我們前面提到，平面幾何的發(fā)展是數(shù)學(xué)的第一個(gè)巔峰。與此同時(shí)帶來(lái)的是面積和長(zhǎng)度的測(cè)量導(dǎo)致的有理數(shù)。在平面幾何中將線段平分或者三等分實(shí)在是一個(gè)非常常見(jiàn)的操作。因此有理數(shù)在古希臘人眼中并不是什么奇怪的東西。

不過(guò)，古希臘人認(rèn)識(shí)的有理數(shù)和我們的還是有所差別的。畢竟有理數(shù)不是一個(gè)自然嵌進(jìn)語(yǔ)言系統(tǒng)的東西。他們對(duì)有理數(shù)的認(rèn)識(shí)其實(shí)是我們?cè)谛W(xué)中學(xué)到的“比例”。也就是說(shuō)，他們理解的是將一個(gè)整數(shù)等分之后的結(jié)果。當(dāng)然后來(lái)他們知道這個(gè)可以轉(zhuǎn)化為小數(shù)，所以也沒(méi)什么奇怪的。如果我們仔細(xì)思考分?jǐn)?shù)的寫(xiě)法，就能發(fā)現(xiàn)它本質(zhì)上就是比例，只不過(guò)因?yàn)楹髞?lái)的發(fā)展需要寫(xiě)成了我們現(xiàn)在熟悉的樣子。

后來(lái)我們知道發(fā)生了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。這個(gè)在初中教科書(shū)里面是詳細(xì)介紹了的。大概就是有一個(gè)人想要去探究?jī)芍苯沁呥呴L(zhǎng)為1的等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)，然后用一點(diǎn)奇偶分析就能知道它不能用一個(gè)比例表示，從而引發(fā)了一個(gè)巨大的危機(jī)。

我在這里首先懷疑，當(dāng)時(shí)他究竟是否是通過(guò)奇偶分析得到這個(gè)結(jié)論的。因?yàn)楦鶕?jù)考證，正是在人們意識(shí)到不是所有的幾何量都能通過(guò)比例表示后，才開(kāi)始大規(guī)模地研究代數(shù)和數(shù)論的。我認(rèn)為他很可能完全不知道奇數(shù)和偶數(shù)這兩個(gè)概念。

一個(gè)比較可靠的說(shuō)法是他是在研究五角星時(shí)發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)的存在的。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派其實(shí)并不完全是一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)派，它同時(shí)也是一個(gè)哲學(xué)和宗教學(xué)派，五角星就是他們的標(biāo)志性圖案。于是這個(gè)學(xué)派的一個(gè)忠實(shí)信徒就想去研究一下他們這個(gè)宗教符號(hào)里面各條邊長(zhǎng)度的比例，其中就有一個(gè)步驟是要考慮底角為72°、頂角為36°的等腰三角形的底和腰的邊長(zhǎng)。從現(xiàn)在的角度看這當(dāng)然是一個(gè)簡(jiǎn)單的三角函數(shù)問(wèn)題，只要記住sin 36°就好了。但是當(dāng)時(shí)的人顯然不知道。他做了底角的角平分線，得到了一個(gè)相似三角形，然后利用無(wú)窮遞降法就可以得到結(jié)論。（因?yàn)槲覀儾皇侵v數(shù)學(xué)，所以數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)我們就略過(guò)了）

不管怎么樣，這個(gè)發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生了巨大的恐慌。發(fā)現(xiàn)這一結(jié)論的人——好像叫希帕蘇斯，被扔進(jìn)了大海。但是和現(xiàn)代教科書(shū)宣稱(chēng)的不同，古希臘人很快就恢復(fù)了理智。畢竟逃避問(wèn)題是沒(méi)有用的，有很多數(shù)學(xué)家在這一方面做出了精彩的工作。其中最杰出的是歐多克索斯。下面我們來(lái)介紹他的工作。

歐多克索斯可能是古希臘時(shí)期最杰出的數(shù)學(xué)家（沒(méi)錯(cuò)，可能高于歐幾里得、阿基米德和畢達(dá)哥拉斯）。歐多克索斯第一次引入了“量”的概念。在他之前，平面幾何沒(méi)有長(zhǎng)度和面積的概念，人們會(huì)說(shuō)這條線段是1，那個(gè)正方形是2，歐多克索斯第一次糾正了這種含糊不清的說(shuō)法。他指出，應(yīng)當(dāng)說(shuō)這條線段的“量”是1，那個(gè)正方形的“量”是2，“量”是一個(gè)幾何體的一個(gè)重要特征，但不是唯一的特征。

