??考研高數(shù)/數(shù)學(xué)競賽題型分類筆記06

分類：重積分——二重積分——不等式證明

知識(shí)點(diǎn)：放縮法證明不等式，二重積分中極坐標(biāo)與普通坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，向量點(diǎn)積公式用于放縮，牛頓萊布尼茨公式逆用，巧用邊界值

【向量點(diǎn)積公式用于放縮：

】

【二重積分放縮方法：

①求出最大最小值

②二元函數(shù)泰勒展開

③對(duì)積分區(qū)域進(jìn)行放縮

④轉(zhuǎn)換成曲線積分進(jìn)行放縮

⑤轉(zhuǎn)換成三重積分進(jìn)行放縮（本題）】

題型：二重積分→三重積分，放縮法證明不等式

例題1：

如何使二重積分→三重積分——牛頓萊布尼茨公式逆用

思路流程：

①普通坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)系。巧用邊界，找出f(cosθ,sinθ)=0這個(gè)式子

②逆用牛萊公式，二重積分→三重積分

③求導(dǎo)，使用向量內(nèi)積放縮

④提出要證明的式子，剩下的正常計(jì)算積分

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本題還可以使用二元函數(shù)泰勒展開證明