牛頓

任何物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，不管是靜止或運(yùn)動(dòng)，都發(fā)生在空間內(nèi)，牛頓定義了絕對(duì)空間作為參照。絕對(duì)空間可以想象成一個(gè)無(wú)限大的盒子，萬(wàn)物都包裹在其中。絕對(duì)空間是無(wú)限的、靜止的、均勻的、唯一的，它本身不是物質(zhì)，而是一個(gè)抽象的概念。為了方便研究，牛頓還定義了相對(duì)空間。相對(duì)空間是絕對(duì)空間中的一部分，可以被我們感知。

定義一個(gè)相對(duì)空間時(shí)，必須選取一個(gè)參照物。參照物可以是任何一個(gè)物體，以這個(gè)物體為參照物所定義的空間就是這個(gè)物體的參照空間，而參照物在它的參照空間里是靜止的。參照物一般應(yīng)在它的參照空間之內(nèi)，但這不是必須的。參照空間沒(méi)有大小的限制，以研究方便為準(zhǔn)，可以非常小，也可以無(wú)限大。多個(gè)參照空間可能重疊，但各自獨(dú)立，沒(méi)有包含關(guān)系。

除了空間，還有時(shí)間的概念，兩者合在一起可以稱為時(shí)空系統(tǒng)。于是，一個(gè)參照空間和其中的時(shí)間一起，稱為參照系。換句話說(shuō)，參照系就是以一個(gè)物體作為參照物的時(shí)空系統(tǒng)。

比如，以地球?yàn)閰⒄瘴?，就形成了一個(gè)參照空間，用于研究地表上物體的運(yùn)動(dòng)。此時(shí)，地球被認(rèn)為是靜止的，雖然它相對(duì)太陽(yáng)一直在不停運(yùn)動(dòng)。再比如，一個(gè)房間和一列行駛的列車，都可以作為參照物。如果以房間為參照物，它的參照空間可以是房間內(nèi)部的區(qū)域，也可以是包括房間和列車在內(nèi)的廣大區(qū)域。此時(shí)，房間是靜止的，而列車是運(yùn)動(dòng)的。如果以列車為參照物，它的參照空間可以是列車內(nèi)部的區(qū)域，也可以是包括列車和房間在內(nèi)的廣大區(qū)域。此時(shí)，列車是靜止的，而房間是運(yùn)動(dòng)的。

在一個(gè)空間里，如果滿足牛頓運(yùn)動(dòng)定律，則稱這個(gè)空間為慣性空間。牛頓認(rèn)為，任何物體在不受外力的情況下，都會(huì)保持原有的靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，稱為慣性。換句話說(shuō)，如果一個(gè)空間內(nèi)的物體都具有慣性，則這個(gè)空間為慣性空間。一個(gè)慣性空間和其中的時(shí)間一起，稱為慣性系，或者慣性參照系，或者慣性參考系，慣性系是牛頓經(jīng)典力學(xué)的前提。如果認(rèn)定一個(gè)參照系為慣性系，那么，相對(duì)這個(gè)慣性系靜止或者勻速直線運(yùn)動(dòng)的參照系也是慣性系。

有人說(shuō)，如果一個(gè)物體是靜止或者勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，那么，以這個(gè)物體為參照物的參照系就是慣性系。這個(gè)說(shuō)法是不對(duì)的，因?yàn)槲矬w的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)必須先有參照物。又有人說(shuō)，如果一個(gè)物體沒(méi)有受到外力，那么以這個(gè)物體為參照物的參照系就是慣性系。這個(gè)說(shuō)法也是不對(duì)的，因?yàn)榱Φ亩x就與速度有關(guān)，而必須先有參照物才能定義速度?？梢?，慣性系本身是無(wú)法定義的，而是通過(guò)實(shí)驗(yàn)判斷，滿足牛頓運(yùn)動(dòng)定律的參照系就是慣性系。

