????KPnd序列，是我定義的序數(shù)表示法，用一個自然數(shù)組表示序數(shù)。

? ? 溫馨提示：本文約8000字，且難度較大

1.概念和定義

????不降格的KP序列（Keidonxi's Polynomial Sequence with no debasing）簡稱KPnd，其中Keidonxi是我10年前用拼音推出的外文人名，Polynomial是多項式，no debasing代指沒有“降格”這個操作，Sequence即序列；這個名字中，Polynomial是唯一能體現(xiàn)序列特征的：展開KP序列的依據(jù)是一組多項式。

????KP序列是一系列正在發(fā)展的序列，包括初始KP序列(initial KP)、KPnd序列、KDP序列(Keidonxi's Diagonalized Polynomial，定義已基本完善)、TKP序列(Triple KP，現(xiàn)處于原理研究階段)、YKP(現(xiàn)處于原理理解階段)、LKP序列(Lifting KP，現(xiàn)處于計劃階段)等。

????以下為KPnd序列的定義，不是很嚴謹（一個序列的展開取決于其他序列的展開）：

????ps：之所以要引入十年前的Keidonxi，是因為我在2020年還定義過另一個序列 IUN（Iteration unit notation，遞增元序列），然后可以把兩者結(jié)合叫做_ _ _ _

2.基本原理

???0-Y序列有一個特點：一個序列的展開可以由它的階差序列決定。例如1,4,6,10，階差序列為1,3,2,4；1,3,2,4=1,3,2,3,4,5,6,7,...，所以1,4,6,10=1,4,6,9,13,18,24,31,...。其中的核心是令某項(記作a?)等于它的父項(a????)加上階差(d?)

????而KP序列中一個序列的展開是由多個序列共同決定的，這里面的核心是令某項(a?)等于把它的父項(a????)代入一個多項式函數(shù)，即a?=Π?(a????)，其中Π?(x)是一個多項式函數(shù)。

????例如1,2,4,9,20，2=1×1+1，4=2×2，9=2×2+1，20=9×2+2，于是組成了一次項系數(shù)序列(記作Q?)0,1,2,2,2，常數(shù)項序列(記作Q?)0,1,0,1,2，于是在特定條件下展開這兩個序列，最后返回原本序列。Q?的末項加1然后展開：0,1,2,2,3=0,1,2,2,2,2,2,2,...；Q?直接展開：0,1,0,1,2=0,1,0,1,1,1,1,1,...，返回得到1,2,4,9,19,39,79,159,...

????但是這個特定條件比較復雜，涉及很多新定義的概念。

????對于一個包含x+1項的序列A=(a?,a?,a?,a?,...,a?)，a?的父項是a????（整數(shù)i∈[0,x)）

????首先，定義多項式的系數(shù)：令a?=Π?(a????)，其中Π?(x)=q??+q??x+q??x2+q??x3+...；對任意自然數(shù)k，整數(shù)q??∈[0,a????)。Π?還同時表示列向量，即第i項的系數(shù)向量。

????向量組Q=(Π?,Π?,Π?,...,Π?)，是一個矩陣，稱為子序列矩陣。子序列矩陣又由多個行向量組成：Q?,Q?,Q?,Q?,...，即Q?=(q??,q??,q??,q??,...,q??)，行向量Q?稱為序列A的t層子序列。

? ? 一個序列有無窮多個子序列，但是非零向量的子序列只有有限個。
????定義項的等級比較：對于兩個項a?和a?，如果，那么稱“a?在s層比a?高級”。

????對于父項的尋找，如果A是初始狀態(tài)的序列，即不是任何序列的子序列，那么a?的父項就是在a?左側(cè)且最靠右的小于a?的項，這個項記作a????，項的序號記作p?。父項序列P=(p?,p?,p?,p?,...,p?)，這個記號只是用來便于描述的，展開過程中不會提及。

