? ? ? ? 在學(xué)完集合的概念,運(yùn)算及應(yīng)用之后來學(xué)習(xí)含絕對(duì)值的不等式和簡(jiǎn)單的一元二次不等式是有依據(jù)的.從此,我們要學(xué)會(huì)用集合這種數(shù)學(xué)語言來敘述不等式的解集,集合將成為我們今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)尤其是高中數(shù)學(xué)的有力武器.如何用好這個(gè)武器,不等式就是實(shí)踐的好機(jī)會(huì).

? ? ? ? 不等式是與等式相對(duì)的一個(gè)重要概念,其實(shí)在現(xiàn)實(shí)當(dāng)中,相等是比較少的,而不等才是很普遍的情形,試想一想,相等是需要說明它完全一樣,而不等則只要找出差異即可.看來學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)問題也是一種必然,一種需要.

? ? ? ? 先來看含絕對(duì)值的不等式|x|>a或|x|<a(a>0),我們根據(jù)絕對(duì)值的定義及其幾何意義來考慮如何解決.首先看絕對(duì)值方程|x|=a,它的解可能有兩種情形,如果x≥0,x=a;如果x<0,x=-a.這是根據(jù)絕對(duì)值定義來的,倘若利用絕對(duì)值的幾何意義考慮,|x|=a就表示x到數(shù)軸上原點(diǎn)的距離為a,求未知數(shù)x的值.根據(jù)數(shù)軸的特征可知,這樣的點(diǎn)有兩個(gè)a和-a,于是同樣知道這個(gè)絕對(duì)值方程有兩個(gè)解.類似地考慮不等式|x|>a(a>0),到原點(diǎn)的距離大于a的點(diǎn)在-a的左邊或者a的右邊,即解集為｛x|x<-a或x>a｝,也就是所謂"大魚吃兩邊";同樣可知,|x|<a(a>0)的解集就是｛x|-a<x<a｝,也即所謂"小魚吃中間".

? ? ? ?進(jìn)一步,如果把上面不等式中的x換成一個(gè)式子ax+b,即這樣的不等式|ax+b|>c(c>0)或|ax+b|<c(c>0),解法也是類似的.利用整體代換的思想,將前面的x換成ax+b就行了.

? ? ? ?還有如果上面的不等式|x|>a或|x|<a中把a(bǔ)>0這個(gè)條件去掉的話,問題就不一樣了,就需要分類討論了,如對(duì)不等式|x|>a,當(dāng)a>0時(shí),就是上面的情形;當(dāng)a=0時(shí),解集為｛x|x≠0｝;當(dāng)a<0時(shí),解集就成了｛x|x∈Φ｝,因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的絕對(duì)值不可能小于0,但這樣的問題同學(xué)往往會(huì)自作主張地認(rèn)為就是a>0,而不是具體情況具體分析,從而導(dǎo)致解答不完整,在考試中會(huì)失分.同樣地,在不等式|ax+b|>c中如果沒有限制c的范圍,當(dāng)然也要分類討論來解決的,希望同學(xué)們仿照上面的過程給予解答.

? ? ? ?其實(shí),說了這么多,我們可以看出,解決含有絕對(duì)值的不等式的思路很明確,就是要根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉其中的絕對(duì)值符號(hào),這才是關(guān)鍵所在,只要去掉了絕對(duì)值符號(hào),問題就變成了一元一次不等式,達(dá)到了轉(zhuǎn)化為已知問題的目的.說到轉(zhuǎn)化,我就想起了曾經(jīng)聽過的一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)家的故事:

? ? ? ?平時(shí)生活中燒水可以分為這樣幾步:一,在壺里灌滿水;二,放到有火的爐子上燒開.這是人所共知的事.現(xiàn)在的情形是,壺里已經(jīng)有了滿滿的一壺水,該怎么辦?許多人的做法是,直接放到爐子上燒就行了,但數(shù)學(xué)家是不這樣做的,他說,我只要把水倒出來就行了.為什么?因?yàn)檫@樣一來,問題就轉(zhuǎn)化為大家都已知的平常的燒水問題了.這就是數(shù)學(xué)的思維--轉(zhuǎn)化和化歸.我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中遇到的問題基本上都是要通過轉(zhuǎn)化和化歸來解決的,這是一種基本的常識(shí).

? ? ???含有絕對(duì)值的不等式問題有下面幾類:

? ? ? ?一是基本的解不等式問題,就是課本上涉及到的題目,只要求大家熟練掌握常規(guī)的解法,即"大魚吃兩邊""小魚吃中間". 大家只要分清在什么情況下應(yīng)用這樣的法則就可以了.

