【種花家務(wù)·代數(shù)】2-3-04用加減消元法解二元一次方程組『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』

2023-11-27 15:13 作者:山嵓 0人讀過 | 我要投稿

【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。

第三章一次方程組?

§3-4用加減消元法解二元一次方程組

【01】從上一節(jié)用代入法解二元一次方程組的步驟中，可以看到解題的關(guān)鍵是要從這兩個(gè)方程中設(shè)法消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程?，F(xiàn)在我們?cè)賮砜瓷弦还?jié)里做過的二元一次方程組： $%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7Dx%2By%3D8%2C%26%26%26%26(1)%5C%5Cx-y%3D2.%26%26%26%26(2)%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cright.$

【02】在這個(gè)方程組里，方程(1)中 y 的系數(shù)是＋1，方程(2)中 y 的系數(shù)是－1，它們是兩個(gè)相反的數(shù)。因此，只要把兩個(gè)方程的左右兩邊分別相加，就可以消去 y 而得到只含有 x 的一個(gè)一元一次方程：2x＝10，就是 x＝5? 。

【03】把 x＝5?代入方程組里的任何一個(gè)方程，就可以求得 y＝3? 。

【04】這種解方程組的方法，叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。

例1.用加減法解方程組：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D%7B5x%2B2y%3D12%2C%7D%26%26%7B(1)%7D%5C%5C%7B3x%2B2y%3D6.%7D%26%26%7B(2)%7D%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cright.$

【分析】這個(gè)方程組里，y 的系數(shù)相同，所以把方程(1)和方程(2)相減，就可以消去 y? 。

【解】

????????(1)－(2)，得 2x＝6，∴ x＝3? 。

????????以 x＝3 代入(2)，得 9＋2y＝6，∴ y＝ $%5Cscriptsize-1%5Cfrac12$ ? 。

????????所以原方程組的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D3%2C%5C%5Cy--1%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ 檢驗(yàn)從略。

【說明】?jī)蓚€(gè)方程相減，求得 x 的值后，也可以用 x＝3 代入方程(1)中，求出 y 的值，結(jié)果是一樣的。例如，以 x＝3 代入(1)，那末，15＋2y＝12，∴ y＝ $%5Cscriptsize-1%5Cfrac12$ ? 。這點(diǎn)與上節(jié)所講必須代入另一個(gè)方程中去是不同的。

例2.用加減法解方程組：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%2B5y%3D6%2C%26%26(1)%5C%5C3x-6y-4%3D0.%26%26(2)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【分析】這個(gè)方程組里沒有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等，所以不能直接把兩個(gè)方程相加或者相減，而消去一個(gè)未知數(shù)。但是，我們?nèi)绻逊匠?1)兩邊都乘以一個(gè)數(shù) 3，那末可以得到一個(gè)和它同解的方程 3x＋15y＝18，這個(gè)方程中 x 的系數(shù)和方程(2)中 x 的系數(shù)相同。這樣就可以應(yīng)用加減消元法把未知數(shù) x 消去。

【解】

????????(1)?× 3：3x＋15y＝18……(3)

????????由(2)：3x－6y＝4……(4)

????????(3)－(4)：21y＝14，∴ y＝ $%5Cscriptsize%20%5Cfrac23$ ? 。

????????以 y＝ $%5Cscriptsize%20%5Cfrac23$ ?代入(1)，得 x＋ $%5Cscriptsize3%20%5Cfrac13$ ＝6，∴ x＝ $%5Cscriptsize%202%5Cfrac23$ ? 。

????????所以原方程組的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D2%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7D%2C%5C%5Cy%3D%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7D.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ ?檢驗(yàn)從略。

【注】在把原方程組中的方程變形后，可加以編號(hào)。在消元時(shí)必須注意不要把方程弄錯(cuò)。在解題過程中，不必再把兩個(gè)方程用 “{” 合寫在一起。

例3.用加減法解方程組：

$%5Csmall%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7Bx%7D%7B4%7D%2B%5Cdfrac%7By%7D%7B3%7D%3D%5Cdfrac%7B4%7D%7B3%7D%2C%26(1)%5C%5C5%5Cleft(x-9%5Cright)%3D6%5Cleft(y-2%5Cright).%26(2)%5Cend%7Bcases%7D$

【解】

????????由(1)：3x＋4y＝16……(3)?