3.階差序列

????在1,2,4,9之前，KP序列和1-Y序列是完全相同的，只是KP序列多了一個補層的行為。

????以1-Y的典例1,2,4,8,10,8為例，展開KPnd(1,2,4,8,10,8)：

????因為2=1×1+1，4=2×2+0，8=4×2+0，10=8×1+2，8=4×2+0，所以對于1,2,4,8,10,8，Q?=0,1,0,0,2,0，Q?=0,1,2,2,1,2，并且P=(0,0,1,2,3,2)（記住首項是第0項）。

????這里首先就會遇到兩個規(guī)定：如果一個項a?=1，那么它對應的多項式Π?(x)=0（這是兩個違反多項式運算的地方之一），且規(guī)定父項為第0項；而如果一個項a?的父項是1，那么它對應的多項式Π?(x)=x+(a?-1)。這才使得Q?=0,1,0,0,2,0，Q?=0,1,2,2,1,2而不是Q?=1,0,0,0,2,0，Q?=?,2,2,2,1,2。

????接下來是可計算化。從邏輯上講，一個有x+1項的序列(末項為第x項)，它的展開式的第x項一定比展開前的第x項的值少1，但是在1,2,4,8,10,8中，Q?的末項是0，怎么少1呢？因此要有一個運算，讓Q?的末項不是0。
? ? 在1,2,4,8,10,8中，末項(a?=8)的父項是4，那么讓q??減1，q??加4，整個序列的值是不變的，只是從8=4×2+0改成了8=4×1+4。于是現(xiàn)在Q?=0,1,0,0,2,4，Q?=0,1,2,2,1,1，可以按照邏輯上的q??-1來展開了。這個讓Q?的末項不再是0的過程稱為可計算化。

????然后是一個比較復雜的行為，補層。先在子序列中找到末項的父項及其之前的連續(xù)的0，也就是Q?=0,1,0,0,2,4和Q?=0,1,2,2,1,1。如果這個0是序列的首項，那么不管它，也就是不用管Q?的這個0，只需要注意Q?的這兩個0。它們分別在0層子序列的第2項和第3項，那么比較a?,a?和末項在1層的級別，顯然，這兩個項的級別都比末項高；所以，q??和q??都減1（如果是末項級別更高或者級別相等則不需要減1）；接下來是補層的核心：把第i+1項的0改成a?。

????在這樣的一系列操作下，Q?變成了0,1,2,4,2,4，Q?變成了0,1,1,1,1,1。在這之后，要展開的序列就變成了0,1,2,4,2,4和0,1,1,1,1,2，顯然后者等于0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...。實際上任何小于1,2,4,9的序列中，Q?的展開式都是0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...，Q?就是這個序列的階差。

????于是，1,2,4,8,10,8的展開問題就轉(zhuǎn)化為了0,1,2,4,2,4怎么展開。
? ? 和1-Y一樣，0,1,2,4,2,4也可以進一步轉(zhuǎn)化為0,0,1,2,1,2的展開（注意末項的父項是a?）。末項與其父項的差是1，可以展開：0,0,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,...，注意a?的父項是a?。
? ? 回到0,1,2,4,2,4，它等于0,1,2,4,2,3,5,2,4,6,2,5,7,2,...，由于此時a?的父項是a?，比a?靠前，a????的父項始終是a?。

????最后回到1,2,4,8,10,8，即1,2,4,8,10,7,12,14,11,17,19,16,23,25,...。

????其他的1,2,4,9之前的KPnd序列也是類似的，可以用完全相同的1-Y的規(guī)則展開。

4.階斜率序列

????大于等于1,2,4,9，小于1,2,5的KPnd序列稱為階斜率序列，也可以稱為階線性序列、階一次序列，因為每一項對應的多項式函數(shù)都是一次函數(shù)（不叫“階商序列”是因為名稱和后面的階二次序列等無法銜接，同時曾經(jīng)的KD序列占用了該名稱）。

????因為2×2等于4，22也等于4，1,2,5只能視為階二次序列的開端，階斜率序列就只能從1,2,4,9開始了。并且還要規(guī)定，當a?=4且a????=2時，Π?(x)=2x而不是x2。