與此相對(duì)應(yīng)的概念是“數(shù)”和“比”，“數(shù)”就是今天的有理數(shù)，“比”是同類(lèi)量之間的大小關(guān)系，如果一個(gè)量加大若干倍之后就可以大于另一個(gè)量，則說(shuō)這兩個(gè)量有一個(gè)“比”。歐多克索斯隨后指出，“量”是一個(gè)比“數(shù)”或者“比”更寬泛的概念。一個(gè)量可以是數(shù)，也可以不是數(shù)。

歐多克索斯的思想實(shí)際上承認(rèn)了幾何是比代數(shù)更加深刻的東西：幾何的量不一定是代數(shù)的數(shù)，但是代數(shù)的數(shù)總是比幾何的量。這不是變相承認(rèn)了代數(shù)不如幾何嗎？

如何用數(shù)刻畫(huà)一個(gè)量呢？歐多克索斯為此做了大量的工作，加之同時(shí)的對(duì)代數(shù)和數(shù)論的其它研究，古希臘的幾何學(xué)家們建立起來(lái)了比例論的觀點(diǎn)，用此來(lái)闡述究竟什么是一個(gè)量。有關(guān)比例論的內(nèi)容，可以參考《幾何原本》的第五章。這也是幾何原本中最冗長(zhǎng)的一章，歐幾里得可能認(rèn)為，比例論才是整個(gè)古希臘平面幾何的核心。

我們回到上一節(jié)提到的觀點(diǎn)，我們來(lái)想一想為什么會(huì)有第一次數(shù)學(xué)危機(jī)這樣的故事？

歸根結(jié)底是因?yàn)椤叭f(wàn)物皆數(shù)”，認(rèn)為所有的量都可以用有理數(shù)來(lái)表示。那么為什么所有的量都能用有理數(shù)表示呢？為什么他們不認(rèn)為可以用自然數(shù)表示呢？是因?yàn)樽匀粩?shù)中間顯而易見(jiàn)有著巨大的漏洞，一斤肉和兩斤肉之間是存在著巨大的差距的，有一斤半，一斤二兩或者其它亂七八糟的情況。自然界中存在著如此之多的連續(xù)變量，使得我們不可能認(rèn)為離散的自然數(shù)能表示所有的量？

但是有理數(shù)呢？它可以將任何一個(gè)自然數(shù)進(jìn)行任何次的等分，看上去是非常連續(xù)的，特別是小數(shù)的表示，任意一個(gè)數(shù)進(jìn)行截?cái)喽伎梢缘玫接欣頂?shù)，有理數(shù)似乎足以概括這個(gè)世界的一切自然變量。特別是我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，任意兩個(gè)有理數(shù)之間都有無(wú)窮多個(gè)有理數(shù)，這一點(diǎn)似乎更加篤定了我們對(duì)于有理數(shù)的力量。

無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，打碎了這種力量的期望。我們發(fā)現(xiàn)如此之多的基本的量不能用有理數(shù)表示。我們能做的就是用有理數(shù)去不斷地做估計(jì)、做逼近。

我們從馬后炮的觀點(diǎn)來(lái)提出一個(gè)截然不同的解決方式。我們不妨承認(rèn)無(wú)理數(shù)就是客觀存在的數(shù)。通過(guò)比例論，我們總是可以給出無(wú)理數(shù)的估計(jì)。而很顯然，加法、乘法是保持這些估計(jì)的，不等關(guān)系（也可以叫做“序”）也是保持這些估計(jì)的。換言之，我們擴(kuò)展了數(shù)的概念，但是我們卻沒(méi)有犧牲太多好的性質(zhì)：加法、乘法和序都是和這種擴(kuò)充不矛盾的。也就是說(shuō)，我們利用不大的犧牲（即不能表示為兩個(gè)自然數(shù)的比）就解決了一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題（即第一次數(shù)學(xué)危機(jī)），根據(jù)我們上一節(jié)的觀點(diǎn)，這顯然是一個(gè)好的推廣。

