牛頓236、柯西把極限概念轉(zhuǎn)換成算數(shù)語句；“分析算術(shù)化”運(yùn)動(dòng)努力的開端

柯西對(duì)極限的定義引入ε精確描述，意義何在？ 為什么這種精確的數(shù)學(xué)描述很重要？——網(wǎng)友提問

…極、限、極限：見《歐幾里得178》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

…ε（伊普西龍）：希臘字母第五個(gè)字母，大寫Ε，小寫ε，拉丁字母的E是從ε變來…

…精、確、精確：見《牛頓25》…
…描、述、描述：見《伽利略34》…

（…《伽利略》：小說名…）
…意、義、意義：見《歐幾里得26》…

…數(shù)、學(xué)、數(shù)學(xué)：見《歐幾里得49》…

ANARKH（半核心玩家。擅長演奏退堂鼓）（編輯于 2014-08-14）：

題主，不知道你是不是和我一樣，也被那本綠油油的同濟(jì)版《高等數(shù)學(xué)》搞得暈頭轉(zhuǎn)向，想從頭開始自己研究一番，又一下子陷入了“極限”這個(gè)概念的泥潭。

…研、究、研究：見《歐幾里得42》…
…概、念、概念：見《歐幾里得22、23》…

其實(shí)?對(duì)極限的定義?本身就是一件十分困難的事情，偉大如牛頓、萊布尼茲，也不得不含糊其辭，為此還遭到嘲諷。直到19世紀(jì)初?柯西第一個(gè)把這個(gè)有點(diǎn)模糊的概念轉(zhuǎn)換成算數(shù)語句。

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我曾對(duì)這個(gè)概念思考過好久，也請(qǐng)教過許多人，卻也不敢保證能很好的回答這個(gè)問題。

為了了解精確描述的意義何在，我們先看看不同時(shí)期對(duì)于極限的定義：

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萊布尼茲（1684）：如果任何一個(gè)連續(xù)變遷以一個(gè)極限為終結(jié)，那么就能夠形成一種普遍的推理，它也能適用于最終的極限。

…連、續(xù)、連續(xù)：見《歐幾里得44》…

…推、理、推理：見《歐幾里得12》…

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牛頓（1687）：逐漸變小的量之間的最終比值…（是）極限，即數(shù)量比值無限減小卻總是收斂（liǎn）于它；

…收、斂、僉、收斂：見《牛頓215》…

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它們比任何事先給定的差值更接近地趨向于它，但永遠(yuǎn)也不超過也不達(dá)到它，直到這些量減到無窮小。

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麥克勞林（1742）：2x+o與a的比率，當(dāng)o減小時(shí)，連續(xù)地減小；當(dāng)o是任意實(shí)增量時(shí)，總是大于2x與a的比；而這顯示了它連續(xù)趨向于2x與a的比，并以其為極限。

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達(dá)朗貝爾（1754）：比值[a:2y+z]總是小于a:2y，但是z越小，這個(gè)比值就越大，并且由于人們可選取任意小的z，比值a:2y+z就可按我們希望的那樣靠近比值a:2y，因此a:2y是比值a:2y+z的極限。

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拉克魯瓦（1806）：比值（μ1-μ）/h的極限…是這樣一個(gè)值，當(dāng)量h減小時(shí)，這個(gè)比值按比例趨向于它，并且可按我們作出的選擇來接近于它。

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柯西（1821）：如果賦予同一變量的連續(xù)不斷的一系列數(shù)值，使其無限地趨向于一個(gè)固定的值，使得最終它們與固定值的差按人們所希望的那樣小，則后者稱為所有其他數(shù)值的極限。

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的確，自然語言有時(shí)候更為直觀，“無限接近”、“要多小有多小”比起奇怪的字母和不等式更容易理解，但是數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)決定了它必須嚴(yán)謹(jǐn)。

…自、然、自然：見《歐幾里得128》…

…語、言、語言：見《歐幾里得160》…

…直觀：見《牛頓220》…

…理、解、理解：見《歐幾里得58》…
…特、點(diǎn)、特點(diǎn)：見《牛頓95》…
…嚴(yán)、謹(jǐn)、嚴(yán)謹(jǐn)：見《歐幾里得155》…

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不夠嚴(yán)密的理論帶來的后果很明顯，對(duì)“無限”的理解產(chǎn)生矛盾，以“飛矢不動(dòng)”等悖（bèi）論為代表的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)爆發(fā)。

…嚴(yán)、密、嚴(yán)密：見《歐幾里得53》…

…理、論、理論：見《歐幾里得5》…

…矛、盾、矛盾：見《歐幾里得72》…

…“飛矢不動(dòng)”等悖（bèi）論，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)：見《牛頓223~233》…

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數(shù)學(xué)家們憑直覺?想當(dāng)然地做出判斷的后果才是最可怕的，基礎(chǔ)的理論不夠嚴(yán)謹(jǐn)，在此之上的發(fā)展便很容易犯錯(cuò)，看起來高大堅(jiān)固的理論大廈實(shí)則不堪一擊。