比如，以地球?yàn)閰⒄瘴飿?gòu)成的參照系為慣性系，簡(jiǎn)化地說(shuō)，地球是慣性系。在房間和列車的例子中，房間相對(duì)地球靜止，所以也是慣性系，而列車如果相對(duì)地球或者相對(duì)房間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，那列車也是慣性系。反過(guò)來(lái)說(shuō)，此時(shí)如果在房間和列車?yán)镒鰧?shí)驗(yàn)，必然都會(huì)滿足牛頓運(yùn)動(dòng)定律。

再比如，我們坐在一輛高鐵上，不會(huì)感到身體被推進(jìn)或者壓后，這是因?yàn)楦哞F相對(duì)地球做近似勻速直線運(yùn)動(dòng)，坐在里面的乘客保持慣性，也就是靜止的狀態(tài)。而在一輛相對(duì)地球加速運(yùn)動(dòng)的過(guò)山車上，我們會(huì)感到強(qiáng)烈的推背感，假如沒(méi)有靠背，人會(huì)朝后飛去，不再保持靜止。這說(shuō)明，過(guò)山車不是慣性系，所以不符合牛頓運(yùn)動(dòng)定律。

邁克爾遜莫雷

為了更清楚地描述絕對(duì)空間，科學(xué)家借用以太這個(gè)概念。以太是一種假想的物質(zhì)，作為傳播媒介充斥于絕對(duì)空間之中。在以太中，太陽(yáng)是靜止的，而地球是運(yùn)動(dòng)的。邁克爾遜莫雷實(shí)驗(yàn)，就是為了計(jì)算地球在以太中的運(yùn)行速度u而設(shè)計(jì)。

在地球上一個(gè)靜止的桌面上，有一個(gè)固定的光源，同時(shí)朝正前和正上發(fā)光。前方L處有一面鏡子，上方L處也有一面鏡子，兩面鏡子將接收的光反射回光源的位置。光到達(dá)前方鏡子所用時(shí)間為?t1，從前方鏡子返回到光源點(diǎn)所用時(shí)間為?t2。由于地球本身在絕對(duì)空間中朝前運(yùn)動(dòng)，于是光朝前到達(dá)終點(diǎn)需走過(guò)更長(zhǎng)的距離，即：

c?t1?=?L + u?t1

而光返回時(shí)則走過(guò)更短的距離，即：

c?t2?=?L – u?t2

朝前往返總時(shí)間：

?t前 = ?t1 + ?t2 = 2Lc / (c^2 – u^2)

類似地，由于地球朝前運(yùn)動(dòng)，光上下運(yùn)動(dòng)的軌跡變成了斜線，根據(jù)勾股定理，可以計(jì)算出朝上方向光來(lái)回的總時(shí)間為：

?t上 = 2L / √(c^2 – u^2)

根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，朝前和朝上的兩束光同時(shí)回到光源點(diǎn)，所以?t前 = ?t上，經(jīng)過(guò)計(jì)算，u = 0。最終，實(shí)驗(yàn)測(cè)出的地球運(yùn)動(dòng)速度為0，與以太理論不符。雖然實(shí)驗(yàn)以失敗告終，卻間接證明了以太可能并不存在，也就是說(shuō)絕對(duì)空間也失去了存在的基礎(chǔ)，雖然這個(gè)證明并不完備。

?

愛(ài)因斯坦

以太不存在導(dǎo)致經(jīng)典物理體系出現(xiàn)問(wèn)題，愛(ài)因斯坦提出狹義相對(duì)論予以修正。愛(ài)因斯坦認(rèn)為，絕對(duì)空間并不存在，空間都是相對(duì)的。這是一個(gè)理論，并沒(méi)有證明，而用它可以解釋很多物理現(xiàn)象，所以目前認(rèn)為是正確的。愛(ài)因斯坦同時(shí)認(rèn)為，在慣性系中，光在真空中的傳播速度是一個(gè)常數(shù)，不管是光源移動(dòng)，還是觀察者移動(dòng)，光速都不會(huì)發(fā)生改變。這也是一個(gè)不需證明的理論，但被認(rèn)為是正確的。這里提到了必須慣性系為前提，這也是狹義相對(duì)論之所以稱為狹義的原因。

