突發(fā)奇想，想要談一談我心目中好的數(shù)學課的樣子。我未必上過很好的數(shù)學課，也未必教過很好的數(shù)學課，所以只是從自身經(jīng)歷出發(fā)談一談。對于并不熟悉我的讀者，我簡單介紹一下自己。我在多倫多大學讀完本科四年，現(xiàn)在在讀數(shù)學博士。我在這里談的數(shù)學課，是從初等數(shù)學，本科數(shù)學，研究生數(shù)學，一直到研究水平的數(shù)學的全部數(shù)學課。未必有一致的結(jié)論，只是隨便談一談。

數(shù)學的旅途是趨于孤獨的，因為曲高和寡，學到越上面，同行的人就越少。有的人是不想學了，有的人是學不下去了。學不下去的一個重要的原因就是再也沒有上過好的數(shù)學課了。

準備一節(jié)數(shù)學課太容易了。只要學過這方面的知識，簡單寫一頁筆記，甚至只要記下幾個重要的定義、定理的名稱，課上復述一遍，一小時、兩小時的內(nèi)容就擠滿了。

準備一節(jié)數(shù)學課又太困難了。越學到上面，好的材料就越少，到最后只能參考最新的論文，甚至連教科書都沒得參考；高難度的數(shù)學內(nèi)容，邏輯非常復雜，定義、定理、性質(zhì)的講述順序本身也體現(xiàn)了講課人的教學水平；一節(jié)課，例子多容易打亂主線，例子少又容易迷失，只能恰到好處。

要談論什么是好的數(shù)學課，就要有一套評價標準。要有標準，就要有目的。數(shù)學課的目的在于什么？學生總是最清楚的。可是當學生成為老師，有時反而不再清晰，這就是當局者迷的道理?；蛟S答案非常簡單，就是要教會學生?？墒窃趺唇棠兀咳绻陶n的目的僅僅是把這一節(jié)課該教的內(nèi)容都教了，那么這就把一個未知問題變成另一個未知問題了——一節(jié)課應該教什么？

這樣的觀點我也提過很多次。正如我們不能拋開向量空間談向量，不能拋開拓撲空間談開集，我們不能拋開整門課程談其中的一節(jié)課——甚至更進一步地，我們不能拋開一套課程體系談一門課程，我們不能拋開一個數(shù)學學習者的整體的學習、研究的順序、目的、方向、策略而談課程體系。所以這是一個非常艱深的問題。

在中學的時候，我們能將初等數(shù)學學得很好，有些同學或許很自滿，認為自己高考分數(shù)很高就可以說自己“數(shù)學很好”。等到大家學習了數(shù)學分析和高等代數(shù)，又會意識到高中數(shù)學只是皮毛，又或者是簡單的各領(lǐng)域的基礎(chǔ)介紹。到這個階段，有些考研數(shù)學分數(shù)很高的同學或許會認為自己“數(shù)學非常好”，因為題目并不容易，準備考研通常要花很長時間。實際上，考研數(shù)學的內(nèi)容也并不廣泛，在更多的情況下也只是數(shù)分、高代、概率論與數(shù)理統(tǒng)計這些課程。只從本科數(shù)學的課程體系來說，這些課程也往往是非?；A(chǔ)的——并不是說不重要，只是說它們絕對只是學好數(shù)學的必要非充分條件。緊接著，有的同學把本科的數(shù)學學得非常好，績點非常好看，無論是分析、代數(shù)、幾何的基礎(chǔ)都非常扎實。這個時候，我們可以說自己“數(shù)學很好”了嗎？或許到這里大家還沒有資格這樣說，因為再往后，這些課也只是現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)而已。沒有學懂這些課，連現(xiàn)代數(shù)學的大門也進不了。就算全部學明白了，這些內(nèi)容本身也很難產(chǎn)生重要的結(jié)果。到了研究生階段，有的同學解決了一些問題，寫了畢業(yè)論文，拿到了博士畢業(yè)證書。這個時候，難道數(shù)學就“學好”了嗎？這個時候，這些同學的數(shù)學水平當然已經(jīng)超越了全世界絕大多數(shù)人，或許可以說是全世界數(shù)學最好的一批人。實際上，這樣的人也很多，說句實話能夠讀到數(shù)學博士的人，或許也不需要多么“拼命”，就可以順利地博士畢業(yè)——博士畢業(yè)是不困難的——困難的是做出重要的成果。到最后，我們或許可以得到一個結(jié)論，那就是好的數(shù)學在于好的結(jié)果，在于將數(shù)學這一門學科向前推進一點，在于解決一些大的問題，或者提出一些重要的問題再解決。

