%2C...%2Cx%5E%7B(n)%7D)%3D0$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4.19）

若令x'=y，并以它為新未知函數(shù)，而視x為新自變量，則方程就可降低一階.

????事實(shí)上，在所作的假定下， $x'%3Dy%2Cx''%3Dy%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%2Cx'''%3Dy%20%5Cbigg(%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%5Cbigg)%5E2%20%2B%20y%5E2%20%5Cfrac%7Bd%5E2y%7D%7Bdx%5E2%7D%2C...$ .可用數(shù)學(xué)歸納法證明， $x%5E%7B(k)%7D$ 可用 $y%2C%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%2C%20...%2C%5Cfrac%7Bd%5E%7Bk-1%7Dy%7D%7Bdx%5E%7Bk-1%7D%7D$ 表示（k≤n）.將這些表達(dá)式代入（4.19）就得到 $G%5Cbigg(y%2C%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%2C%20...%2C%5Cfrac%7Bd%5E%7Bk-1%7Dy%7D%7Bdx%5E%7Bk-1%7D%7D%20%5Cbigg)%3D0$ ，這是關(guān)于x,y的n-1階方程，比原方程（4.19）低一階.

????（3）已知齊次線(xiàn)性微分方程（4.2）的k個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解為 $x_1(t)%2C%20x_2(t)%2C...%2Cx_k(t)$ ，令 $x%3Dx_ky$ ，直接計(jì)算可得

???? $x%5E%7B(n)%7D%3Dx_ky%5E%7B(n)%7D%2Bnx'_ky%5E%7B(n-1)%7D%2B%5Cfrac%20%7Bn(n-1)%7D%7B2%7Dx''_ky%5E%7B(n-2)%7D%0A%2B...%2Bx_k%5E%7B(n)%7Dy$ .

????代入（4.2）可得：

?? $x_ky%5E%7B(n)%7D%2B%5Bnx'_k%2Ba_1(t)x_k%5Dy%5E%7B(n-1)%7D%2B...%0A%2B%5Bx_k%5E%7B(n)%7D%2Ba_1(t)x_k%5E%7B(n-1)%7D%2B...%2Ba_n(t)x_k%5Dy%3D0$

? 這是關(guān)于y的n階方程，且各項(xiàng)系數(shù)是t的已知函數(shù)，而y的系數(shù)恒等于0，因?yàn)? $x_k$ ?是方程（4.2）的解.因此，如果引入新未知函數(shù)z=y'，并在 $x_k%20%5Cneq%200$ 的區(qū)間上用 $x_k$ ?除方程的各項(xiàng)，我們便能得到形如下列的n-1階齊次線(xiàn)性微分方程：

???? $z%5E%7B(n-1)%7D%2Bb_1(t)z%5E%7B(n-2)%7D%2B...%2Bb_%7Bn-1%7D(t)z%3D0$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4.20）

????方程（4.20）的解與（4.2）之間解的關(guān)系： $z%3Dy'%3D%20%5Cbigg(%20%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx_k%7D%20%5Cbigg)'$ 或 $x%3Dx_k%5Cint%20zdt$ .由此可得方程（4.20）的線(xiàn)性無(wú)關(guān)解 $z_i%3D%20%5Cbigg(%20%5Cfrac%7Bx_i%7D%7Bx_k%7D%20%5Cbigg)'(i%3D1%2C2%2C...%2Ck-1)$ ，又可重復(fù)上面的操作進(jìn)行降階.

4.3.2 二階線(xiàn)性微分方程的冪級(jí)數(shù)解法

????考慮二階齊次線(xiàn)性微分方程

???? $%5Cfrac%7Bd%5E2y%7D%7Bdx%5E2%7D%2Bp(x)%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%2Bq(x)y%3D0$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4.21）

滿(mǎn)足初值條件 $y(x_0)%3Dy_0%2Cy'(x_0)%3Dy'_0$ 的情況.

????定理7 若方程（4.21）中系數(shù)p(x)和q(x)都能展開(kāi)成 $x-x_0$ 的冪級(jí)數(shù)，且收斂區(qū)間為 $%7Cx-x_0%7C%3CR$ ，則方程（4.21）有形如

???? $y%3D%5Csum_%7Ba%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_n(x-x_0)%5En$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4.22）

的特解，也以 $%7Cx-x_0%7C%3CR$ 為收斂區(qū)間.

????定理8?若方程（4.21）中系數(shù)p(x)和q(x)不能展開(kāi)為 $x-x_0$ 的冪級(jí)數(shù)，但 $xp(x)%2Cx%5E2q(x)$ 均可展開(kāi)成 $x-x_0$ 的冪級(jí)數(shù)，且收斂區(qū)間為 $%7Cx-x_0%7C%3CR$ ，若 $a_0%20%5Cneq%200$ ，則方程（4.21）有形如

???? $y%20%3D%20x%5E%5Calpha%20%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%20a_nx%5En%20%0A%3D%20%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%20a_nx%5E%7Bn%2B%5Calpha%7D$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4.23）

的特解，α是一個(gè)待定的常數(shù).級(jí)數(shù)（4.21）也以 $%7Cx-x_0%7C%3CR$ 為收斂區(qū)間.若 $a_0%20%3D%200$ ，或更一般地， $a_i%20%3D%200(i%3D0%2C1%2C2%2C...%2Cm-1)$ ，但 $a_m%20%5Cneq%200$ ，則引入記號(hào) $%5Cbeta%20%3D%20%5Calpha%20%2B%20m%2C%20b_k%20%3D%20a%2B%7Bm%2Bk%7D$ ，則

???? $y%20%3D%20x%5E%5Calpha%20%5Csum_%7Bn%3Dm%7D%5E%5Cinfty%20a_nx%5En%20%0A%3Dx%5E%7B%5Calpha%20%2B%20m%7D%20%5Csum_%7Bk%20%3D%200%7D%5E%5Cinfty%20a_%7Bm%2Bk%7Dx%5Ek%20%0A%3Dx%5E%5Cbeta%20%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20b_kx%5Ek$ ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? （4.23）*

這里 $b_0%3Da_m%20%5Cneq%200$ ?，β仍為待定常數(shù).

（P.S. 4.3最后還有一個(gè)Bessel方程 $x%5E2%20%5Cfrac%7Bd%5E2y%7D%7Bdx%5E2%7D%2Bx%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%2B(x%5E2-n%5E2)y%3D0$ ，以及兩類(lèi)Bessel函數(shù)，但是看的北大版和王版里表述一樣，所以這里沒(méi)放上來(lái)，有空的時(shí)候來(lái)填這個(gè)坑.

P.S.S. 因?yàn)閎站專(zhuān)欄只讓放100個(gè)公式，所以有些地方就沒(méi)打公式，做的比較粗糙，阿巴阿巴.）

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