在今年的搞笑諾貝爾獎上，在眾多獲獎研究一片和睦的氛圍中，有這么兩項(xiàng)獎項(xiàng)“懟”上了。

物理學(xué)獎：為什么行人不會碰撞？

動力學(xué)獎：為什么行人會碰撞？

行人：你們禮貌嗎？

行人既不是質(zhì)點(diǎn)也不是什么斜坡上的滑塊，下一步會往哪個(gè)方向走可能行人自己都不知道，又怎么對行人的運(yùn)動進(jìn)行研究？難道研究人員都是心理學(xué)大師？

當(dāng)然沒這么復(fù)雜，早在上世紀(jì)30年代就有科學(xué)家開始了對行人集群運(yùn)動（Pedestrian Collective Motion）的研究，到今天已經(jīng)有專門的一門學(xué)科來研究這一現(xiàn)象——行人動力學(xué)（Pedestrian Dynamics）。

今天小編就帶大家看一下，怎樣利用建模去分析行人的復(fù)雜運(yùn)動。

01

建模的思想，在一只雞中

《生活大爆炸》里有這樣一個(gè)關(guān)于“真空中的球形雞”的笑話：

一個(gè)農(nóng)夫找上了物理學(xué)家，要求物理學(xué)家解決農(nóng)場的雞不下蛋的問題。物理學(xué)家經(jīng)過計(jì)算之后告訴農(nóng)夫，我找到了解決問題的方法，但這個(gè)方法只對在真空中的球形的雞有效。

雖然這個(gè)笑話本意只是吐槽物理學(xué)家，但“球形雞”精神在物理學(xué)研究中有著重要意義：忽略事物一部分微觀特征，將復(fù)雜問題簡化。

高中物理課上學(xué)到第一個(gè)重要概念——質(zhì)點(diǎn)，其實(shí)就是“球形雞”精神的一種應(yīng)用。

02

把行人變成“真空中的球形人”

類似“球形雞”問題，行人有手有腳，形狀不規(guī)則，全身各個(gè)部位有著不同的運(yùn)動方式。為了簡化問題，我們在研究時(shí)，首先要將行人轉(zhuǎn)變成一個(gè)方便研究的“粒子”。

最簡單的簡化，就是假設(shè)行人所在的空間是一個(gè)位于真空中的球。

行人問題只需要研究平面運(yùn)動，球退化為圓。

要研究行人的運(yùn)動，只需要研究這些圓在一定條件下的運(yùn)動情況就可以了。一群人的行為不好模擬，但是一群二維粒子的運(yùn)動模擬屬實(shí)是非常熟悉了，計(jì)算物理中的分子動力學(xué)模擬就是。

當(dāng)然，這種簡化實(shí)在太過簡單，就像“球形雞”那樣忽略了太多的細(xì)節(jié)，模擬結(jié)果可能會與實(shí)際有很大差距。比如各大景區(qū)的一線天，窄的地方現(xiàn)實(shí)中游客可以側(cè)身通過，但在半徑為游客肩寬的球形模擬中游客無法通過。

為了讓模擬結(jié)果更貼合實(shí)際，我們可以根據(jù)研究的主要對象在上述的圓球模型上進(jìn)行修改。例如研究需要考慮行人以自身為軸的轉(zhuǎn)向運(yùn)動，我們就可以將圓修正為套著球形的橢圓，用橢圓的長軸來體現(xiàn)行人的肩寬，短軸方向就是行人的朝向。

除了形狀，在動力學(xué)模擬中，還需要考慮粒子之間相互作用的規(guī)則。這個(gè)規(guī)則來源于行人運(yùn)動規(guī)律的總結(jié)，比如：行人之間總是會保持一個(gè)舒服的距離，并且會盡量避免碰撞。

在兩人離得很近時(shí)，為了保持舒服的距離，行人會自發(fā)遠(yuǎn)離，表現(xiàn)為在一定距離之內(nèi)，行人會受到對方的作用而改變運(yùn)動狀態(tài)，這一距離就是最短作用距離d

在兩人離得很遠(yuǎn)時(shí)，對方從遠(yuǎn)處迎面走來，行人會根據(jù)彼此的橫向距離判斷是否會發(fā)生碰撞，當(dāng)橫向距離小于一定數(shù)值時(shí)，行人就會提前改變自己的運(yùn)動狀態(tài)來避免碰撞，這一數(shù)值就是最短橫向作用距離d。

實(shí)際上，舒服的距離要大于會發(fā)生碰撞的距離，也就是d > d。

在之前的橢圓模型上加上行人的受影響區(qū)域α，如下圖所示：

這樣我們便將一個(gè)不規(guī)則難模擬的行人轉(zhuǎn)變成了一個(gè)簡單的、有著一定受影響區(qū)域的粒子。

03

再加上力

現(xiàn)在我們將模擬對象簡化成了簡單的粒子，那么是什么改變了粒子的運(yùn)動狀態(tài)呢？

Helbing認(rèn)為，行人運(yùn)動狀態(tài)的改變是由于受到外力驅(qū)動而變化，這個(gè)力就是社會力（Social Force），在社會力作用下的行人運(yùn)動模型叫做社會力模型。社會力并不是像什么重力、壓力、彈力那樣真實(shí)存在的力，而是描述導(dǎo)致行人運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生改變的一種作用。社會力模型的基本解析方程為：

