小學(xué)時(shí)候我們就學(xué)過(guò)圓的面積公式S=πR^2，其中S是圓的面積，π是圓周率，R是圓的半徑。大家還記得這個(gè)公式是怎么得到的嗎？我們可以用一個(gè)比薩餅來(lái)說(shuō)明。而且，通過(guò)這個(gè)例子，還可以向大家說(shuō)明微積分的基本原理。

以下是我的第一本科普書

《十分鐘智商運(yùn)動(dòng)》

相關(guān)內(nèi)容

1、圓的面積

首先，我們畫一個(gè)圓，這個(gè)圓的半徑為R，周長(zhǎng)為C。我們知道，圓的周長(zhǎng)與直徑的比定義為圓周率π，因此C=2πR，這個(gè)公式就是圓周率的定義，是不需要推導(dǎo)的。

然后，我們把圓分割成許多個(gè)小扇形，就好像一個(gè)比薩餅分割成了很多小塊。我們把這些扇形比薩餅一正一反的拼在一起，這樣就形成了一個(gè)接近于長(zhǎng)方形的圖形。

可以想象，如果圓分割的越細(xì)，拼好的圖形就越接近長(zhǎng)方形。如果圓分割成無(wú)限多份，那么拼起來(lái)就是一個(gè)嚴(yán)格的長(zhǎng)方形了。

而且，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積與圓的面積是相等的。我們要求圓的面積，只需要求出這個(gè)長(zhǎng)方形的面積就可以了。

顯然，這個(gè)長(zhǎng)方形的寬就是圓的半徑R，而長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的一半，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式“長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)乘寬”，我們得到圓的面積公式：

?其實(shí)，這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程很簡(jiǎn)單，那就是先無(wú)限分割，再把這無(wú)限多份求和。

分割就是微分，求和就是積分，這就是微積分的基本思想。

2、牛頓與萊布尼茨之爭(zhēng)

大家知道微積分是誰(shuí)發(fā)明的方法嗎？

從古希臘時(shí)代開(kāi)始，數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)利用微積分的思想處理問(wèn)題了。比如阿基米德、劉徽等人，在處理與圓相關(guān)問(wèn)題時(shí)都用到了這種思想，但是那時(shí)微積分還沒(méi)有成為一種理論體系。直到十七世紀(jì)，由于物理學(xué)中求解運(yùn)動(dòng)——天文、航海等問(wèn)題越來(lái)越多，對(duì)微積分的需求變得越來(lái)越迫切。于是，英國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓和德國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別發(fā)明了微積分。

1665年，牛頓從劍橋大學(xué)畢業(yè)，當(dāng)時(shí)他22歲。他本來(lái)應(yīng)該留校工作，但是英國(guó)突然爆發(fā)瘟疫，學(xué)校關(guān)閉了。牛頓只好回到家鄉(xiāng)躲避瘟疫。在隨后的兩年里，牛頓遇到了他的蘋果，發(fā)明了流數(shù)法、發(fā)現(xiàn)了色散，并提出了萬(wàn)有引力定律。

牛頓所謂的流數(shù)法，就是我們所說(shuō)的微積分。但是牛頓當(dāng)時(shí)并沒(méi)有把它看得太重要，只是把它作為一種很小的數(shù)學(xué)工具，是自己研究物理問(wèn)題時(shí)的副產(chǎn)品，所以并不急于把這種方法公之于眾。

十年之后，萊布尼茨了解到牛頓的數(shù)學(xué)工作，與牛頓進(jìn)行了短暫的通信。在1684年，萊布尼茨作為微積分發(fā)明第一人，連續(xù)發(fā)表了兩篇論文，正式提出了微積分的思想，這比牛頓提出的流數(shù)法幾乎晚了20年。但是在論文中，萊布尼茨對(duì)他與牛頓之間通信的事只字未提。

牛頓憤怒了。作為歐洲科學(xué)界的學(xué)術(shù)權(quán)威，牛頓通過(guò)英國(guó)皇家科學(xué)院公開(kāi)指責(zé)萊布尼茨，并刪除了巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中有關(guān)萊布尼茨的部分。萊布尼茨也毫不示弱，對(duì)牛頓反唇相譏。兩個(gè)科學(xué)巨匠的爭(zhēng)論直到二人去世依然沒(méi)有結(jié)果。我們今天談到微積分公式，還稱之為“牛頓-萊布尼茨公式”。

他們?cè)谧约旱闹髦袆h除對(duì)手的名字，后人卻總是把他們的名字放在一塊寫。如果他們知道微積分公式現(xiàn)在的名字，又會(huì)作何感想呢？歷史就是這么有趣。

3、微積分能干啥？

為了讓大家更了解微積分及其應(yīng)用，我們?cè)賮?lái)計(jì)算一個(gè)面積：有一個(gè)三條邊為直線，一條邊為曲線的木板，并且有兩個(gè)直角。我們希望求出木板的面積。

為了求出這個(gè)面積，我們首先把木板放在一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)，底邊與x軸重合。左右兩個(gè)邊分別對(duì)應(yīng)著x=a和x=b兩個(gè)位置，而頂邊曲線滿足函數(shù)。函數(shù)就是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系：每個(gè)x對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)高度是f(x)。

如果我們把這個(gè)圖形用與y軸平行的線進(jìn)行無(wú)線分割，那么每一個(gè)豎條都非常接近于一個(gè)長(zhǎng)方形。長(zhǎng)方形的寬是一小段橫坐標(biāo)Δx，高接近于f(x)，所以一個(gè)豎條的面積就是f(x)Δx。

現(xiàn)在我們把無(wú)限多的小豎條求和，就是板子的面積，寫作

其中a叫做下限，b叫做上限，f(x)叫做被積函數(shù)，這個(gè)表達(dá)式就是積分，表示f(x)、x=a、x=b和x軸四條線圍成的圖形面積。

怎么樣？雖然微積分的計(jì)算比較復(fù)雜，但是明白其中的原理還是十分簡(jiǎn)單的，對(duì)不對(duì)？

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