S5R1 圓內(nèi)的迭代反射

2022-03-06 19:08 作者:學(xué)用數(shù)學(xué) 0人讀過 | 我要投稿

從圓內(nèi)發(fā)射一個入射角為 10 度的光線，經(jīng)過幾次后會反射為原出發(fā)點呢？如何用GGB來實踐問題呢？在這個案例要帶大家體驗的就是問題拆解的方法。

若是第三季就加入學(xué)用數(shù)學(xué)的老用戶，就知道這是第三季的初始任務(wù)。而這也是第五季的第三系列復(fù)習(xí)課程編號將從 S5R1-S5R4。有興趣想回顧前三季課程的可以從以下鏈接來回顧。

第一季：https://shimo.im/docs/Gdtg13sn1vQmEsAQ

第二季基礎(chǔ)課：https://shimo.im/docs/g3xwJMFi8ZABFglM

第二季專題課：https://shimo.im/docs/nj6m3jQgJ6MJSibp

第三季：https://docs.qq.com/doc/DSWl6UlFzc2h6SXhM

你將學(xué)會

本節(jié)最主要的是問題拆解方法，關(guān)于用到的核心指令如下：

迭代列表 IterationList
序列 Sequence
對稱?Reflect??

先備課程

若你對 Sequence 不熟悉，推薦可看以下視頻

若你對 IterationList??還不熟悉，推薦可看以下視頻

問題拆解

2 入射角與點位置的關(guān)系

問：這個圖形的變數(shù)是什么？常數(shù)是什么？

答：變數(shù)為入射角的角度 inDeg。固定的為起始點 P0。?

# 建立初始圓?

O = (0,0)

Circle(O,1)

P0 = (1,0)

# 建立滑動條

inDeg?=?Slider(0,30,1)

問：入射角為 15 度時，第一個點 P1 的位置在哪？

答：利用圓心角與圓周角的關(guān)系，可得到 P1 的極坐標角度為 180-15x2 。

#?表示入射角與點

inAngle = inDeg/180*pi

P1?=?(1;pi?-?2*inAngle)

#?表示向量、邊與角

v1?=?Vector(P0,P1)

Segment(O,P1)

Angle(O,P1,P0)?

3 利用反射產(chǎn)生點

問：如何描述反射后點P2的位置？

答：利用對稱，P2 為 P0 對直線 OP1 的對稱點。

#?第一個反射點

P2?=?Reflect(P0, Line(O,P1))

v2 = Vector(P1,P2)

#?下一個反射點

P3?=?Reflect(P1, Line(O,P2)

)v3 = Vector(P2,P3)

4?迭代列表

問：如何快速建立多個反射點？

答：利用 IterationList 反復(fù)操作。迭代的方式為 P_2 = Reflect( P_0, line(O,P_1))?。在下式的迭代列表指令中，表示? a=P0, P2=P1，迭代的結(jié)果為 Reflect(a,line(O,b)) , 共迭代 n 次。

問：IterationList 的結(jié)構(gòu)為何？

答：IterationList(迭代指令，迭代變數(shù)，{變數(shù)初始值}，迭代次數(shù))?

n?=?Slider(1,30,1)

Ps?=?IterationList(Reflect(a,line(O,b)),a,b,{P0,P1},n)

5 用序列產(chǎn)生邊列

問：如何建立多邊連線?Vector(Ps(0),Ps(1)),?Vector(Ps(1),Ps(2))?？

答：用序列 Sequence 達成連線、將點列Ps的參數(shù)設(shè)定為 k ，k+1 ，并將 k 設(shè)定范圍從 1 到 k。

Vs?=?Sequence(Vector(Ps(k),Ps(k+1)),k,1,n)

6?數(shù)學(xué)分析

問：如何分析入射角為 10 度的反彈次數(shù)？

答：先觀察 P0， P1 在圓周上的位置。可看到其圓心角度為 160 度。而 P1， P2 的夾角也是如此。經(jīng)過 n 次反射后，相當(dāng)于角度轉(zhuǎn)了 160*k 次。而當(dāng)回到原點時，表示 160*n = 360k。因此，可得到 n 為 9。其計算方式就是 360 除以 160 與 360 的最大公因數(shù)。?

問：??每次點的角度偏移 180-2*inDeg 。是否 Ps 可用 Sequence 來達成呢？

答：對于 Ps 可用 Sequence( (1; k*(180-2*inDeg)),k,1,n) 來達成。

總結(jié)回顧

這節(jié)最想與大家分享的是我在做這題的思路分析。我當(dāng)初看到這題時，我是如何將他轉(zhuǎn)為 GGB 交互課件的。通過分析反射行為后，其實發(fā)覺關(guān)鍵就是一句迭代就可講清楚。通過這次操作我也是體會到數(shù)學(xué)迭代在使用上的方便之處。

對于初學(xué)者而言，我希望可以體會到這題用到 Sequence 與 IterationList 的差異。這其實對應(yīng)到數(shù)學(xué)的通項公式與遞回關(guān)系式。同時鼓勵去參考畢氏螺線的這個課件。這課件也是體現(xiàn) Sequence 與 IterationList 的差異。?