?2021年10月5日17時49分（北京時間），瑞典皇家科學院宣布，2021年度諾貝爾物理學獎授予美籍日裔科學家真鍋淑郎（Syukuro Manabe）、德國科學家克勞斯·哈塞爾曼（Klaus Hasselmann）和意大利科學家喬治·帕里西（Giorgio Parisi），以表彰他們“對我們理解復雜物理系統(tǒng)所作出的開創(chuàng)性貢獻”。

復雜系統(tǒng)是什么，我們該怎樣理解它？所有復雜系統(tǒng)都由許多不同的相互作用部分組成。幾個世紀以來，物理學家一直在研究它們，這些很難用數(shù)學方法來描述——它們可能被大量的因素影響或者受隨機因素的支配。

或許大家已經從各個科普書籍那里聽說了混沌，非線性等等詞匯

或許大家已經知道南美洲的蝴蝶的翅膀振動，可能會引起北美的颶風

... ...

可是我相信大家一定不滿足于這些籠統(tǒng)的描述

今天，我將嘗試用最容易理解的模型，動手給大家構建一個最簡單的混沌系統(tǒng)。

這個過程會涉及一定量的計算，基礎不錯的高中生和大學生可以嘗試閱讀計算部分，而其他讀者可以只了解物理學圖像即可。

?把一個小球懸掛在線上，繩子和小球構成的系統(tǒng)就稱為單擺，自由下垂時時，物體受合力為0，處于平衡狀態(tài)，此時小球所處的位置就是平衡位置，如果把小球略加移動后釋放，根據(jù)初中物理學，重力的分力便有指向平衡位置，迫使小球返回平衡位置。

高中物理告訴我們，在擺角很小的情況下，回復力和小球的偏角θ成正比，也就是F=mgθ。這樣，通過我們在高中就學過的牛頓第二定律，我們可以列出小球的動力學方程

-mgθ=ml

?令

代入上式，得

我們在軟件中把這個表達式的圖形畫出來，可以看到，小球的振動規(guī)律十分簡單：小球相對平衡位置的位移是按正弦（或余弦）規(guī)律隨時間變化的，這種運動叫做簡諧振動。

現(xiàn)在我們加大一些難度，考慮震動過程中，由于空氣而引發(fā)的摩擦阻力。物理學研究發(fā)現(xiàn)，空氣對小球的阻力與物體的運動速度有關，在小球速度不太大時，阻力與速度大小成正比，方向總是和速度相反，也就是

式中的γ稱為阻力系數(shù)，它是由物體和空氣的性質決定的。在考慮阻力的情況下，小球的動力學方程復雜化了，變成了

令

則方程化為了

解得

我們取ω=1,δ=0.05，得到下面的函數(shù)圖像

即使你不會解微分方程，也應該能夠理解這波形圖，他表示在阻力的作用下，小球的振幅越來越小，逐漸趨于靜止。

事實上，圖像的形狀會隨著摩擦力的增大而發(fā)生很大的變化，這里為了方便閱讀，我們只計算了摩擦力很小時，物體振幅逐漸減小的情況。

現(xiàn)在讓我們再增加難度：

之前我們考慮的系統(tǒng)里只有一個繩子和一個小球，而現(xiàn)在，假設還有第三者對小球施加一個驅動力——你可以理解為整個桌面因為樓上正在裝修或者樓下的小孩搗亂之類的原因振動，并且我們假設這個驅動力也是按照正（余）弦函數(shù)規(guī)律變化的，它的表達式是：

F=F0cos ωdt

這時，物體受到三個力的作用：回復力，摩擦力和驅動力，微分方程變成了二階常系數(shù)非齊次線性方程。

仍然令

則化成了

解這個方程確實需要花費一點時間，我們把它解出來，得到下面的式子

嘗試代入數(shù)值，設常數(shù)ω=1，δ=0.1,ωd=2.1,F0/m=2，則解的圖像時長這個樣子的：

這個式子看起來十分復雜，在開始的一小段，物體似乎沒有規(guī)律的振動，而后才顯示出它的規(guī)律。這波形的物理學意義也很明確：在一開始，小球同時受驅動力和初始振動的作用，隨著時間的增加，初始振動逐漸被削弱，而驅動力最終主導小球的振動。

此時此刻，我們離混沌只有一步之遙了。

還記得一開始我們說，只有在擺角θ很小的時候，回復力才和擺角呈正比嗎？在不進行近似的情況下，回復力和擺角的關系是正弦函數(shù)，這時，運動學方程變成

+2δ?+ω2sin?=?cosωdt （11）

讓我們代入幾個常數(shù)，求這個方程的數(shù)值解。

當我們取ω=2，δ=0.05,ωd=6,F0/m=4時，非線性方程隨著初始條件的不同，解答如下

圖中，不同顏色的曲線表示初始條件不同的方程的解，可見，即使初始條件略有不同，方程的解也相差很大。

當然，混沌之中也有規(guī)律，我們試著把反應空氣阻力的系數(shù)δ調大，設置成0.25，再進行計算，得到的解似乎又有了規(guī)律性

? ? ? ? ?在我看來，這次物理學獎頒發(fā)給復雜物理系統(tǒng)，在物理學和社會的聯(lián)系上，是具有里程碑意義的。在公眾看來，物理學，數(shù)學等等基礎科學似乎天然存在某些限定：他們雖然足夠精確，但是只能解決一些簡單的，甚至有些脫離實際的問題。但是，萬事萬物都有他們的底層原理，正如神經反射可以被還原成電信號和神經系統(tǒng)，進而歸結為粒子間的相互作用那樣，我相信基礎科學可以還原世界上的一切問題。對復雜系統(tǒng)的研究，打破了自然和計算，甚至是物理與社會之間的隔閡，它吹響了一記沖鋒號：物理的最終目標是解釋一切。

計算推導 文案 繪圖：心隨夢轉（bilibili）

輸入與美化：歪歪歪Y（bilibili）

參考軟件：WolframAlpha Geogebra（iOS）

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