電磁感應(yīng)的應(yīng)用

2023-06-30 03:12 作者:像腕龍一樣 0人讀過 | 我要投稿

一、電磁感應(yīng)現(xiàn)象

? ? ? ?1820年H.C.奧斯特發(fā)現(xiàn)電流磁效應(yīng)后，許多物理學(xué)家便試圖尋找它的逆效應(yīng)，提出了磁能否產(chǎn)生電，磁能否對電作用的問題，1822年D.F.J.阿喇戈和A.von洪堡在測量地磁強(qiáng)度時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)金屬對附近磁針的振蕩有阻尼作用。1824年，阿喇戈根據(jù)這個(gè)現(xiàn)象做了銅盤實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)動的銅盤會帶動上方自由懸掛的磁針旋轉(zhuǎn)，但磁針的旋轉(zhuǎn)與銅盤不同步，稍滯后。電磁阻尼和電磁驅(qū)動是最早發(fā)現(xiàn)的電磁感應(yīng)現(xiàn)象，但由于沒有直接表現(xiàn)為感應(yīng)電流，當(dāng)時(shí)未能予以說明。

? ? ? ? 1831年8月，M.法拉第在軟鐵環(huán)兩側(cè)分別繞兩個(gè)線圈，其一為閉合回路，在導(dǎo)線下端附近平行放置一磁針，另一與電池組相連，接開關(guān)，形成有電源的閉合回路。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，合上開關(guān)，磁針偏轉(zhuǎn)；切斷開關(guān)，磁針反向偏轉(zhuǎn)，這表明在無電池組的線圈中出現(xiàn)了感應(yīng)電流。法拉第立即意識到，這是一種非恒定的暫態(tài)效應(yīng)。緊接著他做了幾十個(gè)實(shí)驗(yàn)，把產(chǎn)生感應(yīng)電流的情形概括為5類：變化的電流，變化的磁場，運(yùn)動的恒定電流，運(yùn)動的磁鐵，在磁場中運(yùn)動的導(dǎo)體，并把這些現(xiàn)象正式定名為電磁感應(yīng)。進(jìn)而，法拉第發(fā)現(xiàn)，在相同條件下不同金屬導(dǎo)體回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電流與導(dǎo)體的導(dǎo)電能力成正比，他由此認(rèn)識到，感應(yīng)電流是由與導(dǎo)體性質(zhì)無關(guān)的感應(yīng)電動勢產(chǎn)生的，即使沒有回路沒有感應(yīng)電流，感應(yīng)電動勢依然存在。

? ? ? ?但是，由于法拉第自身數(shù)學(xué)修養(yǎng)，法拉第沒能將這一規(guī)律總結(jié)出數(shù)學(xué)表達(dá)式。后來麥克斯韋總結(jié)為

$E%3Dk%5Cfrac%7B%5CDelta%5CPhi%20%20%7D%7B%5CDelta%20t%7D%20$

同時(shí)，成為了麥克斯韋方程組的一部分。在國際單位制下，結(jié)合楞次定律，取 $k%3D-1$ ，即

$E%3D-%5Cfrac%7B%5CDelta%5CPhi%20%20%7D%7B%5CDelta%20t%7D%20$

感應(yīng)電動勢是磁通量關(guān)于時(shí)間的變化率。如果是變化的磁場通過一個(gè)n匝的線圈，則有

? $E%3D-n%5Cfrac%7B%5CDelta%20%5CPhi%20%7D%7B%5CDelta%20t%7D%20$

二、電磁感應(yīng)的應(yīng)用

? ? ? 工業(yè)上對電磁感應(yīng)的最大應(yīng)用發(fā)電機(jī)與變壓器，我們分別討論。

1.?發(fā)電機(jī)

圖一

? ? ??如圖一所示，圖中導(dǎo)體框區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，并且上下導(dǎo)軌平行安置，間距為L，有活動導(dǎo)體桿H垂直于導(dǎo)軌放置并且可以延導(dǎo)軌方向以速度v勻速移動，并且忽略除R外的其他電阻。導(dǎo)體框與活動桿構(gòu)成一個(gè)封閉且導(dǎo)通的整體。H從R端開始移動，某時(shí)刻，通過這個(gè)封閉整體內(nèi)的磁通量為

? $%5CPhi%20%3DBLvt$

因?yàn)樗蔷鶆蜃兓?，對其取時(shí)間變化率為

$E%E2%80%99%3DBLv$

$E%3D-BLv$

如此，我們就得到了平行導(dǎo)軌勻速運(yùn)動感應(yīng)電動勢的方程。我們更一般的考慮，L從距離R為d的位置開始移動，此時(shí)有

$%5CPhi%20%3D%20%5CPhi_%7B0%7D%20%2BBLvt$

$%5CPhi_%7B0%7D%20%3DBLd%0A$

在兩個(gè)不同的時(shí)刻有

? $%5CPhi_%7B1%7D%3D%5CPhi_%7B0%7D%20%20%2BBLvt_%7B1%7D%20$

$%5CPhi_%7B2%7D%20%3D%5CPhi_%7B0%7D%20%2BBLvt_%7B2%7D%20$

$%5CDelta%20%5CPhi%20%3D%5CPhi_%7B2%7D%20-%5CPhi_%7B1%7D$

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $%3DBLvt_%7B2%7D-BLvt_%7B1%7D$

$%5Cvarepsilon%20%3D-%5Cfrac%7BBLvt_%7B2%7D-BLVt_%7B1%7D%7D%7Bt_%7B2%7D-t_%7B1%7D%7D%20$