? ? 在定義中有一個“占位運算”，實際上就是用來讓高級項的低級子序列不提升的。其中最小的例子是1,2,4,10,7。

????在1,2,4,10,7中，Q?=0,1,0,2,3，Q?=0,1,2,2,1，末項的多項式函數(shù)是一個一次函數(shù)，記這個表達式的展開層次s=1。如果一個項在s層比末項高級，那么可以簡稱為“這個項比末項高級”

????補層后得到Q?=0,1,0,2,3，Q?=0,1,2,2,1，末項的父項是a?。這里的補層又要注意一點：如果待補層項的序號等于p(p(...(p(x))...))（記作p?(x)），并且存在第p?(x)項(k<c)，這一項和待補層項都比末項高級，那么不需這個補層。所以此時的Q?并不是0,1,2,2,3，Q?也不是0,1,1,2,1。

????現(xiàn)在要展開0,1,0,2,3和0,1,2,2,2。顯然后者等于0,1,2,2,1,2,2,1,2,2,...。因為任何項的父項都不能比這個項高級，所以0,1,0,2,3中a?的父項是a?。但是a?的父項是a?，比a?靠后；這樣下來0,1,0,2,3應該是0,1,0,2,2,0,3,3,0,4,...?？墒菍嶋H上它等于0,1,0,2,2,0,2,3,0,2,...，這是因為q??=2對應的a?，是比末項高級的，這不能被提升。

????于是展開式的Q?=0,1,0,2,2,0,2,3,0,2,...，Q?=0,1,2,2,1,2,2,1,2,2,...。為了便于逐項對應，一般會用矩陣Q表示，即Q?

????故1,2,4,10,7=1,2,4,10,6,12,26,15,30,62,...

????現(xiàn)在來看1,2,4,9,12的展開式：
? ? Q?
? ? 即1,2,4,9,12=1,2,4,9,11,22,45,48,96,193,...

????那么這個展開式的前6項，1,2,4,9,11,22，怎么展開呢？

????很快計算出Q?=0,1,0,1,2,11，Q?=0,1,2,2,1,1（已可計算化）。0,1,2,2,1,2很容易展開，就是0,1,2,2,1,1,1,1,1,1,...；而0,1,0,1,2,11，則需要進一步求子序列。

????所以在A=0,1,0,1,2,11的情況下，Π?(x)等于什么？是x3+x+1嗎？如果是這樣。那么Q?=0,0,0,0,1,1，Q?=0,0,0,0,1,1，Q?=0，Q?=0,0,0,0,0,1，這個大小和1,2,11是相同的，這將形成一個超大的循環(huán)定義。那么，應該如何解決？

????附加降格的作用體現(xiàn)出來了：子序列的末項只能比原序列的末項(在0層)低級。這句話的意思是：在1,2,4,9,11,22中，Π?(x)=x+11；那么在0,1,0,1,2,11中，Π?(x)要滿足。所以這個Π?(x)只能等于11（因為函數(shù)的級別是逐級下降的，所以降低到滿足這個不等式后就不用繼續(xù)降低了），常數(shù)函數(shù)已經(jīng)是多項式函數(shù)的最低級別。

????現(xiàn)在，0,1,0,1,2,11，Q?=0,0,0,0,1,11，Q?=0,0,0,0,1,0，于是展開為Q?=0,0,0,0,1,10,19,28,37,...，Q?=0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,...，得到0,1,0,1,2,11=0,1,0,1,2,10,19,28,37,...。

? ? 回到1,2,4,9,11,22，Q?=0,1,0,1,2,10,19,28,37,...，Q?=0,1,2,2,1,1,1,1,1,1,...，故1,2,4,9,11,22=1,2,4,9,11,21,40,68,115,...

????1,2,4,10等于什么？可以發(fā)現(xiàn)，Q?=0,1,0,2，Q?=0,1,2,2。在這里，補層又回來了。將q??改為a?，由于a?不比末項高級，q??不變，即Q?=0,1,2,2，Q?=0,1,2,2。
? ? ?0,1,2,2=0,1,2,1,2,1,2,1,2,...，0,1,2,3=0,1,2,2,2,2,2,2,2,...，注意這里分別展開了(0,1,2,2)[3]和(0,1,2,3)[6]，在存在補層的情況下，不同子序列的基本列長度單位可能是不同的。
? ? 于是1,2,4,10=1,2,4,9,20,41,84,169,340,...

