數(shù)學(xué)派每日一題-3.29

2023-03-30 00:00 作者:ulsmallzhou 0人讀過 | 我要投稿

第一題如下圖：

解析：

本題考查復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)知識。

首先，由 $z%3D1-2i$ ，我們有 $%5Coverline%20z%3D1%2B2i$ 。而題目告訴我們 $z%2Ba%5Coverline%20z%2Bb%3D0$ ，代入后得到了 $1-2i%2Ba%2B2ai%2Bb%3D0$ ，即（因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=a%2Cb" alt="a%2Cb">均為實(shí)數(shù)，考慮左右兩側(cè)的實(shí)部和虛部對應(yīng)相等）

$%5Cbegin%7Bcases%7D1%2Ba%2Bb%3D0%5C%5C-2%2B2a%3D0%5Cend%7Bcases%7D$

我們很容易解出答案 $a%3D1%2Cb%3D-2$ 。因此， $a-b%3D1-(-2)%3D3$ 即為所求。

第二題如下圖：

解析：

本題的解法是一類解法的典型代表：考慮對偶式。

對偶式是一個相對的概念：兩個式子一部分相同、另一部分相反，就可以被叫做對偶式。比如，分母有理化時用來湊平方差公式的式子（ $a%2B%5Csqrt%20b$ 和 $a-%5Csqrt%20b$ 等），或者共軛的兩個復(fù)數(shù)（ $a%2Bbi$ 和 $a-bi$ ）等。對偶式往往會用來做一些化簡。

在本題中，我們就可以考慮引入對偶式來做化簡?？紤] $(%5Csqrt%202%2B1)%5En$ 的對偶式 $(1-%5Csqrt%202)%5En$ ，則二者的和與積中就沒有根號了（乘積沒有根號容易看出，和沒有根號可以考察二項式定理）。

為了做出本題，我們還需要一些二階線性遞推數(shù)列的知識。二階線性遞推數(shù)列指的是遞推式形如 $a_%7Bn%2B2%7D%3D%5Calpha%20a_%7Bn%2B1%7D%2B%5Cbeta%20a_%7Bn%7D$ 的數(shù)列，其中 $%5Calpha%2C%5Cbeta$ 是與 $n$ 無關(guān)的常數(shù)。由熟知的結(jié)論，設(shè)方程 $x%5E2-%5Calpha%20x-%5Cbeta$ 的兩個根為 $%5Csigma_%7B1%7D%2C%5Csigma_%7B2%7D$ ，則數(shù)列可以寫出通項 $a_n%3DA_1%5Csigma_1%5En%2BA_2%5Csigma_2%5En$ ，系數(shù) $A_1%2CA_2$ 由數(shù)列中已知的兩項即可求得。

考慮二階線性遞推數(shù)列的用處是什么呢？事實(shí)上，我們可以把求解二階線性遞推數(shù)列的過程反過來——通過已知的兩個數(shù) $%5Csigma_1%2C%5Csigma_2$ ，構(gòu)造出一個通項為 $%5Csigma_1%5En%2B%5Csigma_2%5En$ 的數(shù)列，從而利用數(shù)列的性質(zhì)來計算一些難以直接計算的東西。

在本題情形下，我們?nèi)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Csigma_1%3D1%2B%5Csqrt%202%2C%5Csigma_2%3D1-%5Csqrt%202" alt="%5Csigma_1%3D1%2B%5Csqrt%202%2C%5Csigma_2%3D1-%5Csqrt%202">，則可以得到數(shù)列 $b_1%3D2%2Cb_2%3D6%2Cb_%7Bn%2B2%7D%3D2b_%7Bn%2B1%7D%2Bb_n$ 。很明顯數(shù)列 $%5C%7Bb_n%5C%7D$ 中的數(shù)都是正整數(shù)。

從而題目中出現(xiàn)的數(shù)列

$a_n%3D%5B(1%2B%5Csqrt%202)%5En%5D%3D%5Bb_n-(1-%5Csqrt%202)%5En%5D%3Db_n%2B%5B-(1-%5Csqrt%202)%5En%5D$

而 $%7C1-%5Csqrt%202%7C%3C1$ ，因此 $%7C(1-%5Csqrt%202)%5En%7C%3C1$ ，考慮到正負(fù)性，有

$%5B-(1-%5Csqrt%202)%5En%5D%3D%5Cbegin%7Bcases%7D0%26n%3D2k-1%5C%5C-1%26n%3D2k%5Cend%7Bcases%7D$

接下來，我們來求題目所需要的—— $a_%7B2023%7D$ 模4的余數(shù)。由上述結(jié)論，這也就是求 $b_%7B2023%7D$ 模4的余數(shù)。而 $%5C%7Bb_n%5C%7D$ 是一個取值為正整數(shù)的線性遞推數(shù)列，在模的意義下一定是一個周期數(shù)列（證明會在最后附上），所以我們稍微計算一下 $%5C%7Bb_n%5C%7D$ 模4的結(jié)果，可以得知這是一個恒為2的數(shù)列，換言之對任意的 $b_n$ 都有 $b_n$ 模4余2。

