M：Excuse me. Can you tell me how much the T-shirt is?”

W：Yes, it is nine fifteen.

Q：How much is the T-shirt?

A：9.15.

想必對于經(jīng)歷過高考英語的大家，都不陌生這段英語聽力對話，再熟悉不過的“襯衫價格是9磅15便士”。超市的貨物明碼標(biāo)價，菜場的吆喝此起彼伏，時間的度量齊整規(guī)劃，自然、建筑、藝術(shù)、財政等等，多少都離不開“數(shù)字”。然而，自出生以來，就在“數(shù)字”的世界里徜徉，卻不知其身世與變化。經(jīng)濟學(xué)家亞當(dāng)·斯密說過“數(shù)是人類在精神上制造出來的最抽象的概念”。

近來，翻閱比爾·柏林霍夫和費爾南多·辜維亞的《數(shù)學(xué)史》和遠(yuǎn)山啟的《數(shù)學(xué)與生活》，才或多或少有了脈絡(luò)與框架。

世界本無數(shù)，但或多或少形成了“以物易物”的形式，抑或是用麻繩的結(jié)、刻印的圖案、人名來代表“一一對應(yīng)”的關(guān)系，似乎更像是“符號”到“數(shù)”的“映射”概念。在這里，柏蘭特·羅素提到“要覺察到兩天和兩只雛雞是同樣的數(shù)字，需要漫長的歲月”——這是一句回味無窮的話語。譬如呱呱墜地的普通嬰兒，在認(rèn)知剛剛形成的時候，知道物什，要分清“2”這個數(shù)代表了無窮多的含義也需要后天訓(xùn)練，這一點與動物的正反饋訓(xùn)練無異（烏鴉也能通過訓(xùn)練后也能“對應(yīng)”數(shù)字），至于是否真正“理解”暫時無從所知。

除了“一一對應(yīng)”，遠(yuǎn)山啟給出了數(shù)（其實更貼近數(shù)集）的另外兩個基本條件：總量不變性（劃分成多個部分，數(shù)的總數(shù)目不變）和順序無關(guān)性（改變計數(shù)順序，對應(yīng)的數(shù)保持不變）。

過去的六千多年，不用的群體在不同的時間使用了100多種不同的記數(shù)體系。公元前三千年前的古埃及將“象形文字”同數(shù)字相聯(lián)，對應(yīng)個十百千等數(shù)，順序無關(guān)（歷史考究：英國牛津博物館中的埃及皇家權(quán)杖以此記錄參加軍事戰(zhàn)役的人數(shù)、紀(jì)念碑碑文等），但逐漸形成了更緊湊、簡潔的表達(dá)式，隨之為每個單位引入的9個不同的基本符號，平添了記憶的負(fù)擔(dān)。同期，被稱為“文明的搖籃”的美索不達(dá)米亞地區(qū)（目前是伊拉克的一部分），在公元前3500年后歷經(jīng)3000年至少出現(xiàn)了十種不同的記數(shù)系統(tǒng)。

公元前2000年到公元前1600年，古巴比倫使用了兩種楔形分別表達(dá)數(shù)字10和1，不同于十進(jìn)制，同時采用六十進(jìn)制，但是分辨的困難在于符號組間距的“模糊性”（因為在此記數(shù)系統(tǒng)中沒有“0”的概念）。到了公元前400年左右，中美洲的瑪雅文明有了類似巴比倫的記數(shù)系統(tǒng)，使用點和橫線分別代表1和5，采用二十進(jìn)制，并用類似貝殼的符號解決了間隔困難，但對于歐洲并沒有多大影響。相反，更原始的古希臘和古羅馬記數(shù)系統(tǒng)是西歐文明的源頭。古希臘的主要使用25個子母和兩個額外的符號表達(dá)（均分成3份，三份分別代表1的倍數(shù)、10的倍數(shù)、100的倍數(shù)，大于1000就需要用特殊標(biāo)記）。自羅馬帝國統(tǒng)治歐洲后（公元前1世紀(jì)至公元5世紀(jì)），使得羅馬數(shù)字成為歐洲通用的數(shù)字書寫方式，甚至一度延續(xù)到文藝復(fù)興時期。羅馬記數(shù)系統(tǒng)在十進(jìn)制的基礎(chǔ)上，使用五進(jìn)制的輔助單位，上千的數(shù)則在符號上加橫線，且引入了“減法”原則（IV=5-1=4），并且要求只能與符號表中相鄰兩個更大的值配對，這樣任何數(shù)字都不會有超過三個相同的基本符號。

目前，我們使用“阿拉伯?dāng)?shù)字”0-9的記數(shù)系統(tǒng)，其實是由公元前600年的古印度發(fā)明，后經(jīng)幾個世紀(jì)的完善后，在7世紀(jì)和8世紀(jì)被伊斯蘭勢力擴張傳播到阿拉伯。那時，歐洲人也從阿拉伯學(xué)會了這種“位值制”的十進(jìn)制記數(shù)系統(tǒng)，也更便于“計算”。這種似乎與我們的十根手指密不可分。

