對于電磁場的路徑積分量子化我們要考慮它的規(guī)范不變性。

一種解決方法是限制積分的區(qū)域在一個超曲面上，而不是整個空間。如此一個超曲面的方程為：

我們將其帶入到電磁場路徑積分量子化的定義式中。并且為了確保規(guī)范不變性。這兩個臨近的超曲面的關系為：

當\Lambda=0時，表示同一個超曲面。其中M是依賴于規(guī)范的選擇的。例如，在Landau規(guī)范中

并且有

這個是方便的定義：

我們可以從中看到規(guī)范不變性。當我們利用超曲面積分時，兩個超曲面之間的積分公式中右邊的第一項消失。上式中的積分可以被計算，改變積分變量為M\Lambda：

經過一系列積分變量變換和積分，我們可以得到：

然后我們注意一些積分無關的項，定義：

注意在這個過程中積分范圍的變化，可以確保我們使用超曲面的結果。

限制積分再超曲面的方法不僅僅只有這一種。后續(xù)的方式可以參見書中的內容。

在本節(jié)的最后，我們簡要談談路徑積分 (2.115) 的收斂性。一般來說，由于作用 S 是實數(shù)，積分中的指數(shù)是純虛的。因此，對整個函數(shù)空間進行積分時，積分的定義通常是不正確的。在前面的章節(jié)中，我們通過謹慎使用無窮小因子改善了這一問題。正如第 2.7 節(jié)所述，使用 ?定義費曼格林函數(shù)等同于傳遞虛時間描述，其中場是在歐幾里得空間而不是閔科夫斯基空間定義的。如果時間有序場積的真空期望值（如 (2.117)）在復￠平面上是解析的，那么我們就可以在歐幾里得空間構造一個場量子化，其中，路徑積分采用定義明確、收斂性強的高斯形式（至少對于多種拉格朗日量而言），最后通過從路徑積分 "旋轉 "回時間t來恢復閔科夫斯基空間理論。這種技術在實踐中經常使用。然而，當進入彎曲時空時，可能會出現(xiàn)沒有 "歐幾里得化"時空與原來的偽黎曼時空相對應。