從更直接的觀點(diǎn)來(lái)看，這個(gè)問(wèn)題的根源是連續(xù)性的問(wèn)題。也就是說(shuō)，有理數(shù)并不足以描述自然界一切連續(xù)的東西。這是一個(gè)重要的觀點(diǎn)。與此同時(shí)的還有芝諾悖論。它們?cè)谝黄饦?gòu)成了古希臘人們對(duì)于連續(xù)性的兩大迷惑。

和連續(xù)性一個(gè)相關(guān)聯(lián)的狀態(tài)是無(wú)窮。既然一個(gè)東西可以被連續(xù)地分割，那么其中必然涉及到無(wú)限多個(gè)無(wú)窮小過(guò)程。這一直觀將會(huì)帶來(lái)更多奇怪的東西，我們放在后面再說(shuō)這段有趣的歷史。

實(shí)數(shù)問(wèn)題的真正解決要到19世紀(jì)了。戴德金和康托分別提出了實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義。隨著數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，這些定義也在被不斷地完善著。例如現(xiàn)在就可以有下面的兩種定義方式：

1. 實(shí)數(shù)是唯一完備的全序域；

2. 實(shí)數(shù)是有理數(shù)的（拓?fù)洌┩陚浠?/p>

除此之外，Tarski在1936年的《邏輯與演繹科學(xué)方法論導(dǎo)論》中給出了實(shí)數(shù)的Tarski定義；R. D. Arthan在2004年的一份arXiv預(yù)印本（網(wǎng)站鏈接：https://arxiv.org/pdf/math/0405454.pdf）中給出了Eudoxus實(shí)數(shù)的定義……還有很多很多的定義，在這里就不再列出了。

關(guān)于實(shí)數(shù)定義的研究不是毫無(wú)意義的，也不是已經(jīng)徹底完成的工作。正是在實(shí)數(shù)定義的研究中，數(shù)學(xué)家們給出了很多不同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)帶來(lái)的性質(zhì)。我們來(lái)介紹一個(gè)有趣的結(jié)果。

一般數(shù)學(xué)分析的課程都愿意將實(shí)數(shù)定義為唯一完備的全序域，這種定義不涉及太復(fù)雜的知識(shí)、也不涉及太復(fù)雜的邏輯推導(dǎo)，而且與數(shù)學(xué)分析課程的后續(xù)內(nèi)容聯(lián)系緊密。它實(shí)際上包含了十六條公理，其中包括四條加法公理、四條乘法公理、四條全序公理（也就是我們熟悉的不等關(guān)系）、三條相容性公理（保證加法、乘法和全序不會(huì)自相矛盾）和完備性公理，抽象代數(shù)的一個(gè)結(jié)果斷言滿足這十六條公理的集合之間總是相互同構(gòu)的，我們將其定義為實(shí)數(shù)。其中一個(gè)有趣的結(jié)論是乘法單位元1是嚴(yán)格大于加法單位元0，也就是說(shuō)：

1 > 0。

乍一看你可能會(huì)覺(jué)得這不是顯然的嗎？事實(shí)上這個(gè)結(jié)論的證明并不容易，它牽扯到兩個(gè)計(jì)算系統(tǒng)和一個(gè)比較大小的序系統(tǒng)，證明它是需要一些力氣的。

前面提到，Tarski也給出了一個(gè)實(shí)數(shù)的定義。這個(gè)定義只包括八條公理系統(tǒng)。其中前六條可以推出四條加法公理、四條全序公理、一條相容性公理和完備性公理。他的第七條公理說(shuō)：

在這個(gè)集合中存在一個(gè)特別的元素叫做 1；

啥？這什么鬼。我們?cè)賮?lái)看看他的第八條公理：

1 > 0。

啥？乘法公理、另外兩條相容性公理能從Tarski的這兩條公理推出嗎？事實(shí)上，Tarski用一個(gè)極為冗長(zhǎng)的步驟說(shuō)明，在這個(gè)集合上存在唯一的乘法運(yùn)算使得1是其單位元，并且滿足相容性公理，換句話說(shuō)，1 > 0是一個(gè)極為重要的結(jié)論，它可以代替乘法！