…直：見《歐幾里得34》…

…覺：見《伽利略60》…

…直覺（百度漢語）：1.未經(jīng)邏輯推理的感性認(rèn)識(shí)。

2.直接感到…

（…邏、輯、邏輯：見《歐幾里得5》…
…感、性、感性：見《牛頓119》…

…認(rèn)、識(shí)、認(rèn)識(shí)：見《歐幾里得51》…）

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…判、斷、判斷：見《歐幾里得70、71》…

…基、礎(chǔ)、基礎(chǔ)：見《歐幾里得37》…

…發(fā)、展、發(fā)展：見《伽利略21》…

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如果我們分析“連續(xù)趨近”這個(gè)詞的真正意思，和在一個(gè)特定的情形下，必須如何對(duì)它進(jìn)行檢驗(yàn)，那么就不得不接受像柯西這樣的定義。

這個(gè)定義是靜態(tài)的，它沒有預(yù)先假定運(yùn)動(dòng)的直觀觀念。相反，只有這樣一個(gè)靜態(tài)的定義，才能對(duì)時(shí)間上的連續(xù)運(yùn)動(dòng)作出精確的數(shù)學(xué)分析。

…運(yùn)、動(dòng)、運(yùn)動(dòng)：見《伽利略9》…

…時(shí)、間、時(shí)間：見《伽利略10》…

…精、確、精確：見《牛頓25》…

…分、析、分析：見《歐幾里得36》…

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即使是在?柯西一定程度上澄清了微積分基礎(chǔ)問題的混亂之后，當(dāng)時(shí)仍存在著一個(gè)普遍的錯(cuò)誤觀點(diǎn)，即凡連續(xù)函數(shù)都是可微的。因此，當(dāng)?shù)聡鴶?shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯在1861年舉出一個(gè)處處連續(xù)卻處處不可微的函數(shù)例子（魏爾斯特拉斯函數(shù)）時(shí)，數(shù)學(xué)界可以說是大為震驚，這個(gè)例子使人們迫切感到徹底擺脫對(duì)幾何直覺的依賴，重新認(rèn)識(shí)考察?分析基礎(chǔ)的必要性。

…錯(cuò)、誤、錯(cuò)誤：見《歐幾里得193》…

…觀、點(diǎn)、觀點(diǎn)：見《歐幾里得50、51》…

…幾、何、幾何：見《歐幾里得28》…
…考、察、考察：見《歐幾里得39》…

…必要：不可缺少；非這樣不行…
…性：1.物質(zhì)所具有的性能；物質(zhì)因含有某種成分而產(chǎn)生的性質(zhì)：黏～。彈～。藥～。堿～。油～。2.后綴，加在名詞、動(dòng)詞或形容詞之后構(gòu)成抽象名詞或?qū)傩栽~，表示事物的某種性質(zhì)或性能：黨～。紀(jì)律～。創(chuàng)造～。適應(yīng)～。優(yōu)越～。普遍～。先天～。流行～…見《歐幾里得10》…

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這就是隨后的“分析算術(shù)化”運(yùn)動(dòng)努力的開端。

…算、術(shù)、算術(shù)：見《歐幾里得28、29》…

…化：后綴。加在名詞或形容詞之后構(gòu)成動(dòng)詞，表示轉(zhuǎn)變成某種性質(zhì)或狀態(tài)：綠～。美～。惡～。電氣～。機(jī)械～。水利～…見《歐幾里得2》…

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魏爾斯特拉斯批評(píng)柯西等前人“無限地接近”等說法具有明顯的運(yùn)動(dòng)學(xué)涵義，代之以更精密的ε-δ表述，用這種方式重新定義了極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等分析基本概念。

…精、密、精密：見《牛頓129》…

…δ（希臘字母）：Delta（大寫 Δ，小寫 δ），是第四個(gè)希臘字母…

…

題主，從流數(shù)法到實(shí)數(shù)理論，幾百年的時(shí)光，數(shù)不盡的紛爭(zhēng)，無數(shù)人的嘗試，足以證明這是最適合數(shù)學(xué)的方式。

…實(shí)、數(shù)、實(shí)數(shù)：見《歐幾里得37》…

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

…方、式、方式：見《歐幾里得57》…

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就像無論我們以什么比喻理解了極限，最后都會(huì)發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在的定義最無懈可擊，簡潔，嚴(yán)密，充滿美感。

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不愧是上帝的語言。

（贊同153）

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“要取得一個(gè)東西的極限，直觀方法無非是無限逼近。
更進(jìn)一步來說，就是鄰域不斷縮小。
極限的數(shù)學(xué)定義就是鄰域不斷逼近這種直觀方法的數(shù)學(xué)描述。
它的定義這么長，但是要表達(dá)的核心意思只有一點(diǎn)，就是鄰域不斷縮小，極限值卻一直在范圍內(nèi)。

請(qǐng)看下集《牛頓237、柯西對(duì)極限定義引入ε精確描述，意義是避免了很多含糊不清的情況》”

若不知曉歷史，便看不清未來

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