????????由(2)：5x－6y＝33……(4)

????????(3)?× 3：9x＋12y＝48……(5)

????????(4)?× 2：10x－12y＝66……(6)

????????(5)＋(6)：19x＝114，∴ x＝6? 。

????????以 x＝6 代入(3)，得 18＋4y＝16，∴ y＝ $%5Cscriptsize%20-%5Cfrac12$ ? 。

????????所以原方程組的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D6%2C%5C%5Cy%3D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ 檢驗(yàn)從略。

【說明】用加減法解方程組時(shí)，先把兩個(gè)方程變形，使含有未知數(shù)的項(xiàng)在左邊，不含未知數(shù)的項(xiàng)在右邊，并且合并同類項(xiàng)。

【05】從上面三個(gè)例子可以看出，用加減法解二元一次方程組的一般步驟是：

????????（ⅰ）把兩個(gè)方程變形，使含有未知數(shù)的項(xiàng)在左邊，不含未知數(shù)的項(xiàng)在右邊，并且合并同類項(xiàng)。

????????（ⅱ）把一個(gè)方程或者兩個(gè)方程的兩邊乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，使兩個(gè)方程里的某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等。

????????（ⅲ）把所得的兩個(gè)方程的兩邊分別相加或者相減，消去這個(gè)未知數(shù)，得出另一個(gè)未知數(shù)的一個(gè)一元次方程。

????????（ⅳ）解這個(gè)方程，求得一個(gè)未知數(shù)的值。

????????（ⅴ）用這個(gè)未知數(shù)的值代入方程組的任何一個(gè)方程，求出另一個(gè)未知數(shù)的值。

????????（ⅵ）把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用 “{” 寫在一起，就是原方程組的解。

【06】為了檢查計(jì)算有沒有錯(cuò)誤，可以把所求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組，進(jìn)行檢驗(yàn)。

例4.用加減法解方程組：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5Cdfrac%7Bx%7D%7B3%7D%2B%5Cdfrac%7By%7D%7B4%7D%3D2.25%2C%26(1)%5C%5C%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D-%5Cdfrac%7By%7D%7B12%7D%3D1.45.%26(2)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【解】

????????整理方程(1)，得? $%5Cscriptsize%5Cfrac%20x3%2B%5Cfrac%20y4%3D%5Cfrac94$ ，就是 4x＋3y＝27……(3)

????????整理方程(2)，得 $%5Cscriptsize%5Cfrac%20x2-%5Cfrac%20y%7B12%7D%3D%5Cfrac%7B29%7D%7B20%7D$ ，就是 30x－5y＝87……(4)?

????????(3)?× 5：20x＋15y＝135……(5)

????????(4)?× 3：90x－15y＝261……(6)

????????(5)＋(6)：110x＝396，∴ x＝ $%5Cscriptsize%203%5Cfrac35$ ? 。

????????以?x＝ $%5Cscriptsize%203%5Cfrac35$ ?代入(3)，得4× $%5Cscriptsize%20%5Cfrac%7B18%7D5$ ＋3y＝27，∴ y＝ $%5Cscriptsize%204%5Cfrac15$ ? 。

????????所以原方程組的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D3%5Cdfrac%7B3%7D%7B5%7D%2C%5C%5Cy%3D4%5Cdfrac%7B1%7D%7B5%7D.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ 檢驗(yàn)從略。

【說明】本題中既有分?jǐn)?shù)又有小數(shù)，所以先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)： $%5Cscriptsize2.25%3D2%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7D$ ； $%5Cscriptsize1.45%3D1%5Cfrac%7B45%7D%7B100%7D%3D1%5Cfrac%7B9%7D%7B20%7D%3D%5Cfrac%7B29%7D%7B20%7D$ ? 。否則去分母時(shí)就顯得麻煩。

