這個(gè)專(zhuān)欄的序言：

我們應(yīng)用拓?fù)鋵W(xué)的目的是什么？凝聚態(tài)物理中，我們知道即使是同一個(gè)材料，當(dāng)實(shí)驗(yàn)上調(diào)節(jié)一些外參數(shù)時(shí)，材料可能存在不同類(lèi)型的物相，不同類(lèi)型的物相之間不可以絕熱地轉(zhuǎn)換，也就是常說(shuō)的魯棒性。拓?fù)涞淖饔镁褪菍?duì)這些物相進(jìn)行分類(lèi)—量化地分類(lèi)（畢竟我們需要有實(shí)實(shí)在在的東西能算出來(lái)，不能說(shuō)蘋(píng)果一類(lèi)，香蕉一類(lèi)，那是因?yàn)樘O(píng)果香蕉太好辨認(rèn)了）。這就引出若干個(gè)重要的問(wèn)題：我們的分類(lèi)對(duì)象是什么？分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是什么？確定對(duì)象和標(biāo)準(zhǔn)之后具體如何分類(lèi)？回答這三個(gè)問(wèn)題，我認(rèn)為可以看做拓?fù)淠蹜B(tài)的核心任務(wù)。

第一個(gè)問(wèn)題，你可能會(huì)說(shuō)，分量對(duì)象就是具體的物理相。沒(méi)錯(cuò)，但是這種說(shuō)法沒(méi)有實(shí)踐意義，我們需要提煉出數(shù)學(xué)描述才可以“計(jì)算”出實(shí)實(shí)在在的東西。實(shí)際上，當(dāng)從物理問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)描述之后，我們發(fā)現(xiàn)無(wú)非兩種情況。物理學(xué)家唯一會(huì)的運(yùn)算是微積分，因此讓我們關(guān)心一個(gè)積分。一個(gè)積分由兩部分組成—積分區(qū)域（我們管它叫做base manifold或者空間）和被積函數(shù)（函數(shù)就是一個(gè)映射），因此我們需要分類(lèi)的對(duì)象只有兩種——空間本身和空間上的映射。在凝聚態(tài)中，空間本身相對(duì)來(lái)說(shuō)比較固定，常常是布里淵區(qū)（能帶拓?fù)洌?，或者是?shí)空間（拓?fù)淙毕荩?/p>

第二個(gè)問(wèn)題，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是什么—是群。群描述對(duì)稱(chēng)性，對(duì)稱(chēng)性是在變化下的不變性。如果在拓?fù)涞恼Z(yǔ)境下，可以認(rèn)為拓?fù)渚褪茄芯吭凇袄?、扯、扭、伸縮”下的不變性。因?yàn)槿绻麑鹘y(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性的概念擴(kuò)展，很自然地，群論的數(shù)學(xué)語(yǔ)言是描述拓?fù)洳蛔冃缘奶烊还ぞ?。而群又如何與分量標(biāo)準(zhǔn)掛鉤？實(shí)際上，以后會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些群基本上是整數(shù)群，或者其他數(shù)域的群。那么我們可以往凝聚態(tài)水果店里擺上一些箱子，用一個(gè)整數(shù)或者其他什么數(shù)，對(duì)箱子編號(hào)，再把蘋(píng)果香蕉放進(jìn)我們的“分類(lèi)機(jī)器”，這個(gè)機(jī)器輸出一個(gè)數(shù)，我們就把蘋(píng)果香蕉放進(jìn)那個(gè)對(duì)于編號(hào)的箱子里。

第三個(gè)問(wèn)題，那就是這個(gè)專(zhuān)欄的核心了—介紹具體如何實(shí)現(xiàn)這個(gè)分類(lèi)的目標(biāo)

如前所述，分類(lèi)對(duì)象包括空間和映射，這一章介紹對(duì)空間進(jìn)行分類(lèi)的數(shù)學(xué)工具—同調(diào)群。

后幾章還會(huì)介紹對(duì)映射的分類(lèi)—同倫群，以及同調(diào)群的某種對(duì)偶—上同調(diào)群（用以對(duì)form進(jìn)行分類(lèi)，也可以理解為對(duì)被積函數(shù)的分類(lèi)）

需要的前置知識(shí)：線(xiàn)性代數(shù)、群論（只需要知道什么是群）、一點(diǎn)點(diǎn)的微分幾何基礎(chǔ)（知道什么是manifold、tangent space、n-form即可）

警告：沒(méi)有抽象代數(shù)基礎(chǔ)的可能會(huì)覺(jué)得抽象，我覺(jué)得唯一的方法是“慢”，一點(diǎn)一點(diǎn)梳理結(jié)構(gòu)，并且善用圖示。我的介紹基本上遵循Nakahara的著名教材，并且遵循“沒(méi)用的不講原則”。這本書(shū)已經(jīng)是面向物理人寫(xiě)的，相對(duì)來(lái)說(shuō)好懂很多，但不可避免仍然是“定義、證明（我?guī)缀跞サ袅怂凶C明）、定理、引理、例子”的順序。

也可以選擇跳過(guò)數(shù)學(xué)準(zhǔn)備，但是在正文中不可避免地會(huì)看不懂一些數(shù)學(xué)描述。如果只是想知道一些基本模型和物理圖像，這未嘗不是一種高效做法。