????再看向1,2,4,10,12的展開式：
? ? Q?
? ? 即1,2,4,10,12=1,2,4,10,11,22,46,47,94,190,...

????這個展開式的前7項，1,2,4,10,11,22,46，展開時應該如何補層？

????1,2,4,10,11,22,46，Q?=0,1,0,2,1,0,2，Q?=0,1,2,2,1,2,2，需要給q??補層。根據(jù)前面的規(guī)則，q??應該改為a?，但是0,1,0,2,1,11,2顯然也是無法展開的。
????q??=0，q??=2，現(xiàn)在要找到另一個類似的q??=0，q??=2的項，如果這個項不存在，就找比a?高級但q??=0的項；當然，這個項是存在的，就是a?。因此，替換掉q??的不是a?，而是a?。所以，Q

????故1,2,4,10,11,22,46=1,2,4,10,11,22,45,92,185,372,745,1492,...

????以上基本就是階斜率序列會遇到的所有情況了。在1,2,4,13之前，Q?的展開式一定是PrSS的表達式。而1,2,4,13，Q?=0,1,0,1展開為0,1,0,0,0,0,0,...，Q?=0,1,2,3展開為0,1,2,3,4,5,6,...，所以1,2,4,13=1,2,4,12,48,240,1440,...呈現(xiàn)出階乘的形式。階斜率呈現(xiàn)等差數(shù)列，或者說階斜率的階差是常數(shù)，把階差運算記作q?，階斜率運算記作q1，這個式子可以表述為q?(q1)=常數(shù)。

????接下來是1,2,4,16,113：
Q?，即1,2,4,16,113=1,2,4,16,112,1232,19712,433664,12576256,...，也就是q?(q?(q1))=常數(shù)。1,2,4,16,128,1921（Q?=1,2,4,8,15）展開式即為q?(q?(q?(q1)))=常數(shù)。對q?(q1), q?(q?(q1)), q?(q?(q?(q1)))取對角化，可以得到q1(q1)=常數(shù)：1,2,4,16,129=1,2,4,16,128,2048,65536,4194304,…（Q?=1,2,4,8,16,32,64,...）。

????最后，q1(q1(...(q1(q1))...))=常數(shù) 的極限，就是階斜率序列的極限：1,2,4,16,256,65536,4294967296,...

5.完整的序列

????階二次序列開始于1,2,5，Q?=0,0,1，Q?=0,0,0，Q?=0,1,1，展開為Q?=0,1,0,0,0,0,...，Q?=0，Q?=0,1,1,1,1,1,...；1,2,5=1,2,4,16,256,65536,...

????這里可以看到，我強行讓2的Π(x)=x2，這里也違反了多項式運算。實際上這里的Π(x)取決于第2項的值，當a?≥5時，Π?(x)=x^[log?(a?-1)]（如果a?經(jīng)過附加降格后Π?(x)變成了x，那么改為x+1）。這么多特殊的規(guī)定，都是為了對抗同一個噩夢般的特性：2×2=22

????在1,2,5之后，基本上不會遇到新的情況了。

????1,2,5,25，Q=，這里的可計算化，本來需要q??的值減1，但是q??也是0，所以需要q??的值減1，q??的值加5，再讓q??的值減1，q??的值加5，即Π?(x)=4x+5。接下來：
Q=即為
故1,2,5,25
=1,2,5,24,576,331777,2654224,7044905042176,49630687053276828338814977,...

