對于數(shù)據(jù)分析小白來講，如何才能在數(shù)學建模比賽中通過短期學習沖刺獎項？其實只需要掌握一些常用模型典型算法，并且會用軟件快速完成即可。數(shù)學建模常用模型大概可以分為以下四大類：分別是評價模型、預測模型、優(yōu)化模型、數(shù)理統(tǒng)計模型。接下來將進行詳細說明。

一、數(shù)學建模常用模型分類

• 評價模型（Evaluation Model）

評價模型用于對某個系統(tǒng)、方案或決策進行評估。通過構建合適的指標和評價方法，評價模型能夠對不同方案的優(yōu)劣進行比較和分析。在數(shù)學建模比賽中，評價模型通常根據(jù)問題的特點和需求，設計合適的評價標準和指標，對不同方案或模型的性能進行評估和比較，以幫助做出決策。

• 預測模型（Prediction Model）

預測模型能夠根據(jù)過去的數(shù)據(jù)和觀察結果，對未來的趨勢、行為或結果進行預測和推斷。預測模型常用于分析時間序列數(shù)據(jù)、趨勢預測、行為模式預測等問題。在數(shù)學建模比賽中，預測模型可以根據(jù)給定的數(shù)據(jù)集或者特定規(guī)律，構建合適的數(shù)學模型，進行未來趨勢預測，從而幫助做出決策或規(guī)劃。

• 優(yōu)化模型（Optimization Model）

優(yōu)化模型旨在找到使某個目標函數(shù)取得最大或最小值的最優(yōu)解。優(yōu)化模型適用于求解最佳決策、資源分配、排產(chǎn)安排等問題。在數(shù)學建模比賽中，優(yōu)化模型可以通過建立數(shù)學規(guī)劃模型，確定決策變量、約束條件和目標函數(shù)，利用求解方法尋找最優(yōu)解或次優(yōu)解，以優(yōu)化問題的方案或決策。

• 數(shù)理統(tǒng)計模型（Statistical Model）

數(shù)理統(tǒng)計模型用于對數(shù)據(jù)進行分析、總結和推斷。它能夠通過建立概率模型和統(tǒng)計分布，對數(shù)據(jù)的特征、關系和不確定性進行描述和推斷。在數(shù)學建模比賽中，數(shù)理統(tǒng)計模型可以通過對給定數(shù)據(jù)集的統(tǒng)計分析，推斷出數(shù)據(jù)的分布規(guī)律、相關性、假設檢驗等，為問題提供支持和解決方案。

評價類、預測類、數(shù)理統(tǒng)計類模型常用算法如下：

接下來，將逐個模型進行說明。

二、評價模型

1、層次分析法

AHP層次分析法是一種解決多目標復雜問題的定性和定量相結合進行計算決策權重的研究方法。它通過構建層次結構，將復雜的決策問題分解成多個層次，并使用專家判斷和比較來確定各個因素的權重，從而得出最終決策結果。比較有效地應用于那些難以用定量方法解決的課題。
AHP層次分析法包括兩個步驟，分別是權重計算和一致性檢驗（SPSSAU會默認輸出）；

• SPSSAU軟件操作：

AHP層次分析法的數(shù)據(jù)格式比較特殊，需要手工錄入判斷矩陣，如下圖：

判斷矩陣解讀：門票相對于景色來講，重要性更高，所以為3分；相反，景色相對于門票來講，則為0.33333分。交通相對于景色來更重要為2分，其余類似下去。

2、TOPSIS法

TOPSIS法是一種基于距離和相似性度量的多屬性決策方法。TOPSIS法首先將多個備選方案與理想解進行比較，計算每個備選方案與理想解之間的相似性和距離。然后根據(jù)計算結果，評估和排序各個備選方案，選擇最佳的方案。TOPSIS法能夠較好地處理多屬性決策問題，特別適用于需要考慮多個評價指標的情況。

• TOPSIS法分析步驟：

第一步：準備好數(shù)據(jù)，并且進行同趨勢化處理（需要研究者自行處理）；

第二步：數(shù)據(jù)歸一化處理解決量綱問題（數(shù)據(jù)處理->生成變量，通常選擇‘平方和歸一化’）；

第三步：找出最優(yōu)和最劣矩陣向量（SPSSAU自動處理）；

第四步：分別計算評價對象與正理想解距離D+或負理想解距離D-；

第五步：結合距離值計算得出接近程序C值，并且進行排序，得出結論。

• SPSSAU軟件操作

上傳數(shù)據(jù)至SPSSAU系統(tǒng)，分析頁面右側選擇【TOPSIS法】；將變量拖拽到右側分析框中；點擊“開始分析”，操作如下圖：

3、模糊綜合評價

模糊綜合評價是一種處理具有模糊信息的評價方法。在模糊綜合評價中，將模糊的評價指標通過隸屬度函數(shù)轉化為隸屬度，然后根據(jù)權重給予不同指標不同的重要性。最后，通過對隸屬度進行加權求和，得到一個綜合評價結果。模糊綜合評價方法能夠有效處理不確定性和模糊性的問題，適用于現(xiàn)實世界中的復雜決策。