在這樣的高觀點下，我們再回過頭去審視數(shù)學課，就會意識到我們對數(shù)學課的認識有多么欠缺了。課程的意義是讓不懂的學生最終學懂一些知識，離盡可能遠的目標更近一點。有時，有的數(shù)學課太過于片面了，只看到了自己所處的階段的內(nèi)容。有的數(shù)學分析課程會完全不提實分析或復分析的一些基礎(chǔ)，有的交換代數(shù)課程會完全不提代數(shù)幾何的內(nèi)容。往低了說，有的高中一年級的數(shù)學課完全不提高中二年級的數(shù)學內(nèi)容。這都是不好的現(xiàn)象。一個人可以懂得不多，但是至少視野不能狹窄。并不是學好了現(xiàn)在要學的一門功課，考好了現(xiàn)在要考的考試就足夠了的。這個觀點或許并不是容易接受的，因為很多時候，只是要完成眼前的事情就已經(jīng)精疲力盡。但是實際上，有多少人又真得能不愧對良心地說，自己已經(jīng)盡心盡力做事了呢？所以我還是認為，完成自己當下該做的事情，根本不是一個目標。一方面做好自己該做的事情（無論是外界環(huán)境告訴你的，還是你自己告訴自己的），另一方面為自己的未來的學習、科研、工作等做好充足的準備，這樣才能說是盡心盡力。當然，一門課程如果過多地僭越學生的認知水平，不加限制地談論后面的課程，這當然是錯誤的選擇。一門數(shù)學分析的課，如果過多地談論實分析，就有偏離主題的嫌疑。講高中數(shù)學如果將所有內(nèi)容放在一起串講，那么要么是作者水平極高，要么就是完全的混亂無序。

我們把上面的觀點總結(jié)一下，就是講一門數(shù)學課，應該將這門課本身的內(nèi)容作為主要內(nèi)容，將未來和這門課相關(guān)的內(nèi)容作為延伸，有時可能延伸會更廣一些。

從老師的角度來談這個問題，我想到的是備課的時間占比的問題。一節(jié)好的數(shù)學課，總是要花很多時間準備的，這個或許不會引起爭議。有的數(shù)學課不用過多準備也能講好，那是因為這名老師已經(jīng)講了無數(shù)遍，這一塊知識的教學早就滾瓜爛熟了，可是當這名老師剛教第一遍的時候，總還是要花很多時間準備的?？紤]到很多時候，同一門課講的次數(shù)越多，提升的量就越?。ㄟ呺H效應），如果我們以課程體系的完整性作為目的，或至少是階段性的目標，那么或許一個更明智的選擇是在課程還不完善的情況下多開設一些課程。當然，由于每一門新的好的課程都需要更多的時間和精力，這樣做是非常消耗能量的?？墒沁@也是正常的——任何重要的工作都來自于長期持續(xù)的高質(zhì)量的努力。學習如此，科研如此，教育也如此。我們不可否認的事實是，如果一門課精雕細琢，反復鉆研，那么一定可以在可見的未來將這門課的水平提升到可以想象的非常高的高度。而這樣做要付出的代價是巨大的，那就是更多的課程的教育學的探索會是一片空白——至少是比較純粹的灰色。

在實踐中，有多少數(shù)學課是花了很多時間細心準備后才教的呢？又有多少課是隨便找一本書，按照順序一條一條講下來的呢？甚至有的時候，連板書也不愿意思考，直接照抄教科書。這樣的數(shù)學課一定是令人痛心的。即便在非常好的學校，也不能說這樣的事情不會發(fā)生——只是發(fā)生的概率更低一點。