????對于1,2,5,24,576，Q=補層為展開為
（完整的展開式是什么就不算了）

????在1,2,5之后，可能會出現(xiàn)多次補層，或者跨層次的可計算化，同時2×2=22造成的負面作用也明顯體現(xiàn)出來，讓規(guī)則變得復雜。

? ? 1,2,8：Q=展開為，1,2,7,65,4423,19580625,...
? ? 1,2,8,193：Q=?展 開 為? ? ? ????，即q?(q2)=常數(shù)
? ? 1,2,8,256,2049：Q=展開為???，即q1(q2)=常數(shù)
? ? 1,2,8,257：Q=，即q2(q2)=常數(shù)
? ? 1,2,8,512,131073：Q=，即q2(q2(q2))=常數(shù)

? ? 于是，階三次序列出現(xiàn)：1,2,9=1,2,8,512,22?,2?1,22?3,...。后面就不一一列舉了

????1,2,16,12289（q?(q3)=常數(shù)）；1,2,16,16384,2??+1（q1(q3)=常數(shù)）；1,2,16,16385（q2(q3)=常數(shù)）；1,2,16,32769（q3(q3)=常數(shù)）；1,2,16,65536,2?3+1（q3(q3(q3))=常數(shù)）

????1,2,17：q?=常數(shù)
????1,2,33：q?=常數(shù)
????1,2,65：q?=常數(shù)

????最后，KPnd序列的極限，1,2,ω形成。1,2,ω的基本列是1,2；1,2,4；1,2,4,9；1,2,5；1,2,9；1,2,17；1,2,33；...

6.分析

????KPnd序列在1,2,4,9之前和1-Y完全相同，所以沒必要分析這一部分?？墒窃谶@之后，已經(jīng)沒有幾個記號能用來分析了。以下是KPnd和Y序列的對照。

????KPnd的等比數(shù)列的強度弱于比1-Y的等比，最終是階斜率嵌套不動點（階二次系數(shù)是常數(shù)）1,2,5，才等于1-Y的極限。這是因為，? ? 在1-Y中，1,3,5，階差等于；1,3,7，階差等于，待展開的階差序列都是1,2,2，而KPnd的類似結(jié)構(gòu)只有一種，因此相對弱一些。

????根據(jù)奆佬HypCos的原理解釋，1-Y(1,3)相當于ω行BMS，1-Y極限相當于“ω2行BMS”，ω-Y極限則相當于“ω^ω行BMS”。而對應1-Y(1,3)的KPnd(1,2,4,9)展開式的Π(x)剛好是x+x，對應1-Y極限的KPnd(1,2,5)展開式的Π(x)剛好是x2，也就是說，“序數(shù)行BMS”的行數(shù)，和KPnd的Π(x)函數(shù)，結(jié)構(gòu)十分相似。

????通過合情推理，可以認為KPnd的極限是“ω^ω行BMS”，即ω-Y極限。KPnd的擴展，KDP序列，極限是“項→展開層次”不動點，則為“α→α行BMS 不動點”。

7.歷史

KP序列的最初版本誕生于2022年11月23日。

????下面以1,2,4,12,24（Q=，簡記作0,11,20,30,1 12）的展開方式為依據(jù)講述KP序列的變化。

????2022.11.12，我重新開始研究2020年底定義的表示法IUN（Iteration unit notation，遞增元序列）

????2022.11.23 12:15左右，為了能讓IUN結(jié)合一個名字為K開頭的序列，KM序列(Keidonxi's Multiplication Sequence)誕生，以乘法的逆運算(除法的商和余數(shù))為核心
????2022.11.23 20點左右，KM序列擴展為KD序列(Keidonxi's Down-arrow Sequence)，以下箭號表示法的逆運算為核心，此時我已經(jīng)沒有心思研究IUN和THIAN

2022.11.24（0-Y展開1,n，無同化，無降格）
? ? 0,11,20,30,1 11,20,30,1 66,20,30,1 286,...
? ? 1,2,4,12,23,46,138,204,408,1224,1510,...
? ? 但是1,2,4,8,16,...,2?用這種方法無法展開，只能強行規(guī)定1,2,4,9之前KD與1-Y相同