因此， $b_%7B2023%7D$ 模4余2， $a_%7B2023%7D$ 模4余2。

這里補(bǔ)充證明一下為什么元素為整數(shù)的線性遞推數(shù)列在模的意義下一定是周期的。由于需要一定的線性代數(shù)與數(shù)論知識，各位可以酌情觀看。

設(shè)整數(shù)數(shù)列 $a_n$ 滿足遞推式 $a_%7Bn%2Bm%2B1%7D%3D%5Csum%5Climits_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bm%7D%7B%5Clambda_%7Bk%7Da_%7Bn%2Bk%7D%7D$ ，其中系數(shù) $%5Clambda_%7Bk%7D$ 均為整數(shù)。記a模p的余數(shù)為 $a%5C%20mod%5C%20p$ ，此時設(shè)點(diǎn)列 $b_n%3D(a_%7Bn%7D%2Ca_%7Bn%2B1%7D%2C...%2Ca_%7Bn%2Bm%7D)%5ET$ ，則點(diǎn)列 $b_n$ 滿足一階遞推

$b_%7Bn%2B1%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%261%260%26%5Ccdots%260%5C%5C0%260%261%26%5Ccdots%260%5C%5C%5Cvdots%26%5Cvdots%26%5Cvdots%26%5Cddots%26%5Cvdots%5C%5C0%260%260%26%5Ccdots%261%5C%5C%5Clambda_0%26%5Clambda_1%26%5Clambda_2%26%5Ccdots%26%5Clambda_m%5Cend%7Bbmatrix%7Db_%7Bn%7D$

此時再設(shè)取模的點(diǎn)列 $c_n%3D(a_n%5C%20mod%5C%20p%2Ca_%7Bn%2B1%7D%5C%20mod%5C%20p%2C...a_%7Bn%2Bm%7D%5C%20mod%5C%20p)%5ET$ ，由于 $b_n$ 是一階線性遞推數(shù)列，換言之 $b_%7Bn%2B1%7D$ （ $c_%7Bn%2B1%7D$ ）由 $b_n$ （ $c_n$ ）唯一確定，只要存在 $m%2Ck$ 使得 $c_m%3Dc_k$ ，點(diǎn)列 $%5C%7Bc_n%5C%7D$ 就是周期的。

顯而易見 $c_n$ 的取值個數(shù)是有限的，最多才有 $p%5E%7Bm%2B1%7D$ 種取值，因此點(diǎn)列 $%5C%7Bc_n%5C%7D$ 連續(xù)的 $p%5E%7Bm%2B1%7D%2B1$ 項中必定有兩項相同，進(jìn)而可以得到點(diǎn)列 $%5C%7Bc_n%5C%7D$ 的周期性。考慮向量 $c_n$ 的首個元素，我們就得到了 $a_n%5C%20mod%5C%20p$ 的周期性，即證明了數(shù)列 $%5C%7Ba_n%5C%7D$ 在模p意義下的周期性。

附加題環(huán)節(jié)：

上期附加題解析：

這里提供一種概率論的解法。（正好當(dāng)成計算練習(xí)）

不妨設(shè)木棍長度為1。我們設(shè)兩個斷點(diǎn)的位置為 $x_1%2Cx_2$ ，則二者獨(dú)立同分布于 $U(0%2C1)$ 。

我們?nèi)〈涡蚪y(tǒng)計量 $x%2By%5Cgeq%20z%2C(x%2Cy%2Cz)%5Cin%5B0%2C1%5D%5Ctimes%5B0%2C1%5D%5Ctimes%5B0%2C1%5D$ ，設(shè)二者的聯(lián)合累積分布函數(shù)為 $F(x%2Cy)$ ，則對 $(x%2Cy)%5Cin%5B0%2C1%5D%5Ctimes%5B0%2C1%5D$ 有

$F(x%2Cy)%3DP(x_%7B(1)%7D%5Cleq%20x%2Cx_%7B(2)%7D%5Cleq%20y)%5C%5C%3DP(x_%7B(2)%7D%5Cleq%20y)-P(x_%7B(1)%7D%3Ex%2Cx_%7B(2)%7D%5Cleq%20y)%5C%5C%3DP(x_1%5Cleq%20y%2Cx_2%5Cleq%20y)-P(x%3Cx_1%2Cx_2%5Cleq%20y)%5C%5C%3Dy%5E2-(%5Cmax%7B%5C%7B0%2Cy-x%5C%7D%7D)%5E2$

進(jìn)而二者的聯(lián)合概率密度函數(shù) $f(x%2Cy)%3D2$ （ $(x%2Cy)%5Cin%5B0%2C1%5D%5Ctimes%5B0%2C1%5D%2Cx%5Cleq%20y$ ），即一個三角形上的均勻分布。記這個三角形區(qū)域?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=D" alt="D">。

接下來，設(shè)三段短木棍從左到右長度分別為 $l_1%2Cl_2%2Cl_3$ ，則它們可以組成一個三角形的充要條件是 $l_1%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2Cl_3%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2Cl_1%2Bl_3%3E%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$ ，即 $x_%7B(1)%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2Cx_%7B(2)%7D%5Cgeq%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2Cx_%7B(2)%7D-x_%7B(1)%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$ ，于是其概率（考慮可行域的面積）即為 $2*%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D$ 。