其中，為行人所受到的自驅(qū)動力，為行人間的相互作用力，為行人所處環(huán)境中障礙物對行人所施加的作用力，為特殊位置的吸引力，是噪聲項(xiàng)。

在社會力模型中，行人的坐標(biāo)r、時(shí)間t都是連續(xù)的。在給定初始條件之后，通過上述的基本解析方程，就可以模擬出之后任意時(shí)刻的行人運(yùn)動狀態(tài)。

04

行人為什么不會碰撞？

那么回歸最開始的話題，行人之間是怎樣避免碰撞的呢？

Corbetta等人便利用了我們在第二部分和第三部分提到的模型來研究這一問題。

考慮兩行人p、p避免碰撞的事例，（行人密度足夠稀疏可以忽略第三人的作用，）這一事例滿足的動力學(xué)方程組為：

其中，x、y分別為沿著行人前進(jìn)方向和垂直于行人前進(jìn)方向的縱向和橫向坐標(biāo)；u、v分別為縱向和橫向速度；α、β是正的模型參數(shù)；、分別是縱向和橫向的高斯噪聲項(xiàng)；是短程避免碰撞的力，是長程基于視野判斷的力，這兩個(gè)力分別就對應(yīng)了在第二部分提到的兩種相互作用。

這么多參數(shù)小伙伴們可能和小編一樣開始頭疼了。

但是沒有關(guān)系，我們并不需要去真正利用這個(gè)方程組做計(jì)算，我們只需要去理解方程組描述的物理過程就好了。

社會力模型其實(shí)是基于牛頓第二定律對行人運(yùn)動過程進(jìn)行描述，我們所看到的方程其實(shí)只是比牛二律復(fù)雜了億點(diǎn)點(diǎn)。

雖然多了很多參數(shù)，這個(gè)方程組同牛頓第二定律一樣，描述的是行人受到的社會力與行人速度變化的關(guān)系，速度影響的是行人的未來路徑，也就是說，行人通過改變自己未來的路徑來避免碰撞。

下面考慮兩行人A、B在一走廊相向而行的具體情況。

兩個(gè)行人相向而行，從開始移動到并行再到分開的示意圖

（圖片來源：參考資料1）

A、B具有初始橫向間距Δy，當(dāng)兩人肩并肩時(shí)，有并行橫向間距Δy，Δy如果小于兩人肩并肩的寬度，就會發(fā)生碰撞。

不同初始橫向間距對應(yīng)的并行橫向間距關(guān)系如下圖：

不同初始橫向間距對應(yīng)的并行橫向間距

（圖片來源：參考資料1）

其中黑色虛線是數(shù)據(jù)模擬結(jié)果，紅點(diǎn)是從9089例避免碰撞的案例中得到的數(shù)據(jù)，藍(lán)色虛線是在橫向速度為0，即行人沒有避讓動作下的結(jié)果。我們可以看到模擬效果非常好，結(jié)果與實(shí)際十分接近。

當(dāng)初始橫向間距為0時(shí)，并行橫向間距為0.75m；初始橫向間距小于1.4m之后，并行橫向間距大于初始橫向間距。

因此，行人避免碰撞的原理是：當(dāng)兩行人的初始橫向間距小于1.4m時(shí)，行人會通過橫向移動，改變自己的預(yù)期路徑，擴(kuò)大彼此之間的間距，并保證在肩并肩時(shí)，彼此的間距至少為0.75m。

另外，該團(tuán)隊(duì)還統(tǒng)計(jì)并模擬了一些行人相關(guān)的數(shù)據(jù)：行人最喜歡以1.29m/s的速度行動，部分跑動的行人速度常見為2m/s；行人在移動時(shí)會以路中心進(jìn)行橫向的波動，橫向移動速度和距離都呈現(xiàn)高斯分布，峰值均出現(xiàn)在0處。

05

行人為什么會碰撞？

之前提到過，在社會力模型中，在影響行人下一步移動的因素中，決定性因素的是速度，預(yù)判在行人避免碰撞的移動中起了重要作用。

行人通過預(yù)判避免彼此碰撞，自然發(fā)生碰撞便是因?yàn)槠渌蛩貙?dǎo)致了預(yù)判失敗。

Hisashi Murakami等人通過實(shí)驗(yàn)證明了這一點(diǎn)。

Hisashi Murakami等人所做實(shí)驗(yàn)，兩組人相向而行，部分人被要求玩手機(jī)。（圖片來源：參考資料2）

在實(shí)驗(yàn)中，眾多被試分成兩組，相向而行，其中一部分實(shí)驗(yàn)者被要求邊玩手機(jī)邊進(jìn)行移動，實(shí)驗(yàn)者負(fù)責(zé)統(tǒng)計(jì)突然轉(zhuǎn)身（Suddenness of turns）發(fā)生的次數(shù)以及突然程度。

