現(xiàn)在我們來(lái)學(xué)習(xí)一種新的魚的結(jié)構(gòu)，叫做交叉魚（或交叉鏈列，Mutant Fish）。這種結(jié)構(gòu)非常麻煩的地方是，它一點(diǎn)都不好看。

Part 1?交叉魚的形成

如左圖所示，它是一個(gè)宮內(nèi)魚，我們把其中宮的定義域區(qū)域移動(dòng)到了中間去?，F(xiàn)在，我們把b6補(bǔ)到c7上。結(jié)構(gòu)就變?yōu)榱擞覉D這樣。注意到的是，此時(shí)的刪除域也同時(shí)發(fā)生了變動(dòng)。雖然刪數(shù)的單元格沒有發(fā)生變動(dòng)，但是可以看到，由于改變了定義域區(qū)域的位置，如果此時(shí)還把c89作為刪除域區(qū)域的話，這個(gè)結(jié)構(gòu)的r456c89就刪不了了。為什么呢？

我們可以嘗試把右圖看作一個(gè)同數(shù)的環(huán)結(jié)構(gòu)，即

這個(gè)環(huán)結(jié)構(gòu)顯然是不可能刪除r456c89的，因?yàn)榄h(huán)的性質(zhì)只能刪除弱關(guān)系的對(duì)應(yīng)區(qū)域，而r456c89并未在弱關(guān)系的區(qū)域內(nèi)。

當(dāng)然了，你也可以使用最普通的假設(shè)，把c7拆分為兩種情況：r23c7(x)區(qū)塊成立和r78c7(x)區(qū)塊成立兩種情況進(jìn)行討論，可不管怎么討論，c456c89(x)跟我們討論的填數(shù)位置無(wú)關(guān)，或者并不能夠在r456c89里找到任意一個(gè)單元格，是兩個(gè)區(qū)塊不論誰(shuí)成立都可以刪掉的，所以r456c89(x)是刪不掉的。

不過，上述兩種情況都是為了檢驗(yàn)實(shí)際情況，我們依舊可以通過理論說(shuō)明為什么刪不掉。首先我們通過這個(gè)圖示給出的樣子找到了3個(gè)定義域區(qū)域和3個(gè)刪除域區(qū)域，顯然它們的個(gè)數(shù)是相同的，并且刪除域也完整覆蓋了所有定義域里所有x的可能填數(shù)位置，這說(shuō)明刪除域的刪數(shù)應(yīng)當(dāng)都是成立的。不過請(qǐng)你注意的是，刪除域區(qū)域此時(shí)只能包含b39，如果選定為c89，則我們立馬就會(huì)發(fā)現(xiàn)，r2378c7(x)并未覆蓋到，此時(shí)又得考慮如何去調(diào)整刪除域區(qū)域來(lái)覆蓋它們，所以這樣是不可以的。

那么，我們就稱右圖這樣的結(jié)構(gòu)為交叉魚。從定義上講，當(dāng)定義域或刪除域的其中一方同時(shí)包含行和列的組合的，就可以叫交叉魚。比如上述的示例里，定義域是r19c7，同時(shí)含有行和列，所以稱為交叉魚；當(dāng)然，定義里也規(guī)定，刪除域同時(shí)包含行和列的組合，也算作是交叉魚。那么，宮內(nèi)魚和交叉魚有什么區(qū)別呢？宮內(nèi)魚只能有行宮和列宮的組合，而交叉魚則是包含行列的組合。

最后，我們可以看出，圖上規(guī)定的宮內(nèi)魚其實(shí)是完全可以轉(zhuǎn)換為交叉魚的視角的；而交叉魚也可以轉(zhuǎn)換宮內(nèi)魚的視角。它們實(shí)際上是可以互相轉(zhuǎn)換的。但，這僅僅是這樣的一些簡(jiǎn)單的情況，有很大一部分的交叉魚都是無(wú)法轉(zhuǎn)換回宮內(nèi)魚的；當(dāng)然，宮內(nèi)魚也存在一些情況無(wú)法轉(zhuǎn)換為交叉魚的情況，這一點(diǎn)我們將在后續(xù)的示例里逐漸為大家展示出來(lái)；而且，交叉魚涉及行和列，就必然會(huì)產(chǎn)生交叉，導(dǎo)致定義域必然重疊的現(xiàn)象，所以交叉處的單元格得視為內(nèi)魚鰭看待（當(dāng)然，最好不要使得結(jié)構(gòu)的該位置包含可能會(huì)影響推導(dǎo)的這個(gè)候選數(shù)）。

Part 2?原理進(jìn)一步剖析

2-1?交叉魚的殘缺和帶魚鰭的情況

宮內(nèi)魚我們分析過了殘缺和帶魚鰭的情況，那么交叉魚由于變換了某一定義域區(qū)域的位置，那么殘缺情況又應(yīng)當(dāng)如何分析呢？而魚鰭的位置呢？

我們拿出一個(gè)交叉三鏈列（Mutant Swordfish）作為示例給大家展示。

如圖所示，這是一個(gè)剛才我們得到的交叉三鏈列，它的定義域是r19c7，刪除域則是c2b39。我們?yōu)榱俗寶埲钡牟糠秩サ艉笠材芾^續(xù)推導(dǎo)，而且不影響結(jié)構(gòu)的成立，我們此時(shí)可以考慮b39里的區(qū)塊。

我們分別去掉r1c89(x)、r23c7(x)、r78c7(x)和r9c89(x)區(qū)塊各自的其中某一個(gè)單元格，把它們畫成“/”，再來(lái)看看，它是否成立呢？