物體的運(yùn)動(dòng)可以用速度來(lái)描述，速度就是位移變化與時(shí)間變化的比值，而位移變化正是空間變化。根據(jù)v = ds / dt，不管空間還是時(shí)間發(fā)生了變化，速度都會(huì)隨之改變。然而，如果速度不變了，那么空間和時(shí)間便會(huì)發(fā)生我們意想不到的改變。所以，光速不變的理論會(huì)引起很多前所未有的問(wèn)題，包括尺縮效應(yīng)和鐘慢效應(yīng)，也就是空間變化和時(shí)間變化。

順便說(shuō)一下，速度公式的寫法容易產(chǎn)生誤解，其實(shí)它的本質(zhì)就是導(dǎo)數(shù)，即v = s? = ds / dt。所以，一定會(huì)有s = f(t)這樣一個(gè)函數(shù)，而這個(gè)函數(shù)并無(wú)明確定義，是根據(jù)物體的具體運(yùn)動(dòng)而來(lái)。比如，當(dāng)勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，函數(shù)為s = f(t) = vct，這里vc是一個(gè)常數(shù)。于是，v = s? = vc，勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度是個(gè)常量。當(dāng)不規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí)，這個(gè)函數(shù)則可能是一條奇奇怪怪的曲線。

在邁克爾遜莫雷實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)裝置是固定不動(dòng)的?，F(xiàn)在將實(shí)驗(yàn)裝置放到一輛小車上，使得光源在小車尾部，前方的鏡子在小車頭部，上方的鏡子在小車頂部，并讓小車以速度v朝前做勻速直線運(yùn)動(dòng)。然而，實(shí)驗(yàn)結(jié)果仍然是朝前和朝上的兩束光同時(shí)回到光源點(diǎn)。根據(jù)這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，仍然能推出v = 0，但這顯然是不對(duì)的，所以，必然是其他變量發(fā)生變化。

由于光速c不變，那變化的只能是長(zhǎng)度。將光源到上方的鏡面的長(zhǎng)度仍記作L?，并認(rèn)為它是不變的。注意，這是理論的基礎(chǔ)，是條件而不是結(jié)果，所以不需要證明。將小車到前方鏡面的長(zhǎng)度，也就是在運(yùn)動(dòng)方向上的長(zhǎng)度，記作L。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，?t前 = ?t上，推出：

L =? √(1 - v^2 / c^2)L?

運(yùn)動(dòng)的物體在運(yùn)動(dòng)方向上的長(zhǎng)度縮短了，稱為尺縮效應(yīng)，又稱長(zhǎng)度收縮。當(dāng)然，這種變化只有在速度很大時(shí)才會(huì)被察覺(jué)。為了方便表示，定義：

洛倫茲因子：γ = 1 / √(1 - v^2 / c^2)

于是，得到：

尺縮公式：L = L? / γ

注意，如果以地球?yàn)閰⒄障?，L是運(yùn)動(dòng)中小車的長(zhǎng)度，L?是小車靜止時(shí)的長(zhǎng)度。如果以小車為參照系，L?就是小車的長(zhǎng)度，L沒(méi)有意義。

再以小車本身為參照物，在小車參照系中，光朝上的時(shí)間為：

?t? = 2L? / c

而在地球參照系中，光走的是斜線，即：

?t = 2L? / √(c^2 – v^2)

注意，按照之前的假設(shè)，這個(gè)方向上的長(zhǎng)度L?是不變的。經(jīng)過(guò)計(jì)算：

?t? =? √(1 - v^2 / c^2)?t

如果用朝前方向的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，去除尺縮效應(yīng)的影響后，結(jié)果也是一樣的?？梢姡谛≤嚨膮⒄障抵?，或者說(shuō)，在運(yùn)動(dòng)的參照系中，時(shí)間過(guò)得更慢，也就是說(shuō)，完成同一件事情，花費(fèi)的時(shí)間更短。這稱為鐘慢效應(yīng)，又稱時(shí)間膨脹。于是得到：

