日本著名數(shù)學(xué)家小平邦彥曾經(jīng)用向量的方法證明歐拉線。今天我們來看看他是怎么證明的。 歐拉線定理指的是一個三角形的外心，重心，垂心共線且外心到中心的距離是重心到垂心距離的一半。 首先我們畫一個圓，這個圓有個內(nèi)接三角形，圓心就是三角形的外心。 設(shè)三角形的三個點(diǎn)為A，B，C，向量而這個圓的半徑為1，向量OA，OB，OC模都為1。 接著我們設(shè)D為三角形ABC重心。 向量AD=1/3(AB+AC) OA+AE=OA+1/3(AO+OB+AO+OC) 不難算出向量OE=1/3(OA+OB+OC) 然后我們設(shè)E為三角形垂心，設(shè)AB中點(diǎn)為F，EM垂直于AB，連接EF延長交圓于G，連接GO，OC，F(xiàn)O由于OF和CE都垂直AB，那么OF平行CE，三角形GOF相似三角形GCE。 因為GO是GC的一半(直徑與半徑)，所以O(shè)F是CE的一半。 向量OF=1/2CE， 向量OE=OC+CE=OC+2OF=OA+OB+OC 因為OD=1/3(OA+OB+OC)， OE=OA+OB+OC，所以O(shè)D=1/3OE，得出三角形的外心，重心，垂心共線，且外心到重心的距離是重心到垂心距離的一半。