• 模糊綜合評價分析步驟

第一步：確定評價指標和評語集；

第二步：確定權重向量矩陣A和構造權重判斷矩陣R；

第三步：計算權重并進行決策評價。

• SPSSAU軟件操作

上傳數(shù)據(jù)至SPSSAU系統(tǒng)，分析頁面右側選擇【模糊綜合評價】，將變量拖拽到右側相應的分析框中，點擊“開始分析”，操作圖下圖：

4、灰色關聯(lián)法

灰色關聯(lián)分析法通過研究數(shù)據(jù)關聯(lián)性大小（母序列與特征序列之間的關聯(lián)程度），通過關聯(lián)度（即關聯(lián)性大?。┻M行度量數(shù)據(jù)之間的關聯(lián)程度，從而輔助決策的一種研究方法。

• 灰色關聯(lián)法分析步驟：

第一步：確定母序列和特征序列，且準備好數(shù)據(jù)格式；

第二步：針對數(shù)據(jù)進行無量綱化處理（通常情況下需要）；

第三步：求解母序列和特征序列之間的灰色關聯(lián)系數(shù)值；

第四步：求解關聯(lián)度值；第五步：對關聯(lián)度值進行排序，得出結論。

• SPSSAU軟件操作

將數(shù)據(jù)上傳至SPSSAU系統(tǒng)，分析頁面右側選擇【灰色關聯(lián)法】；將變量拖拽到右側相應分析框中，選擇“量綱化方式”，點擊“開始分析”，操作如下圖：

5、數(shù)據(jù)包絡分析DEA

數(shù)據(jù)包絡分析DEA是一種多指標投入和產(chǎn)出評價的研究方法。其應用數(shù)學規(guī)劃模型計算比較決策單元（DMU）之間的相對效率，對評價對象做出評價。
數(shù)據(jù)包絡分析DEA時，首先需要分析綜合效益值θ，即首先判斷DMU是否有DEA有效，如果有效，則說明該DMU較優(yōu)，反之說明‘非DEA有效’，即相對來說還有提升空間，那么提升空間具體在哪里呢，比如提高還是減少規(guī)模呢，可以通過規(guī)模效益分析得到。與此同時，如果是‘非DEA有效’，那么具體問題是什么，投入冗余還是產(chǎn)出不足，則可以通過對應的投入冗余 或產(chǎn)出不足分析表格得出，具體數(shù)字直接查看松馳變量即可。

• SPSSAU軟件操作

將數(shù)據(jù)上傳至SPSSAU系統(tǒng)，分析頁面右側選擇【DEA】，將變量拖拽到右側相應分析框中，選擇“DEA類型”，點擊“開始分析”，操作如下圖：

6、秩和比RSR

秩和比(RSR)方法是一種基于排序的模型比較方法。其實質原理是利用了RSR值信息進行各項數(shù)學計算，RSR值介于0~1之間且連續(xù)，通常情況下，該值越大說明評價越‘優(yōu)’。

• 秩和比分析步驟

第一步：列出原始數(shù)據(jù)，一行代表一個評價對象，一列代表一個評價指標。最終為m*n矩陣；

第二步：對m*n矩陣即原始數(shù)據(jù)進行計算秩值；

第三步：利用Step2的秩值，計算得到RSR值和RSR值排名；

第四步：列出RSR的分布表格情況并且得到Probit值；

第五步：計算回歸方程；

第六步：進行排序，并且進行分檔等級。

• SPSSAU軟件操作

上傳數(shù)據(jù)至SPSSAU系統(tǒng)，分析頁面右側選擇【秩和比】，將變量拖拽到右側相應分析框中，選擇“編制方法”、“檔次數(shù)量”，點擊“開始分析”，操作如下圖：

三、預測模型

數(shù)學建模預測類模型通常用來根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)和已知信息，進行未來事件、趨勢或結果的預測和預估。這些模型通過分析歷史數(shù)據(jù)、尋找規(guī)律和趨勢，并由此推斷未來的發(fā)展趨勢和可能的結果?？梢詭椭藗冏龀龊侠砼袛?、做出準確決策提供參考依據(jù)。

• 預測類分析方法在以往的公眾號內容已經(jīng)梳理過，感興趣的同學可以查看。

補充：組合預測法是一種將不同的預測模型或方法結合起來，以提高預測準確度和穩(wěn)定性的方法。優(yōu)勢在于能夠利用不同模型的長處，減少個別模型的局限性和不確定性帶來的影響，提高預測的準確性和穩(wěn)定性。常見的組合預測法有平均法、加權平均法、逐步加權法、組合模型法等。