鐘慢公式：?t? = ?t / γ

當(dāng)然，這仍然是在速度很快的情況下才會(huì)被察覺(jué)。注意，?t是地球參照系中的時(shí)間間隔，?t?是小車參照系中的時(shí)間間隔。

總結(jié)一下，假設(shè)有兩個(gè)參照系，比如之前提到房間和列車。在房間的參照系中，房間是靜止的，列車做勻速直線運(yùn)動(dòng)。不妨簡(jiǎn)單地把房間參照系稱為靜止系，把列車參照系稱為運(yùn)動(dòng)系。在靜止系中觀察運(yùn)動(dòng)系，運(yùn)動(dòng)系中的靜止物體在運(yùn)動(dòng)系運(yùn)動(dòng)方向上的長(zhǎng)度會(huì)縮短，運(yùn)動(dòng)系中的時(shí)間會(huì)過(guò)得更慢。

郎之萬(wàn)

對(duì)于尺縮效應(yīng)和鐘慢效應(yīng)存在很多質(zhì)疑，其中最有名的就是郎之萬(wàn)提出的雙生子佯繆。從一個(gè)參照系認(rèn)為另一個(gè)參照系的時(shí)間變慢，但由于空間和運(yùn)動(dòng)是相對(duì)的，那么從另一個(gè)參照系反過(guò)來(lái)認(rèn)為這個(gè)參照系的時(shí)間會(huì)變慢。所以，到底哪個(gè)時(shí)間變慢，產(chǎn)生了矛盾。假定甲、乙兩人，甲在地球上不動(dòng)，乙乘飛船以高速做勻速直線飛行。一段時(shí)間后，由于鐘慢效應(yīng)，甲認(rèn)為乙更年輕，而乙認(rèn)為甲更年輕，這便產(chǎn)生了矛盾。根據(jù)愛(ài)因斯坦的解釋，這只是一種誤解，并非真的謬誤。

把問(wèn)題描述得形象一些，甲發(fā)現(xiàn)自己長(zhǎng)出了兩根胡子，他掐指一算，乙應(yīng)該只長(zhǎng)出了一根胡子。而乙摸著自己的一根胡子，算了一下，甲應(yīng)該還沒(méi)有長(zhǎng)出胡子。那么，乙有一根胡子時(shí)，甲到底是兩根胡子還是沒(méi)有胡子，便成了問(wèn)題。解決這個(gè)疑問(wèn)的關(guān)鍵在于，甲兩根胡子和乙一根胡子這兩件事，對(duì)于甲來(lái)說(shuō)是同時(shí)發(fā)生的，但對(duì)于乙來(lái)說(shuō)并不是同時(shí)發(fā)生。同樣，乙一根胡子和甲沒(méi)有胡子這兩件事，對(duì)于乙來(lái)說(shuō)是同時(shí)發(fā)生的，但對(duì)于甲來(lái)說(shuō)并不是同時(shí)發(fā)生。這便是同時(shí)相對(duì)性。

先來(lái)證明一下同時(shí)相對(duì)性。以飛船為參照系，假定飛船的頭部和尾部距離L?，在其中間點(diǎn)朝頭尾同時(shí)發(fā)送光束，則光同時(shí)到達(dá)，耗時(shí)為：

?t靜?=?L? / 2c

以地球?yàn)閰⒄障?，根?jù)尺縮效應(yīng)，飛船長(zhǎng)度并不是L?，而是L。由于飛船朝前運(yùn)動(dòng)，所以光束到達(dá)頭部是時(shí)間為：

?t頭 = L / 2(c -?v)

另一光束到達(dá)尾部的時(shí)間為：

?t尾 = L / 2(c +?v)

兩者明顯并不同時(shí)，其時(shí)間差為：

?t差?=??t頭?- ?t尾?= Lv / (c^2 – v^2)

