從結(jié)論出發(fā)：欲證GI=IE，對于這種比較詭異的線段相等，我們一般不會考慮去直接通過計算（比例）完成兩個線段的相等，而是它作為某個三角形的外心進行角度計算來完成。而構(gòu)造這樣一個三角形，最簡單的思路就是作出E關(guān)于CD對稱點E'。則只需證I為△E'EG外心，而注意到E'I=EI，根據(jù)同一法的思想，只需證∠GE'E=90°+∠IGE=∠BFH(消I)

從條件分析：G其實就是F關(guān)于圓(E,EH)的反演點，而要刻畫∠GE'E不妨取出E'關(guān)于圓(E,EH)的反演點J，則只需證FE為∠JFB角平分線(消G)。

證明角平分線，可以考慮作J關(guān)于FE對稱點J'，則J'在AB上，另一方面，有△HEE'∽△HEJ∽△HEJ'(消F)，于是可以轉(zhuǎn)化為如下簡潔問題:

AC⊥BD且AC∩BD=H，作E關(guān)于CD對稱點E'，設J在AB上滿足∠HEJ=∠HEE'，求證：△HJE∽△HEE'

對于這樣一個問題，最簡單的思路就是計算比例HJ/HE=HE/EE'，但仔細一想，這樣的比例似乎是不好計算的（尤其是HE），于是我便萌生出了另一個思路：構(gòu)造相似對應

為什么會這樣去思考呢：我們把△HJE看作四邊形BJEH的一部分，HJ是難以刻畫的，但四邊形BJEH可以用角度表示出來，這啟發(fā)我去構(gòu)造一個點K滿足KHEE'∽BJEH

我們挖掘K的性質(zhì)：∠HKE=∠JBE=180°-∠HCE說明K在圓(HCE)上，而∠E'KE=∠HBE=∠DCE說明KE'∩CD=L也在圓(HEC)上。

那么我們不妨這樣去考慮：取出圓(HCE)與CD第二交點L，設LE'與圓(HCE)第二交點為K，去證HBJE∽HKE'E。事實上只需證要說明△BHE∽△KEE'，這是非常容易的:∠E'KE=∠HBE=∠DCE、∠KE'E=90°+∠KLC=90°+∠CLE=90°+∠CHE=∠BHE，證畢！

事實上，證完后很容易發(fā)現(xiàn)有些輔助線是不必要的，這里給出簡化后的最終過程：

GH線有一個熟知的性質(zhì)：過A作BC平行線交圓(ABC)另一邊于F，則H、G、F三點共線(易證)。關(guān)于D、E二點的性質(zhì)，可以看做圓(BDH)與AB相切，圓(CEH)與AC相切。于是

可知圓(BDH)與圓I的第二交點K在MD上，同理圓(CEH)與圓I的第二交點L在EN上，考慮的根心定理，則只需證FH為圓(BDH)、圓(CEH)根軸，注意到FH與圓(ABC)的第二交點J在圓(BDH)、圓(CEH)上即可(導角易證)

完整過程：