既有：

$E%3D-BLv$

也就是說E的大小方向與H的初始位置無關(guān)。

?????我們考慮另外一種情況，此時(shí)桿與水平導(dǎo)軌夾角為θ，如圖二所示

圖二

導(dǎo)軌間桿長為L，我們可知兩條平行導(dǎo)軌間距為d

? $d%3DLsin%5Ctheta%20$

于是有

$E%3D-BLvsin%5Ctheta%20$

就是說，平行導(dǎo)軌間均勻磁場的磁通量變化率就是其磁感應(yīng)強(qiáng)度與單位時(shí)間內(nèi)通過的面積的乘積。

我們現(xiàn)在考慮另一個(gè)問題，如圖三所示，為一個(gè)閉合的導(dǎo)體框，導(dǎo)體框內(nèi)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，變化，導(dǎo)體框?yàn)檫呴L為a的正方形，求R兩端電勢差。

圖三

$%5CPhi%20%3DBS$ ? ? ? ? ? ?

某兩個(gè)時(shí)刻的磁通量差值

?? $%5CDelta%20%5CPhi%20%3DB_%7B0%7Dt_%7B2%7D%5Ccdot%20a%5E2-B_%7B0%7Dt_%7B1%7D%5Ccdot%20a%5E2$ ?

因?yàn)榇艌鍪蔷鶆蜃兓?/p>

$%5Cvarepsilon%20%3D-%5Cfrac%7BB_%7B0%7Da%5E2(t_%7B2%7D-t_%7B1%7D)%7D%7Bt_%7B2%7D-t_%7B1%7D%7D%20$ ?

? $E%3D-B_%7B0%7Da%5E2$

? ? ? ?我們考慮第四種情況，如圖四所示，兩條導(dǎo)軌成45°角連接放置，在頂角連接處有R的電阻，導(dǎo)軌區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場。活動導(dǎo)體桿垂直于水平方向放置，并且沿水平導(dǎo)軌方向以速度v從連接處勻速運(yùn)動。求運(yùn)動桿兩端電壓。

圖四

某時(shí)的磁通量為

$%5CPhi%20%3DBS$

? ? ? ? ? ? ? ? ?? $%3DB%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20(vt)%5E2$

? ? ? ? ? ?? $%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20Bv%5E2t%5E2$

我們注意到 $%5CPhi$ 是一個(gè)關(guān)于 $t$ 的二次函數(shù)，似乎直接按照 $E%3D-%5Cfrac%7B%5CDelta%20%5CPhi%20%7D%7B%5CDelta%20t%7D%20$ 不是很容易求得。我們可以考慮導(dǎo)數(shù)的物理意義?！昂瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)表示該函數(shù)的變化率”。于是

$%5CPhi(t)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20Bv%5E2t%5E2$

$E%3D-%5CPhi%20'(t)%3D-%5Cfrac%7Bd%5CPhi%20%7D%7Bdt%7D%20$

$E%3D-Bv%5E2t$

留一個(gè)思考題。

圖五

? ? ? ?如圖五所示，導(dǎo)體框?yàn)檫呴L為a的正方形，區(qū)域有沿x方向的磁場B，。當(dāng)導(dǎo)體框沿著x軸方向移動時(shí)，求R兩端的電壓。

2.?變壓器

? ? ? ?變壓器作為電磁感應(yīng)原理的另外一個(gè)重要應(yīng)用?；緲?gòu)成為一組纏繞同一鐵芯上的線圈構(gòu)成。如圖六所示。

圖六

? ? ? ? 原線圈（初級線圈）通過變化的電場產(chǎn)生變化的磁場，在副線圈（次級線圈）由變化的磁場產(chǎn)生變化的電場進(jìn)而產(chǎn)生電流（雞生蛋蛋又生雞）。因此變壓器變壓功能只能在交變電流上實(shí)現(xiàn)。

理想變壓器沒有能量消耗，于是輸入功率等于輸出功率。即

? $P_%7B1%7D%3DP_%7B2%7D$

? ? ? ? 理想變壓器的第磁場都被約束在了鐵芯中，穿過每一匝線圈的磁通量相同，假設(shè)變壓器原線圈和副線圈匝數(shù)分別為 $n_%7B1%7D$ 、 $n_%7B2%7D$ ，于是

? $e_%7B1%7D%3D-n_%7B1%7D%5Cfrac%7Bd%5CPhi%20%7D%7Bdt%7D%20$

? $e_%7B2%7D%3D-n_%7B2%7D%5Cfrac%7Bd%5CPhi%20%7D%7Bdt%7D%20$

這里小寫字母e表示變化的電動勢，由此可知，初級電壓和次級電壓是同頻率的。

我們就得到了

$%5Cfrac%7BU_%7B1%7D%7D%7BU_%7B2%7D%7D%20%3D%5Cfrac%7Bn_%7B1%7D%7D%7Bn_%7B2%7D%7D%20$ ?

根據(jù)

$P%3DUI$ ?

可知

? $%5Cfrac%7BI_%7B1%7D%7D%7BI_%7B2%7D%7D%20%3D%5Cfrac%7Bn_%7B2%7D%7D%7Bn_%7B1%7D%7D%20$

我們看一個(gè)例題，如圖七所示，變壓器變壓 $n_%7B1%7D%3An_%7B2%7D%3D3%3A1$ ，輸入電壓為220V的市電， $R_%7B1%7D%3DR_%7B2%7D%3DR$ 。求的電壓 $U_%7B2%7D$ ， $R_%7B1%7D$ 與 $R_%7B2%7D%20$ 的功率比。