運(yùn)用尺縮效應(yīng)的公式，將L變換為L?，時(shí)間差調(diào)整為：

?t差?=?(L?v / c^2)? / √(1 - v^2 / c^2) = (L?v?/?c^2) γ

再反過(guò)來(lái)看，若是兩件事在地球上同時(shí)發(fā)生，則根據(jù)鐘慢公式，飛船上的時(shí)差為：

?t?差?=?L?v?/ c^2

不過(guò)，由于飛船看地球的運(yùn)動(dòng)方向相反，所以，兩件事的先后關(guān)系也反轉(zhuǎn)。

總結(jié)一下，在一個(gè)運(yùn)動(dòng)的參照系中，兩個(gè)地點(diǎn)同時(shí)發(fā)生的事情，到了靜止的參照系中，并不同時(shí)發(fā)生，運(yùn)動(dòng)方向上后方的比前方的更早發(fā)生，時(shí)差為：

?t差?=?(L?v / c^2) γ

在一個(gè)靜止的參照系中，兩個(gè)地點(diǎn)同時(shí)發(fā)生的事情，到了運(yùn)動(dòng)的參照系中，并不同時(shí)發(fā)生，運(yùn)動(dòng)方向上前方的比后方的更早發(fā)生，時(shí)差為：

?t?差?=?L?v / c^2

注意，這兩個(gè)公式中的長(zhǎng)度都是L?。

回到雙生子的問(wèn)題，為了方便計(jì)算，假定飛船的速度v =?0.8c，飛船從地球正上方飛過(guò)時(shí)，甲和乙都為0歲?，F(xiàn)在以地球?yàn)閰⒄障?，過(guò)了20年，根據(jù)速度公式，飛船已經(jīng)遠(yuǎn)離了16c的距離。此時(shí)，甲為20歲，而根據(jù)鐘慢效應(yīng)，乙為12歲。轉(zhuǎn)換飛船參照系，根據(jù)尺縮公式，乙離開甲的距離為26.67c，根據(jù)速度公式，已經(jīng)過(guò)了33.33年。也就是說(shuō)，乙已經(jīng)33.33歲了，而甲剛剛20歲，這與鐘慢公式相符。那么，甲20歲時(shí)，乙到底是12歲還是33歲，似乎有了矛盾。其實(shí)，根據(jù)同時(shí)性對(duì)性，在地球系中，甲20歲和乙12歲同時(shí)發(fā)生，而在飛船系中，兩件事并不同時(shí)發(fā)生。根據(jù)同時(shí)性對(duì)性公式，相差了21.33年，也就是說(shuō)，在飛船系中，乙12歲這件事發(fā)生了21.33年后，也就是乙33.33歲時(shí)，甲20歲，這就沒(méi)有了矛盾?？梢姡煌瑓⒄障档耐瑫r(shí)性是不同的。再以胡子為例，在地球系中，甲兩根胡子時(shí)乙一根胡子，而在飛船系中，甲兩根胡子時(shí)乙四根胡子，這兩者都是正確的，因?yàn)椴煌瑓⒄障档牡耐瑫r(shí)性是不同的，無(wú)法進(jìn)行比較。

類似的疑問(wèn)，一粒光子以光速?gòu)纳磉咃w過(guò)，從光子的角度來(lái)說(shuō)，人的時(shí)間變慢，壽命變長(zhǎng)。我們身邊都是光，但壽命并沒(méi)有因此變長(zhǎng)，這也是因?yàn)橥瑯拥脑?。其?shí)，每個(gè)人在自己的空間生活，并不會(huì)感到時(shí)間快慢，換句話說(shuō)，飛船上的乙并不會(huì)覺(jué)得自己多活了，那只是甲覺(jué)得他年輕罷了。

洛倫茲

為了更加清晰地解釋問(wèn)題，引入洛倫茲變換的概念。假定用四維坐標(biāo)系來(lái)表示兩個(gè)慣性系S和S?，第四維為時(shí)間。其中 S?相對(duì)S做勻速直線運(yùn)動(dòng)，方向?yàn)?span id="s0sssss00s" class="color-green-03">x軸正方向，速度為u。當(dāng)兩個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)重合時(shí)，原點(diǎn)時(shí)間t和t?同時(shí)為0。

