【數(shù)學基礎(chǔ)31】每天三道題（數(shù)學分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識：
數(shù)列l(wèi)im n^（1/n）=1，lim a^（1/n）=1，a>0；
收斂數(shù)列{an}極限為a，則an=a+ɑn，其中{ɑn}為一個無窮小；
收斂數(shù)列必有界；
有限個無窮小的和還是無窮小；
有界數(shù)列乘以無窮小的積還是無窮?。?/p>
設(shè)lim an=a，則lim（a1+a2+……+an）/n=a；
設(shè)lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；
設(shè)lim（a1+a2+……+an）=A，lim（a1+2a2+……+nan）/n=0；
設(shè)lim（a1+a2+……+an）=A，lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.
定比分點：在線段P1P2上求一點P，使得由P分成的兩個有向線段P1P與PP2的量的比為定數(shù)λ（λ不為-1），即P1P/PP2=λ，則P為線段P1P2以λ為定比的分點，且OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）——定比分點公式。
矩陣乘法運算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對應(yīng)的行列式。
矩陣對應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；
設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）為單位矩陣i，j行對調(diào)——
方陣A可逆，A對調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A
方陣A可逆，A對調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）
矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。
定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反對稱矩陣。
定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。
矩陣轉(zhuǎn)置運算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
參考資料：
《數(shù)學分析習題演練》（周民強 編著）
《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)——大學高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）
數(shù)學分析——
例題（來自《數(shù)學分析習題演練（周民強?編著）》）——
試求下述（和式）數(shù)列{an}的極限lim an：
a.an=（1+2^2+……+n^n）/n^n
b.an=（a1b1^n+a2b2^n+……+ambm^n）^（1/n）（其中ak，bk>0，k=1，2，……，m）
解：
a.
1
=n^n/n^n
<an
<（n+n^2+……+n^n）/n^n
=n（n^n-1）/（n-1）n^n
=[（n^n-1）/n^n][n/（n-1）]
<n/（n-1）；
lim n/（n-1）=1，由夾逼準則：lim an=1.
b.
記max{b1，b2，……，bm}=bk0，
ak0^（1/n）bk0
<an
<（a1bk0^n+a2bk0^n+……+ambk0^n）^（1/n）
=[bk0^n（a1+a2+……+am）]^（1/n）
=bk0（a1+a2+……+am）^（1/n）；
lim ak0^（1/n）bk0=bk0，lim bk0（a1+a2+……+am）^（1/n）=bk0，則lim?an=bk0.
解析幾何——
例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——
已知：對于不共線的兩個向量a，b，有（axb）^2=a^2b^2-（ab）^2.
求證：三角形面積的三斜求積公式（也稱海倫（Heron，希臘人）公式）——
S三角形ABC=[s（s-a）（s-b）（s-c）]^（1/2）此處a，b，c是三角形ABC三邊之長，s是三角形ABC周長之半，S三角形ABC表示三角形ABC的面積。
證明：設(shè)三角形三邊上的向量為BC=a，CA=b，AB=c，|a|=a，|b|=b，|c|=c，s=（a+b+c）/2——
易得a+b+c=0，即a+b=-c；
兩邊平方（a+b）^2=a^2+2ab+b^2=c^2，ab=（c^2-a^2-b^2）/2=（c^2-a^2-b^2）/2；
S三角形ABC=|axb|/2，
（axb）^2
=|axb|^2
=a^2b^2-（ab）^2
=a^2b^2-[（c^2-a^2-b^2）/2]^2
=[ab+（c^2-a^2-b^2）/2][ab-（c^2-a^2-b^2）/2]
=[c^2-（a-b）^2][（a+b）^2-c^2]/4
=（c+a-b）（c-a+b）（a+b+c）（a+b-c）/4；
=（2s-2b）（2s-2a）（2s）（2s-2c）/4
=4s（s-a）（s-b）（s-c）；
S三角形ABC
=|axb|/2
=[（axb）^2]^（1/2）/2
=[4s（s-a）（s-b）（s-c）]^（1/2）/2
=[s（s-a）（s-b）（s-c）]^（1/2），證畢.
高等代數(shù)——
例題（來自《高等代數(shù)——大學高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——
證明：如果數(shù)域K上的n級矩陣滿足AA'=I，|A|=-1，那么|I+A|=0.
證：|I+A|=|AA'+AI|=|A（A'+I）|=|A||A'+I|=-|（A+I）'|=-|A+I|，則|I+A|=0.
到這里！