2022.11.24晚，第一次在googology群公開序列中“階商”的概念

2022.11.25（0-Y展開1,n，有同化，無降格）
? ? 0,11,12,24,1 11,24,1 56,24,1 165,...
? ? 1,2,4,12,23,50,106,216,381,...
? ? 它的子序列是1,11,20,24,1 11,24,26,24,1 165
? ? 很明顯，展開式中的106，子序列26出現(xiàn)了循環(huán)定義

2022,11.26（改為HPrSS展開1,n）
? ? 0,11,12,24,1 11,24,1 28,24,1 53,24
? ? 其中1,2,12求階差后得1,2,11,28,53,...
? ? 1,2,4,12,23,50,78,160,213,430,...
? ? 雖然不再有階商上的循環(huán)，但是
? ? 它大于1,2,4,12,23,47
? ? 子序列為0,11,20,24,1 11,21，展開后將出現(xiàn)階乘序列，巨大循環(huán)

2022.11.27（出現(xiàn)降格，降格項不參與展開）
? ? 1,11,12,18,1 12
? ? 其中1,2,8,12階差為0,1,6,10=0,1,6,9,14,18,23,27,32,...
? ? 1,11,12,18,1 11,1 25,1 29,1 52,1 56,1 88,...
? ? 1,2,4,12,23,48,77,129,185,273,...
? ? 1,2,4,12,"23,48"，經(jīng)典循環(huán)又回來了

2022.11,28，出現(xiàn)“萬能步驟”補層+反向降格

2022.11.29（降格項只求差）
? ? 0,11,20,18,1 12
? ? 補層1,2，即展開1,2,8,12，其中8只求差（d=8-2=6）
? ? 0,1,10=0,1,9,18,27,36,...
? ? 0,11,20,18,1 11,1 17,1 29,1 35,1 56,1 62,...
? ? 1,2,4,12,23,40,69,104,160,222,...

????至此，終于把所有問題都修復了，確保KD序列在1,2,4,17之前沒有問題。但是，經(jīng)過這么多變化，強度也遭到了巨幅削弱

????2022.12.4，發(fā)現(xiàn)階商1,2,2=1,2,1,1,1,1,...，和對1做補層的奇怪現(xiàn)象
2022.12.4之后，KD序列再無發(fā)展

????2023.1.15凌晨3:00左右，KP序列(Keidonxi's Polynomial Sequence)出現(xiàn)，并取代KD序列
? ? KP序列在1,2,5之前與KD序列完全相同，但之后的數(shù)字小得多，同時能保證強度。不過KD序列仍然存在，只是不再使用。

2023.1.15（降格項可以參與展開，刪除同化和反向降格，新增附加降格）
? ? 0,11,12,18,1 12
? ? 1,2,8,12求差0,1,6,4再求差0,0,5,3=0,0,5,2,7,4,9,6,11,...
? ? 0,1,6,4=0,1,6,3,8,5,10,7,12,...
? ? 0,11,12,18,1 11,1 19,1 24,1 34,1 41,1 53,...
? ? 1,2,4,12,23,41,65,99,140,193,...
2023.1.15晚，完成initial KP序列的定義

2023.1.16（取消降格，改良補層）
? ? 0,11,20,30,1 12
? ? 階斜率1,2,3,2=1,2,3,1,2,3,1,2,3,...(λ=3)
? ? 階差：1, , ,12=1, , ,11, , ,21, , ,...
? ? 0,11,20,30,1 11,20,30,1 21,20,30,...
? ? 1,2,4,12,23,46,138,159,318,954,...

2023.1.21，基本完善KPnd序列的定義
2023.1.25，完成KPnd序列的定義，確定KDP序列的基本原理

8.可能的擴展

????在KPnd序列之后，KDP的基本原理已經(jīng)成型。和KPnd相比，KDP只是增加了一個層級序列H，和一個最高系數(shù)序列N。

????讓序列1,2,5的Q=，也就是要展開。在KPnd的情況下它會等于；既然左下方都是0，那么能不能給Q?換一種展開方式呢？我們可以讓等于，相當于給KPnd序列做一個對角化。