洛倫茲變換的公式為，空間變換：

x? = (x – ut) γ

時(shí)間變換：

t? = (t – ux / c^2) γ

其中，x和x?是某一點(diǎn)的位置坐標(biāo)，t和t?是該坐標(biāo)點(diǎn)的時(shí)間，而兩外兩個(gè)維度y和z沒(méi)有變化，所以不做討論。在靜止系S系中，所有點(diǎn)的t是相同的，而在運(yùn)動(dòng)系S?中則不同。

推導(dǎo)空間公式，在空間方面，從起始狀態(tài)開始，隨著時(shí)間的推移，S?的原點(diǎn)前移了ut的距離。所以，當(dāng)從坐標(biāo)系S變換到S?，需要 (x – ut)來(lái)調(diào)整原點(diǎn)變化。接著，再用 √(1 – u^2 / c^2)將調(diào)整后的坐標(biāo)進(jìn)行尺縮，最終推得x?坐標(biāo)的變換公式。

推導(dǎo)時(shí)間公式，在時(shí)間方面，假定要計(jì)算某點(diǎn)A在S?中的時(shí)間t?A。已知xA = x，tA = t，并根據(jù)洛倫茲變換，可得x?A = (x – ut) γ。此時(shí)，設(shè)S?的原點(diǎn)移動(dòng)到了B點(diǎn)，所以，x?B = 0，xB = ut。根據(jù)S系中所有點(diǎn)時(shí)間相同， 可知tB = tA = t。接下來(lái)，根據(jù)鐘慢公式，可得?t? = ?t / γ。注意，鐘慢公式中的時(shí)間是時(shí)間間隔而不是時(shí)間點(diǎn)，而時(shí)間間隔在同一個(gè)空間內(nèi)是不變的，與位置無(wú)關(guān)。又因?yàn)?span id="s0sssss00s" class="color-green-03">B是原點(diǎn)，所以該點(diǎn)的時(shí)間間隔等同于時(shí)間點(diǎn)坐標(biāo)，于是，t?B = tB / γ = tA / γ。接下來(lái)，根據(jù)同時(shí)相對(duì)性公式，S系中A和B兩點(diǎn)同時(shí)，即tB = tA，而到了S?系中，A點(diǎn)先發(fā)生，B點(diǎn)后發(fā)生，相差t?B - t?A = x?Au / c^2。注意，由于B是S?系原點(diǎn)，所以公式中可以直接用坐標(biāo)替代長(zhǎng)度。至此，得到t?A = t?B - x?Au / c2，再經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，最后得到洛倫茲時(shí)間變化公式。

用洛倫茲變換來(lái)解釋雙生子的例子。地球系S，原點(diǎn)為甲的位置，飛船系S?，的原點(diǎn)為乙的位置。飛船出發(fā)時(shí)兩個(gè)原點(diǎn)重合，S和S?的時(shí)間為0，甲和乙都是0歲。飛船以速度u = 0.8c勻速朝前運(yùn)動(dòng)，地球的時(shí)間過(guò)去了20年。此時(shí)，甲仍在地球系原點(diǎn)，該位置未發(fā)生變化，稱為A點(diǎn)。乙仍在飛船系原點(diǎn)，但該點(diǎn)已經(jīng)運(yùn)動(dòng)到了新的位置，稱為B點(diǎn)。