可以看到，就算是變?yōu)榱诉@樣，結(jié)構(gòu)依舊是可以保證成立的，因?yàn)槎x域區(qū)域和刪除域區(qū)域數(shù)始終沒有發(fā)生變化，而且全覆蓋依舊是做到了。當(dāng)然，從實(shí)際上分析，比如我們使用環(huán)的視角，可以發(fā)現(xiàn)，它僅僅是修改了環(huán)內(nèi)的區(qū)塊節(jié)點(diǎn)，而變?yōu)榱撕蜻x數(shù)節(jié)點(diǎn)，但是弱關(guān)系區(qū)域并未發(fā)生任何的變動(dòng)，所以刪數(shù)照樣是成立的。

2-2?交叉魚的魚鰭

那交叉魚會(huì)有魚鰭嗎？如果有，那魚鰭的位置呢？實(shí)際上，交叉魚的魚鰭，不論是外魚鰭還是內(nèi)魚鰭，都非常好分析，因?yàn)殡S便選取一個(gè)原來(lái)給的完整版的魚圖里，除了r19c456的其它任何畫“/”的地方都可以作為魚鰭，因?yàn)樗鼈兙梢詫?duì)應(yīng)到刪數(shù)；而r19c7兩處是定義域區(qū)域的交集處，它們可以視作內(nèi)鰭，此時(shí)這個(gè)內(nèi)鰭依舊可以對(duì)應(yīng)到b3或者b9的刪除域區(qū)域的，所以交叉魚的內(nèi)鰭并不像是宮內(nèi)魚那樣“傲嬌”，必須要有重疊才會(huì)有內(nèi)魚鰭，而且還要找交集。因?yàn)榻徊骠~生來(lái)就一定會(huì)有行列交叉，所以內(nèi)鰭一定是可能產(chǎn)生在交集處的，就根本不存在定義域區(qū)域不會(huì)重疊的情況。所以它的所有刪數(shù)在圖中都標(biāo)注了出來(lái)。

當(dāng)然，需要你注意到的地方是，r19c7在圖上標(biāo)注的是F，但是你應(yīng)當(dāng)知道，它是內(nèi)魚鰭。

2-3?交叉四鏈列

實(shí)際上，交叉四鏈列的構(gòu)型也很簡(jiǎn)單，只需要分析其中一個(gè)宮，并改寫為行或列就可以了。比如下面的這個(gè)示例，改寫起來(lái)其實(shí)非常簡(jiǎn)單。

左圖是原本的帶有一個(gè)宮的定義域區(qū)域的宮內(nèi)四鏈列結(jié)構(gòu)，而改寫好的交叉四鏈列的情況如右圖所示。可以看到，它和之前的變換邏輯完全一樣，僅僅是移動(dòng)了某一處宮，改寫為了列。

當(dāng)然，不僅僅帶有一個(gè)宮的可以這么干，帶有兩個(gè)宮的結(jié)構(gòu)依然可以這么干。

可以看到，其實(shí)依舊是變?yōu)榱羞@么簡(jiǎn)單。不過，刪除域全部都變?yōu)榱藢m。

2-4?交叉二鏈列

實(shí)際上，交叉二鏈列（Mutant X-Wing）也是理論上存在而已，實(shí)際上并不存在。在之前的宮內(nèi)二鏈列的內(nèi)容里我們其實(shí)已經(jīng)介紹了它的邏輯等效于區(qū)塊，所以交叉二鏈列僅僅變了一個(gè)定義域區(qū)域而已，所以結(jié)構(gòu)的刪數(shù)實(shí)際上和宮內(nèi)二鏈列是一樣的，所以就不作出討論了。

實(shí)際上，就是兩個(gè)區(qū)塊，一個(gè)行區(qū)塊，一個(gè)列區(qū)塊。

2-5?同時(shí)涉及所有區(qū)域類型的交叉魚

接下來(lái)我們?cè)賮?lái)看一種變種的交叉魚結(jié)構(gòu)，它的定義域恰好涉及一行一列和一個(gè)宮。

如圖所示，這種結(jié)構(gòu)依舊屬于交叉魚，因?yàn)槎x域確實(shí)同時(shí)含有了行和列的組合，而宮內(nèi)魚結(jié)構(gòu)要求不能有行和列的組合?？梢钥吹剑@種結(jié)構(gòu)比較神奇的地方在于，我們找到的三個(gè)定義域區(qū)域和三個(gè)刪除域區(qū)域都是可行的，而且確實(shí)全覆蓋了，所以刪數(shù)也是都成立的，只是結(jié)構(gòu)長(zhǎng)相比較奇怪罷了。

當(dāng)然，如果你實(shí)在是不愿意使用理論說(shuō)明，可以采用環(huán)結(jié)構(gòu)視角來(lái)看。這個(gè)示例可以講結(jié)構(gòu)連起來(lái)形成一個(gè)同數(shù)帶區(qū)塊的連續(xù)環(huán)結(jié)構(gòu)，不過意義和之前說(shuō)到的標(biāo)準(zhǔn)版本的交叉魚的構(gòu)型是一樣的，刪數(shù)也是產(chǎn)生于弱關(guān)系上。

2-6?交叉魚的轉(zhuǎn)置

當(dāng)然了，交叉魚也是存在轉(zhuǎn)置的，不過……

如圖所示，這就是交叉魚的轉(zhuǎn)置后的樣子，我們嘗試把它的定義域看作c2b39，刪除域則改為r19c7。可以發(fā)現(xiàn)，從理論上就可以明白，定義域和刪除域區(qū)域個(gè)數(shù)不會(huì)因?yàn)檗D(zhuǎn)置而發(fā)生改變，所以刪數(shù)照樣是成立的。

下面我們來(lái)看交叉魚的基本示例。因?yàn)榻徊骠~有一部分無(wú)法轉(zhuǎn)換為宮內(nèi)魚視角，所以交叉魚的示例就比較多了，而且還比較難。