//本節(jié)詳細(xì)介紹球坐標(biāo)、柱坐標(biāo)下的分離變量法，并引入貝塞爾方程和勒讓德方程。

//前段時(shí)間事情實(shí)在太多，鴿了很久不好意思...我當(dāng)然是沒有忘記這里筆記沒有更完的

//這個(gè)系列的定位僅僅是學(xué)習(xí)筆記，所以可能不會(huì)完整覆蓋所有相關(guān)細(xì)節(jié)，而是注重對(duì)整體思路的把握。

I 球坐標(biāo)的拉普拉斯方程

在球坐標(biāo)系，拉普拉斯方程應(yīng)寫為如下形式：

嘗試對(duì)其進(jìn)行分離變量：

代入整理得到

兩邊自變量不同但恒等，說明它們等于同一個(gè)常數(shù)。不妨設(shè)常數(shù)為.

這是歐拉方程，只需作變量代換就不難解出其通解：

對(duì)于滿足的方程，即球函數(shù)方程：

再次分離變量：

整理得到

從而得到

作變量代換，得到階連帶勒讓德方程：

如取，則得到階勒讓德方程

(事實(shí)上，前面討論中的是薛定諤方程解中的角量子數(shù)和磁量子數(shù)。)

II 柱坐標(biāo)的拉普拉斯方程

在柱坐標(biāo)系下，拉普拉斯方程為

仍然分離變量：

代入方程并化簡得到

類似操作，得到：

再令?并按以下分類討論：

①?

則可以解得

②?

則可以進(jìn)行變換，并推出階貝塞爾方程：

③?

則改為，得到虛宗量貝塞爾方程：

至此我們從球坐標(biāo)和柱坐標(biāo)引出了兩個(gè)重要常微分方程，勒讓德方程和貝塞爾方程。接下來我們的討論表明，波動(dòng)、輸運(yùn)、穩(wěn)定場三類PDE的求解都是可以歸結(jié)到勒讓德、貝塞爾方程的。

III 波動(dòng)方程

對(duì)于波動(dòng)方程，我們首先嘗試分離出時(shí)間：

從而解出

\

并得到亥姆霍茲方程：

IV 輸運(yùn)方程

對(duì)于輸運(yùn)方程, 類似分析我們可以得到

V 亥姆霍茲方程

經(jīng)過前面討論，波動(dòng)、輸運(yùn)方程將時(shí)間分離后均歸結(jié)為亥姆霍茲方程。

接下來嘗試對(duì)亥姆霍茲方程進(jìn)行分離變量：

在球坐標(biāo)，亥姆霍茲方程的形式為

設(shè), 則經(jīng)過計(jì)算可知仍然滿足球函數(shù)方程：

而另一個(gè)方程是階球貝塞爾方程

如作變量代換則可以得到階貝塞爾方程：

而在柱坐標(biāo)，類似地分離變量，得到

結(jié)合自然邊界條件得，而對(duì)R仿照前面的討論仍可以得到m階貝塞爾方程。

總之，通過以上討論，我們從幾類PDE的求解中歸類出了勒讓德方程與貝塞爾方程兩類重要的ODE，接下來將基于此研究球、柱坐標(biāo)中的PDE求解。