我們并不是為了批判什么而討論這個話題，只是為了知道什么是好的數(shù)學課，我們必須要承認不好的數(shù)學課的存在，并且要了解、熟悉、完全清楚不好的數(shù)學課是什么樣子。在這個基礎(chǔ)上，我們才能做一些推進，讓我們的數(shù)學課的質(zhì)量提升。

正如科學研究，一點點的進展在起初常常是微不足道的。就連作出貢獻的數(shù)學家有時也不了解自己的工作的意義?？墒俏磥恚斶@樣的工作被應用到更大的領(lǐng)域中成為基礎(chǔ)引理后，意義就非常自然了。數(shù)學課的質(zhì)量能夠比你遇到的大多數(shù)數(shù)學課都要高了，雖然并不是多么值得驕傲的事情，但仍然是做出優(yōu)質(zhì)的數(shù)學教育的一個基礎(chǔ)。誠然，我教的數(shù)學課有很多很多問題，離真正的完美差了非常多。但是一個是我并不能在短時間做到完美，另一個是我希望在這個階段，更多地照顧到更多的課程。畢竟在很多數(shù)學的領(lǐng)域，全網(wǎng)都沒有多少看得過去的數(shù)學課。我們在這些地方做一些貢獻，其實就是做了很大的貢獻。

站在未來的視角，我非常期待并且希望將來的老師們，把課程做得更好，遠遠地超過我，超過我們。我也希望這樣的超越是困難的——因為我們都是盡全力做好的，如果輕而易舉就超越了，不是顯得我們不夠努力嗎。等到百年以后，我們做的東西大概率不再是主流。等到幾百年、上千年以后，我們的教科書和一切材料幾乎都不會被多少人注意到。那我們做的一切的事情，意義在什么地方呢？我是這樣想的。假設按照歷史的進程，后世達到1000分的好的數(shù)學教材要在1000年后出現(xiàn)。因為我們一生的堅持和貢獻，后世達到1000分的好的數(shù)學教材在500年后就出現(xiàn)了，那我們其實就是推進了500年。所以就算他們不再用我們的材料，甚至連我們的名字也忘記了。只要內(nèi)容以某種形式傳承了下去，那就是一種成功。代數(shù)這個詞Algebra，是來自花拉子密。沒有這些數(shù)學家記錄下來當時的數(shù)學成就，或許科技的歷史將會遲到很久。今天，我們最不缺的就是教學材料。當然，我們很幸運，千百年前，甚至只是幾十年前，人類都沒有這樣的能力在短時間內(nèi)獲取到大量信息。不過很遺憾，在這些材料中，“好材料”是很少的。同樣地，現(xiàn)在我們并不缺數(shù)學課。不過很遺憾，在這些數(shù)學課中，“好數(shù)學課”是很少的。我們要做的事情就是做一些好的數(shù)學課。當然，也不止數(shù)學課。這些課的存在就是為了超越和被超越。被超越也很重要，不夠好，連超越的必要都沒有。

我認為我們今天做到的一件事，也就是過去幾年都沒有做到而今天能做到的，就是做了一些好的數(shù)學課。我們都知道，一個人能做好一件事情，就能做好每一件事情。我們可以自然地把“一個人”推廣成“一個組織”，甚至一個更大的人類群體。

要知道什么是好的數(shù)學課，就必須首先認清什么是不好的數(shù)學課。一方面嗤之以鼻，另一方面也要從中找到好的部分，找到閃光點加以學習。我認為完全不好的數(shù)學課是不存在的，正如完全好的數(shù)學課也是不存在的。比起絕對的接受或批判，我們要辯證地去看。一節(jié)數(shù)學課是這樣，一套課程體系是這樣，一個人的全部學習、科研和教育也是這樣?？傆泻玫牡胤剑傆胁缓玫牡胤?。放在一起橫向比較，總有的人做得比其他人更好，有的人做得比別人更差?；蛟S是多維度的，或許不存在一個全序，至少在每一個側(cè)面，每一個角度都應當有一個全序。我們看問題要立體地去看。

防止后面的討論要偏離主題了，就做一個總結(jié)。最不負責任，倒也合理的總結(jié)就是事在人為。用心、堅持的人才能做出好的數(shù)學課。要達到這一點是極其困難的，這或許是一個值得我們研究一生的問題。