四、數(shù)理統(tǒng)計模型

1、聚類分析

聚類分析方法可分為Q型和R型，如下圖：

有關4種聚類分析算法相關知識，往期內容已經(jīng)做過總結，感興趣的同學可以自行查看。

2、主成分分析

主成分分析（PCA）是一種常用的數(shù)據(jù)降維和特征提取方法，它可以將具有相關性的多個變量轉換為少數(shù)幾個無關的主成分。這樣可以簡化復雜的數(shù)據(jù)結構，減少冗余信息，提高模型預測精度和解釋能力，在數(shù)學建模中具有廣泛的應用。

• 主成分分析步驟：

第一步：判斷是否適合進行主成分分析；

第二步：主成分與分析項對應關系；

第三步：主成分命名.

• SPSSAU軟件操作：
  
  

將數(shù)據(jù)上傳至SPSSAU系統(tǒng)，分析頁面右側選擇【主成分】；變量拖拽到右側分析框中；選擇“主成分個數(shù)”；根據(jù)分析目的選擇勾選“成分得分”或“綜合得分”；點擊“開始分析”。

3、因子分析

因子分析和主成分分析都是常用的數(shù)據(jù)降維方法，但它們的應用場景略有不同。主成分分析適合于變量之間相關性較高、需要提取重要變量或簡化數(shù)據(jù)結構的情況；而因子分析適合于探索潛在因素、發(fā)現(xiàn)變量之間的共性或隱含關系的情況。選擇哪種方法取決于具體的分析目的和數(shù)據(jù)特征。

4、判別分析

判別分析(distinguish analysis)是一種機器學習算法，其用于在分類確定前提下，根據(jù)數(shù)據(jù)的特征研究數(shù)據(jù)歸類問題。比如結合消費者的特征數(shù)據(jù)（比如消費金額、消費頻次、購物時長、購買產(chǎn)品種類等），以預測消費者屬于某種類型的顧客（款式偏好型、質量在乎型、價格敏感型等）。

• SPSSAU軟件操作

上傳數(shù)據(jù)至SPSSAU系統(tǒng)，分析頁面右側選擇【判別分析】；將變量拖拽到右側相應分享框；選擇“訓練集:測試集”比例；點擊“開始分析”，操作如下圖：

5、相關分析

相關分析用于分析變量之間的相關關系，包括是否有關系以及關系的緊密程度。在數(shù)學建模中，相關分析可用于衡量變量的關聯(lián)性、選擇變量、驗證假設和推斷、變量優(yōu)化等。SPSSAU提供三類相關系數(shù)：Pearson系數(shù)、Spearman系數(shù)、Kendall協(xié)調系數(shù)。

• 三類相關系數(shù)及使用場景：

• 相關分析步驟：

第一步：首先判斷是否有關系(有*號則表示有關系,否則表示無關系)；

第二步：判斷關系為正相關或者負相關(相關系數(shù)大于0為正相關,反之為負相關)；

第三步：判斷關系緊密程度(通常相關系數(shù)大于0.4則表示關系緊密)。

• SPSSAU軟件操作
  

將數(shù)據(jù)上傳至SPSSAU系統(tǒng)，分析頁面右側選擇【相關】；將變量拖拽到右側分析框中（可自由拖拽分析項進入分析列表框，區(qū)別僅在于輸出格式不同）；選擇“相關系數(shù)”；點擊“開始分析”，操作如下圖：

6、回歸分析

回歸分析簡單來講就是用于分析自變量X與因變量Y之間的影響關系的方法?；貧w分析主要基于自變量X的值預測因變量Y的值，通過構造回歸模型，幫助理解自變量如何影響因變量，以及各個自變量對因變量的影響程度。
回歸分析可細分為20多種，常用的有多元線性回歸、logistic回歸、嶺回歸、逐步回歸、lasso回歸等。

關于回歸分析往期公眾號內容進行過詳細說明，感興趣的同學可自行查看

7、假設檢驗模型

數(shù)學建模中常用的假設檢驗模型包括t檢驗、方差分析、卡方檢驗、非參數(shù)檢驗等，它們可以用于判斷樣本和總體之間是否存在顯著差異，以及變量之間是否存在相關性或影響關系。這些模型可以幫助我們驗證研究假設，評估數(shù)據(jù)的可靠性和有效性，并幫助我們作出科學嚴謹?shù)慕Y論和決策。

使用SPSSAU進行數(shù)學建模競賽可大大提高分析效率，對于第一次參加數(shù)學建模競賽的小白，想要短期沖刺獎項也是非常不錯的選擇，感興趣的同學可以試試看吧。