習(xí)題3-4

用加減法解下列各方程組(1~16)：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26%5Cleft.1.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D3x%2B2y%3D3%2C%5C%5C3x-2y%3D1%E3%80%82%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.2.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D2x%2By%3D5%2C%5C%5C3x-y%3D15%E3%80%82%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.3.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%26x%2B3y%3D33%2C%5C%5C%262x-y%3D-4.%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.4.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D2y-3z%3D8%2C%5C%5C7y-5z%3D-5.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.5.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bgathered%7D2x%2B5z%3D25%5Ctext%7B%2C%7D%5C%5C4x%2B3z%3D15.%5Cend%7Bgathered%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.6.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%2612x%2B21y%3D15%2C%5C%5C%2616x-14y%3D6.%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.7.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D7x-3y%2B1%3D0%2C%5C%5C4x-5y%3D-17.%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.8.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D3x-4y%2B11%3D0%2C%5C%5C3y-4x%2B53%3D0.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.9.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D4(x%2B2)%3D1-5y%2C%5C%5C3(y%2B2)%3D3-2x.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.10.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%263(x-1)%3D4(y-4)%2C%5C%5C%265(y-1)%3D3(x%2B5)%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%2611.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%20y2%2B%5Cdfrac%20z3%3D13%2C%5C%5C%5Cdfrac%7By%7D3-%5Cdfrac%20z4%3D3.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%2612.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B2x%7D%7B3%7D%2B%5Cdfrac%7B3z%7D%7B4%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5C%5C%5Cdfrac%7B4x%7D%7B5%7D%2B%5Cdfrac%7B5z%7D%7B6%7D%3D%5Cdfrac%7B7%7D%7B15%7D.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%2613.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7Bx%2By%7D2%2B%5Cdfrac%7Bx-y%7D3%3D6%2C%5C%5C4(x%2By)-5(x-y)%3D2.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%2614.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7Bm%2Bn%7D3-%5Cdfrac%7Bn-m%7D4%3D-0.46%2C%5C%5C4m%2B%5Cdfrac34n%3D-2.59.%5Cend%7Bcases%7D%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

15、 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%2By%7D%7B5%7D%3D%5Cfrac%7Bx-y%7D%7B3%7D%3D2$ ? 。[提示：可以取任意兩式相等，組成方程組.例如 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%2By%7D%7B5%7D%3D2$ ?與

$%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx-y%7D%7B3%7D%3D2$ ?]

$%5Csmall%5Cleft.16.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%7B(x%2B3)(y%2B5)%3D(x%2B1)(y%2B8)%2C%7D%5C%5C%7B(2x-3)(5y%2B7)%3D2(5x-6)(y%2B1).%7D%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【答案】

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7D%2C%5C%5Cy%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%3B%5Cend%7Bcases%7D2.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D4%2C%5C%5Cy%3D-3%3B%5Cend%7Bcases%7D3.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D3%2C%5C%5Cy%3D10%3B%5Cend%7Bcases%7D4.%5Cbegin%7Bcases%7Dy%3D-5%2C%5C%5Cz%3D-6%3B%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.5.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D0%2C%5C%5Cz%3D5%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.6.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7D%2C%5C%5Cy%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.7.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D2%2C%5C%5Cy%3D5%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.8.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D35%2C%5C%5Cy%3D29%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5C%5C%0A%26%269.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D-3%2C%5C%5Cy%3D1%3B%5Cend%7Bcases%7D10.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D5%2C%5C%5Cy%3D7%3B%5Cend%7Bcases%7D11.%5Cbegin%7Bcases%7Dy%3D18%2C%5C%5Cz%3D12%3B%5Cend%7Bcases%7D12.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D-1%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5C%5Cz%3D2%3B%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.13.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D7%2C%5C%5Cy%3D1%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.14.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dm%3D-1.24%2C%5C%5Cn%3D3.16%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.15.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D8%2C%5C%5Cy%3D2%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.16.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D3%2C%5C%5Cy%3D1.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

標(biāo)簽：

最美情侣中文字幕电影,在线麻豆精品传媒,在线网站高清黄,久久黄色视频

【種花家務(wù)·代數(shù)】2-3-04用加減消元法解二元一次方程組『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』

習(xí)題3-4