? ? ? ?二是含參數(shù)的絕對(duì)值不等式,像剛才提到的去掉a,c的限制條件,就需要我們進(jìn)行合理的分類討論來解決,何謂"合理的分類討論"?就是分類標(biāo)準(zhǔn)要明確,不重不漏,如a>0,a=0,a<0,缺一不可,不完整的分類當(dāng)然是拿不到滿分的.

? ? ? ?三是含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的絕對(duì)值符號(hào)的不等式,我們用"零點(diǎn)分段討論法"來解決,只有這樣,才可以去掉式子中的絕對(duì)值符號(hào),使之轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式,但在每一段上得到的結(jié)果必須滿足各自的前提條件,即在每一段上解得原不等式的解之后,要與前提條件求交集,最后把各段的結(jié)果取并集,因?yàn)槊恳欢问腔ゲ挥绊懙?這需要看一個(gè)例題:

? ? ? ?解不等式|x+1|+|x-1|<3.

? ? ? ?解:在原不等式中,若|x+1|=0,x=-1;若|x-1|=0,x=1,

? ? ? ?于是-1,1把整個(gè)數(shù)軸分成了三部分.

? ? ? (1)當(dāng)x<-1時(shí),原不等式可變?yōu)?(x+1)-(x-1)<3,即x>-3/2,此時(shí)原不等式的解集為

? ? ｛x|x>-3/2｝∩｛x|x<-1｝=｛x|-3/2<x<-1｝.

? ? ? (2)當(dāng)-1≤x<1時(shí),原不等式可變?yōu)閤+1-(x-1)<3,即2<3,恒成立,x∈R,此時(shí)原不等式的解集為

? ? ｛x|-1≤x<1｝∩R=｛x|-1≤x<1｝.

? ? ? (3)當(dāng)x≥1時(shí),原不等式可變?yōu)閤+1+x-1<3,即x<3/2,此時(shí)原不等式解集為｛x|x<3/2｝∩｛x|x≥1｝=｛x|1≤x<3/2｝.

? ?綜上由(1)(2)(3)的并集得原不等式的解集為

｛x|-3/2<x<3/2｝.

? ? ? ? 另外,解此絕對(duì)值不等式也可以結(jié)合其對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象來考慮.

? ? ? ?這里的絕對(duì)值函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-1|通過零點(diǎn)分段討論之后可以轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),當(dāng)x<-1時(shí),f(x)=-2x;當(dāng)-1≤x<1時(shí),f(x)=2;當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=2x,明顯地,函數(shù)圖象分為三段,左邊是向左上方無限延伸的射線,中間是水平線段,,右邊是向右上方無限延伸的射線,整體上關(guān)于y軸對(duì)稱(具有這樣圖象的函數(shù)將來我們會(huì)知道它是偶函數(shù),在第二章學(xué)習(xí)).解這里的絕對(duì)值不等式就是要找出函數(shù)圖象上使函數(shù)值小于3的所有自變量x的集合,為此,我們通過y軸上的點(diǎn)(0,3)作一條水平直線,與函數(shù)f(x)的圖象會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)(-3/2,3)和(3/2,3),在這兩個(gè)點(diǎn)之間的函數(shù)f(x)的圖象都在直線y=3的下方,這部分圖象上的x都是適合不等式的,所以這個(gè)不等式的解集就是｛x|-3/2<x<3/2｝.

? ? ? ?如果把這個(gè)問題進(jìn)行變化,就有下面的問題:

? ? ??若不等式|x+1|+|x-1|>a對(duì)任何x∈R都成立,求a的取值范圍.

? ? ? ?該題若用零點(diǎn)分段討論法來解答,過程回很長(zhǎng)很繁瑣,有興趣的同學(xué)不妨一試,但若利用函數(shù)圖象來考慮則別有洞天.由剛才的過程知,函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-1|的最小值為2,欲使原不等式恒成立,只要a小于這個(gè)最小值2就行了.即a<2為所求的取值范圍.這就好比門口有一個(gè)人說他比我們班的每個(gè)人都低,為了驗(yàn)證他說的是否正確,我們并不需要讓他來和我們班的每個(gè)人都比一比,只要讓我們班最低的人和他比試就有了結(jié)果.這就是說,恒成立問題往往要轉(zhuǎn)化為最值問題來處理.這種恒成立問題,我們?cè)谝辉尾坏仁街羞€會(huì)系統(tǒng)來研究,這里就不多廢話了.

? ? ? ?總之,這種含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值的不等式問題,一般方法是"零點(diǎn)分段討論法",還可以結(jié)合對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象,用數(shù)形結(jié)合的思想來解決.

? ? ? ?至于一元二次不等式的問題下次再談.

(wei'wan待續(xù))

(2006-09-20 08:02:39)