不論是十進(jìn)制、六十進(jìn)制，還是二十進(jìn)制、五進(jìn)制，都似乎有著“文明”的獨特性。進(jìn)制越小的地方記錄的數(shù)字一般也都不大，這似乎與文明的開化程度、經(jīng)濟水平相互關(guān)聯(lián)，而進(jìn)制越大則需要越大的進(jìn)制來計算。非洲大陸則是五進(jìn)制的世界，澳洲大陸則是二進(jìn)制、三進(jìn)制的世界，而四進(jìn)制在英屬哥倫比亞的居民中似乎比較多。中國的“半斤八兩”（半斤等于八兩，一斤就是十六兩），放在今天就是十六進(jìn)制，而“劃正字”則是五進(jìn)制。此外，爪哇地區(qū)的巽他族還出現(xiàn)過六進(jìn)制。而在舊約圣經(jīng)中說有一個手腳都有六根指頭、總共有24根指頭的巨人和大衛(wèi)王打仗的事，瑞典國王查理十二世（1682-1718）推行了十二進(jìn)制（也許是除去大拇指外的十二根指節(jié)），推崇十二進(jìn)制的學(xué)者是博物學(xué)家布封（1707-1788）。而在歐洲的語言習(xí)慣中還殘留著十二進(jìn)制的影子，如：12個是1打、12英寸是1英尺、12便士是1先令；英語中表示11和12并不是ten-one和ten-two，而是eleven和twelve，是從哥特語中ainlif（余1）和twalib（余2）演化而來，從這一點，似乎還是十進(jìn)制的基礎(chǔ)。

這里，我們將所有的進(jìn)制從小到大排個序，有：2、3、4、5、6、8、10、12、16、20、60。這里出現(xiàn)約數(shù)最多的便是2、3、5，這也是前三個素數(shù)，也是斐波那契數(shù)列中大于1的前三個數(shù)，冥冥中有了聯(lián)系。而如今，還流行通用的進(jìn)制仍然在生活中隨處可見：二進(jìn)制的計算機（0/1、開關(guān)、邏輯、數(shù)據(jù)保存）、三進(jìn)制的季節(jié)（四季）、五進(jìn)制的輔助能力（算盤、現(xiàn)金交易）、十進(jìn)制的運算（滿十進(jìn)一）、十二進(jìn)制的月份（年）、十六進(jìn)制的顏色表（FFFF00）、六十進(jìn)制的時間角度（時分秒、度分秒）等等。

不論是數(shù)形的對應(yīng)還是進(jìn)制的產(chǎn)生，那時都還停留在整數(shù)階段，隨著萊布尼茨大力推廣二進(jìn)制的時候，發(fā)現(xiàn)任何數(shù)字都可以用兩種數(shù)形表示，而他也認(rèn)為其中一個象征神，一個象征虛無，是神和虛無創(chuàng)造了整個宇宙，由此分別產(chǎn)生了1和0，這種想法隨后被傳教士傳入中國。而在老子《道德經(jīng)》中，也有“道生一，一生二，二生三，三生萬物”，似乎從“虛無”、“無中生有”的角度，0更偏向哲學(xué)的領(lǐng)域，而二進(jìn)制的極大發(fā)揮是在“計算機之父”——馮·諾依曼時代，作為第一臺電子計算機ENIAC的編碼系統(tǒng)。而正整數(shù)和0也構(gòu)成了自然數(shù)數(shù)集，隨著經(jīng)濟社會的發(fā)展，財政“赤字”、“賒賬”不還和“人數(shù)”遷徙等現(xiàn)象層出不窮，都需要更加明確的數(shù)字來表示，從而負(fù)數(shù)進(jìn)入了生活。“不患寡而患不均，不患貧而患不安”的“平均”理念也讓分?jǐn)?shù)（有理數(shù)）登上“舞臺”?！毒耪滤阈g(shù)》中對于分?jǐn)?shù)在日常生活中運用得更加充分，而其也有別于重要的無理數(shù)，其中最頗為人知的便是“圓周率”這個無理數(shù)，其由魏晉時期的劉徽首創(chuàng)的割圓術(shù)來不斷逼近。另一個“優(yōu)美”的無理數(shù)便是自然指數(shù)或歐拉數(shù)（可參考《專搞“線”的伯努利家族》）。

對于不同的進(jìn)制表達(dá)，我們都可以用下面類似的科學(xué)計數(shù)法表示。

既然計算機有位數(shù)和內(nèi)核限制，就不可能將所有實數(shù)都表示出來，與此同時，浮點運算也無法精確進(jìn)行。這就需要將理論的運算重現(xiàn)到計算機上，盡可能減少其運算過程中的誤差，這就需要選擇合適的“算法”并加以探討，尤其是在進(jìn)行類似階乘算法、分母約為0的除法和循環(huán)迭代算法等情況。

古往今來，各個文明古國都有著自身數(shù)形轉(zhuǎn)變和數(shù)位進(jìn)制的歷史，隨著時代的更迭，戰(zhàn)爭殖民、市場經(jīng)濟、政治擂臺、信息交流等等，都對數(shù)集的概念進(jìn)行了擴充和發(fā)展，也產(chǎn)生了運算規(guī)則。與此同時，也遺留著一些數(shù)字本身未盡的問題，值得深究，那里也有一片“未知的宇宙”，而你手中或許就握著打開數(shù)字大門的鑰匙。