結(jié)果可想而知，玩手機(jī)的人突然轉(zhuǎn)身的次數(shù)和突然程度都要遠(yuǎn)高于其他人。玩手機(jī)這一行為分散了行人的注意力，降低了個(gè)人的預(yù)期能力，導(dǎo)致行人需要在更短的時(shí)間內(nèi)做出變向來避免碰撞。

另外有意思的是，在玩手機(jī)的人對向與周圍的行人突然轉(zhuǎn)身次數(shù)和突然程度也都有所上升，這說明玩手機(jī)不止會降低自己的判斷力，還會影響其他路人的判斷能力。

正所謂行路不規(guī)范，親人兩行淚。各位小伙伴們在走路的時(shí)候還是要專心啊，可千萬別成為別人的研究案例哦~

06

一些拓展

在日常生活中，我們也可以利用“真空中的球形雞”思想去分析一些其他的常見問題。

比如在坐車時(shí)會遇到的，前方明明沒有什么意外事故，卻莫名其妙發(fā)生了堵車，也就是“幽靈堵車”問題。

幽靈堵車（圖片來源：RiAus）

我們可以直接利用社會力模型來對這種現(xiàn)象進(jìn)行分析：汽車行車時(shí)會有一個(gè)安全距離，當(dāng)兩車距離小于安全距離時(shí)，后車就要進(jìn)行減速，表現(xiàn)為前后車輛之間有一個(gè)排斥力。當(dāng)車流量密度很大時(shí)，車輛間距被壓縮到了最小，也就是安全距離；這時(shí)如果前車突然減速，后車被迫要減速到更慢速度來恢復(fù)安全距離，這一減速行為直接導(dǎo)致后后車更大的減速。這樣減速幅度遞增，直到在某輛車之后全部靜止，發(fā)生“幽靈堵車”。

在密集人群，特別是長隊(duì)列中，會出現(xiàn)與“幽靈堵車”類似現(xiàn)象——一部分前進(jìn)而另一部分人靜止的“走停波”?！白咄２ā碑a(chǎn)生的原因與“幽靈堵車”也是一樣的，即密集人群中的減速導(dǎo)致的靜止。

從模擬角度來看，行人與車輛在研究時(shí)都被模擬成了“真空中的球形”，并且受力情況相同，兩者在模型研究中無本質(zhì)區(qū)別，自然也會在相同情況下（密集車輛或人群）產(chǎn)生相類似的現(xiàn)象（“幽靈堵車”與“走停波”）。

在諸如站臺、購票機(jī)以及景區(qū)入口等地方，行人有時(shí)會自發(fā)排成隊(duì)列。

高鐵站排隊(duì)買票（圖片來源：www.huitu.com）

這種自發(fā)排隊(duì)當(dāng)然是因?yàn)榇蠹叶己苤v文明啦！

咳咳，講文明確實(shí)是一方面，我們還可以從另一方面，利用社會力模型來看行人自發(fā)排隊(duì)的原因。

我們知道，當(dāng)粒子受到外力時(shí)，會具有一定的勢能，并且能量越低的結(jié)構(gòu)越穩(wěn)定。

在社會力作用下，我們可以認(rèn)為行人也會有一定的社會勢能，行人自發(fā)排隊(duì)是因?yàn)?，與雜亂無序的分布相比，在隊(duì)列這種有序結(jié)構(gòu)下，人群總的社會勢能更低。能量低的結(jié)構(gòu)相對更加穩(wěn)定，所以人群會自發(fā)排成隊(duì)列，就好像物質(zhì)微粒自發(fā)排列形成穩(wěn)定的晶體結(jié)構(gòu)一樣。

雖然我們沒有更進(jìn)一步地去做動力學(xué)模擬，但通過建模方法對問題進(jìn)行定性分析，我們依然可以嘗試給出問題的答案，對問題有更深入的理解~

（那么如果給考試試卷做一個(gè)建模，是不是就可以直接得到考試答案了？小編妄想ing）

參考資料：

1. Corbetta, A., Meeusen, J. A., Lee, C., Benzi, R., & Toschi, F. (2018). Physics-based modeling and data representation of pairwise interactions among pedestrians. Physical Review E, 98(6), [062310].https://doi.org/10.1103/PhysRevE.98.062310.

2. Murakami H, Feliciani C, Nishiyama Y, Nishinari K. Mutual anticipation can contribute to self-organization in human crowds. Sci Adv. 2021 Mar 17;7(12):eabe7758. doi: 10.1126/sciadv.abe7758. PMID: 33731351; PMCID: PMC7968841.

3. 龔曉嵐,魏中華.行人動力學(xué)的研究進(jìn)展[J].人類工效學(xué),2008(02):68-71+73.

4. 程漢. 行人集群運(yùn)動演化過程中的動力學(xué)機(jī)理研究[D].中國科學(xué)技術(shù)大學(xué),2020.DOI:10.27517/d.cnki.gzkju.2020.000364.

5. Guo Wei, Wang Xiaolu, Xiaoping Zheng. (2015). Lane formation in pedestrian counterflows driven by a potential field considering following and avoidance behaviours. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 432. 10.1016/j.physa.2015.03.020.?
   

編輯：樂子超人