?????在可計算化之后，定義層級序列H=(h?,h?,h?,h?,...,h???,h?+1)，其中h?=max{t|q??≠0}+1；定義最高系數(shù)序列N=(n?,n?,n?,n?,...,n???,n?+1)，其中n?=q????????。

????在KPnd中，要把Q?,Q?,Q?,Q?,...依次展開，是展開無窮多個表達式（非0表達式是有限個）；而到了KDP，則是先需要展開Q?,Q?,Q?,Q?,...Q???，再展開H和N，接下來令展開式的q???? ?=n?，與Q?,Q?,Q?,Q?,...Q???的展開式結(jié)合，其他的未定義的q??定義為0；最后返回原序列。

????這樣下來，1,2,5將展開為1,2,4,64,22?,212?,2?2?,...，也就是KPnd的極限。用q?表達，就是q?,q1,q2,...的極限，或者稱為：q指數(shù)的階差是常數(shù)，q?(ln(q?))=常數(shù)

????1,2,8,2097153（H=1,2,4,9），展開為1,2,8,221,231?,2????,2?1?1??,...，這是q1(ln(q?))=常數(shù)
????1,2,8,2??+1（H=1,2,4,17），展開為1,2,8,2??,211???,2??2?1?12?,...，這是q2(ln(q?))=常數(shù)
????1,2,8,21??,2??????2?+1（H=1,2,4,64,262145）這個很難展開了，是q3(ln(q?))=常數(shù)

????上面這些的極限，1,2,9，H=1,2,5；H展開為1,2,4,64,22?,212?,2?2?,...，得1,2,9=1,2,8,21??,231????3?3?,2?21??????12??1???????11??????11????2????2??12?,...，達到q?(ln(ln(q?)))=常數(shù)，對展開式取2為底對數(shù)的2為底對數(shù)，將近似于一個等差數(shù)列。

????接下來，1,2,129，H=1,2,9，是q?(ln(ln(ln(q?))))=常數(shù)；1,2,212?+1，H=1,2,129，達到q?(ln(ln(ln(ln(q?)))))=常數(shù)，......

????最終極限，1,2,ω，將呈現(xiàn)無窮層指數(shù)塔，并到達“項→展開層次”不動點（因為序列本身和H的指數(shù)塔始終相差1層）。這里我強行定義1,3=1,2,ω，并規(guī)定基本列為：1,2,4；1,2,5；1,2,9；1,2,129；1,2,212?+1；1,2,2^(212?-1)+1；...

????在1,3之后，我計劃擴展為TKP序列，認為從1到3是經(jīng)過了兩次+1的運算，后面的表達式都需要區(qū)分兩次不同的運算，例如1,3,6，Q=(0,0),(1,1),(1,2)；1,3,17，Q=。但是這樣的表達式應該如何展開，目前還未明確；而且展開式中經(jīng)常出現(xiàn)ω，這有可能會造成非良序甚至非良定義。
? ? 1,4，則認為經(jīng)過了三次+1的運算（Q=(0,0,0),(1,1,1)），以此類推到ω次運算。在TKP序列的基礎上，我還打有進一步對角化的打算，類似于H序列，讓運算次數(shù)也產(chǎn)生一個序列，不過滿足交換律的運算讓這很難真正應用，比如說(0)(1,1)(1,1,1)，這是1,3,6。

????還有一種方法，和Y序列類似，求了n次運算再展開二維運算。Y(1,3,9)，階差為展開為?KP序列可能也可以進行類似的操作，這種擴展，稱為YKP序列。YKP(1,3,9)，Q=→，1,1,2=1,1,1,1,1,...；1,2,1=1,2,0,0,0,0,...，得
Q=。由于Y序列的復雜性，我目前基本上沒有研究過YKP序列。

????就目前狀況，1,3之前的擴展只會是KDP，1,3之后還沒有找到合適的擴展方式。不過KPnd(1,2,5)都已經(jīng)到達序數(shù)記號的前沿了，后期更重要的應該是每一個KPnd序列的結(jié)構(gòu)對應了哪一個序數(shù)結(jié)構(gòu)，而不是怎么進一步擴展。