先看飛船在A點(diǎn)時(shí)，也就是起始狀態(tài)：

xA1?= 0，tA1?= 0，xB1?= 0.8c * 20 = 16c，tB1?= tA1?=?0

根據(jù)洛倫茲變換：

x?A1?=?0，t?A1?=?0，x?B1?= 26.67c，t?B1?=?-21.33

再看飛船到達(dá)B點(diǎn)時(shí)：

xA2 = 0，tA2?= 20，xB2?= 0.8c * 20 = 16c，tB2?= tA2?= 20

根據(jù)洛倫茲變換：

x?B2?= 0，t?B2?=?12，x?A2?= -26.67c，t?A2?= 33.33

接下來(lái)，推算甲和乙的年齡。甲一直停留在A點(diǎn)，其年齡為：

tA2?-?tA1?= 20

從S系來(lái)看，乙從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，其年齡為：

t?B2?-?t?A1 = 12

從S?系來(lái)看，乙一直停留在B點(diǎn)，其年齡為：

t?B2?-?t?B1?= 33.33

所以，當(dāng)甲20歲時(shí)，在地球上看乙為12歲，在飛船上看乙為33.33歲，兩個(gè)參照系的同時(shí)性不同。

除了空間和時(shí)間，速度在不同參照系中也需要轉(zhuǎn)換。根據(jù)洛倫茲變換，以及速度公式v = ds / dt，可以推算出速度公式：

v? = (v - u) / (1 – vu / c^2)

比如，上例中的飛船以速度v勻速直線前進(jìn)，然后調(diào)頭朝反方向返回，速度u = -v。下面，分別以地球和返航飛船來(lái)看前進(jìn)飛船的速度。在地球系S中，前進(jìn)飛船的速度為v。在返航飛船S?中，根據(jù)洛倫茲速度變換公式，前進(jìn)飛船的速度為v? =?2vc^2?/ (v^2?+ c^2)。例如，v = 0.8c，則v? = 0.96c。換句話說(shuō)，以地球做參照系，前進(jìn)飛船以0.8c的速度朝前運(yùn)行，而以返程飛船為參照系，前進(jìn)飛船是以0.96c的速度朝前運(yùn)行，而不是簡(jiǎn)單疊加的2v = 1.6c。這也說(shuō)明，任何物體的速度是不可能超過(guò)光速的。

至此，問(wèn)題并未完全解決。既然兩個(gè)不同空間具有同時(shí)相對(duì)性，無(wú)法進(jìn)行年齡的比較，那么當(dāng)飛船返航后，甲乙兩人再次同時(shí)出現(xiàn)在地球系，便可以進(jìn)行比較。假設(shè)飛船回到了地球，到底誰(shuí)更年輕，答案是飛船上的乙更年輕。

這又讓人產(chǎn)生了疑問(wèn)，如果甲乙的一切都是相對(duì)的，或者說(shuō)都能互換，那么，對(duì)于任何一種解釋，反過(guò)來(lái)說(shuō)都能成立，于是矛盾產(chǎn)生。解決這個(gè)疑問(wèn)的關(guān)鍵在于，甲和乙并不對(duì)等。乙要回來(lái)，那必然有一個(gè)調(diào)頭的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程速度從v變成的-v，速度的變化必然有加速度，打破了勻速直線運(yùn)動(dòng)，那么，此時(shí)的飛船并不是慣性系，不再符合狹義相對(duì)論。換句話說(shuō)，乙相對(duì)甲加速運(yùn)動(dòng)，不能反過(guò)來(lái)說(shuō)甲對(duì)于乙做加速運(yùn)動(dòng)。加速運(yùn)動(dòng)需要力的變化，乙實(shí)際受到了力，而甲并沒(méi)有，所以，兩者并不對(duì)等，有本質(zhì)的區(qū)別。

此時(shí)又會(huì)有疑問(wèn)，飛船受到力而相對(duì)地球做加速運(yùn)動(dòng)，而此時(shí)從飛船上看地球，地球也的確在做方向相反的加速運(yùn)動(dòng)。然而，此時(shí)地球并沒(méi)有受到力的作用。這是正確的，因?yàn)榉菓T性系不符合牛頓定律。此時(shí)，我們還是可以引入慣性力的概念，從而用牛頓定律來(lái)研究非慣性系的問(wèn)題，不過(guò)，這是另外一個(gè)話題，在這里不是重點(diǎn)。

總而言之，乙在加速調(diào)頭的瞬間，坐標(biāo)系發(fā)生變換，根據(jù)洛倫茲變換后，甲的年齡會(huì)發(fā)生突變，具體的推導(dǎo)不再進(jìn)行。

猴子豬

注意，以上只是學(xué)習(xí)筆記，并不嚴(yán)謹(jǐn)，甚至可能錯(cuò)誤，僅做參考。關(guān)于狹義相對(duì)論的學(xué)習(xí)就此告一段落。