學(xué)習(xí)完幫助我們衡量長期經(jīng)濟(jì)的工具后，我們現(xiàn)在就來到了宏觀經(jīng)濟(jì)中第二個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)——生產(chǎn)函數(shù)（Production Function）。首先，我們要明確的是，生產(chǎn)函數(shù)是量化生產(chǎn)的增值的函數(shù)。其次，生產(chǎn)函數(shù)是表示生產(chǎn)的投入結(jié)合起來以生產(chǎn)產(chǎn)出的函數(shù)，這種關(guān)系類似于下圖：

因此，生產(chǎn)函數(shù)就是一個(gè)基于生產(chǎn)要素的函數(shù)：

這是一個(gè)簡化版的生產(chǎn)函數(shù)，其中Y表示產(chǎn)量（Output），A表示生產(chǎn)技術(shù)（Idea or Technology），K代表物質(zhì)資本（Capital），L代表勞動(dòng)量（Labor）。在下文，我們將，也就是生產(chǎn)技術(shù)固定，看作常量。因?yàn)樯a(chǎn)技術(shù)是生產(chǎn)函數(shù)的外生因素，它每時(shí)每刻都在變化。因此在一開始的學(xué)習(xí)中，我們先假設(shè)是我們已知的參數(shù)，方便我們深入學(xué)習(xí)。所以在這一部分，我們只討論K和L的變化。對于之后的經(jīng)濟(jì)模型學(xué)習(xí)，我們將會(huì)使用柯布—道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)(Cobb-Douglas Production Function)。這種生產(chǎn)函數(shù)認(rèn)為:

接下來，就讓我們看看幾個(gè)重要的生產(chǎn)函數(shù)的性質(zhì)。

邊際產(chǎn)量

邊際產(chǎn)量（Marginal Product）的定義是，在其他條件相同的情況下，增加一單位的生產(chǎn)因素所增加的產(chǎn)出。所以，在柯布—道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)中，我們就有兩個(gè)邊際產(chǎn)量：勞動(dòng)邊際產(chǎn)量(Marginal Product of Labor MPL)和資本邊際產(chǎn)量(Marginal Product of Capital MPK)。拿MPL來舉例，我們假設(shè)

那么，生產(chǎn)函數(shù)就變成了

因此，我們可以根據(jù)這張圖來具體量化生產(chǎn)函數(shù):

我們可以發(fā)現(xiàn)，L=1的時(shí)候，MPL=1-0=1；L=2時(shí)，MPL=1.59-1=0.59; L=3時(shí)，MPL=2.08-1.59=0.49; L=4時(shí)，MPL=2.52-2.08=0.44。而且這條曲線的也是逐漸手收斂的。因此，這就引出了第二個(gè)重要性質(zhì)——邊際產(chǎn)量遞減。

邊際產(chǎn)量遞減

邊際產(chǎn)量遞減（Diminishing Marginal Product）的定義是在其他條件相同的情況下，增加一單位的生產(chǎn)因素所增加的產(chǎn)出是不斷減少的。針對資本和勞動(dòng)量這兩個(gè)變量，如果我們假設(shè)他們的每日增量任意小，那么這種假設(shè)和他們的生產(chǎn)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是一致的。因?yàn)檫呺H產(chǎn)量每增加一單位的生產(chǎn)因素所增加的產(chǎn)出，所以我們可以理解為邊際產(chǎn)量相當(dāng)于生產(chǎn)因素的變化率，因此邊際產(chǎn)量就是這種生產(chǎn)因素在生產(chǎn)函數(shù)上的導(dǎo)數(shù)。所以，

從這兩個(gè)公式我們也可以看出來，MPL依賴于資本，MPK也依賴于勞動(dòng)量，同時(shí)他們都是正相關(guān)的關(guān)系。如果我們增加一單位的生產(chǎn)因素，我們會(huì)讓另一種生產(chǎn)因素的邊際產(chǎn)量增加。讓我們舉一個(gè)簡單的例子，假設(shè)大橋君的豆沙面包店里有大橋君和阿陳兩位工人和一個(gè)烤箱。每次大橋君在做完面包之后需要等阿陳的面包烤好了之后才能考自己的面包。假設(shè)現(xiàn)在大橋君又買了一個(gè)烤箱，增加了資本K。這下兩個(gè)人就可以人手一個(gè)烤箱，勞動(dòng)量的邊際產(chǎn)量就成了之前的一倍。