從洗衣服引出自然常數(shù)e

2021-07-17 16:26 作者:中華最菜蒟蒻OIer 0人讀過(guò) | 我要投稿

最近在這個(gè)視頻的評(píng)論區(qū)里作死立下flag，結(jié)果就出現(xiàn)了如下的慘劇……

為此我已經(jīng)用英文讀了1000位自然常數(shù)e（視頻鏈接），并且，我真的再也不敢亂立flag了……希望各位觀眾老爺能可憐可憐孩子，不要再點(diǎn)贊了……

下面，正文開(kāi)始。

本文標(biāo)題是“從洗衣服引出自然常數(shù)e”，也許你會(huì)覺(jué)得，e和洗衣服怎么可能會(huì)有關(guān)系呢？e被稱為自然常數(shù)，它不過(guò)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)而已。

但其實(shí)，e和生活中許許多多的自然現(xiàn)象都息息相關(guān)，從很多話題都可以扯到e上。今天，我們就從洗衣服聊到自然常數(shù)e。

為了將洗衣服這一生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們先對(duì)其進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。

假設(shè)我們有水和一些洗滌劑。那么我們把衣服放在水中，加入洗滌劑并充分浸泡、揉搓，使衣服上的污物均勻的溶解（懸?。┰谒小，F(xiàn)在把衣服擰干，衣服上必然還殘留一些水。設(shè)衣服上殘存污物（此時(shí)洗滌劑也算污物） $m_0$ 克、殘存水 $w$ 克，并且還剩 $a$ 斤清水（用來(lái)把衣服投干凈）。

現(xiàn)在，怎樣合理分配這 $a$ 斤水才能使衣服洗得更干凈呢？

假設(shè)把 $a$ 斤水分成 $n$ 次使用，第 $i$ 次使用 $a_i$ 斤水，經(jīng)過(guò) $n$ 次清洗，衣服上還剩多少污物？

第一次清洗，把帶有 $m_0$ 斤污物和 $w$ 斤水的衣服放到 $a_1$ 斤水中清洗。經(jīng)過(guò)揉搓， $m_0$ 克污物均勻的溶解（懸?。┰?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cleft(w%2Ba_1%5Cright)" alt="%5Cleft(w%2Ba_1%5Cright)">斤水中。把污水倒掉，此時(shí)衣服上殘存的水仍然是 $w$ 斤（因?yàn)橐路夏軞埓娴乃湍敲炊?，不?huì)變化），但還殘留多少污物呢？假設(shè)現(xiàn)在還殘存 $m_1$ 克污物，由于這些污物均勻的溶解（懸?。┯?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cleft(w%2Ba_1%5Cright)" alt="%5Cleft(w%2Ba_1%5Cright)">斤水中，所以有 $%5Cfrac%7Bm_1%7D%7Bm_0%7D%3D%5Cfrac%7Bw%7D%7Bw%2Ba_1%7D%5C%5C%0Am_1%3Dm_0%5Ctimes%5Cfrac%7Bw%7D%7Bw%2Ba_1%7D%3D%5Cfrac%7Bm_0%7D%7B%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7Ba_1%7D%7Bw%7D%5Cright)%7D$

第 $i$ 次清洗也與之類似，因此有

$m_i%3D%5Cfrac%7Bm_%7Bi-1%7D%7D%7B%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7Ba_i%7D%7Bw%7D%5Cright)%7D$

所以，在第 $n$ 次清洗后，衣服上殘存的污物 $m_n%0A%20%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7Bm_0%7D%7B%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7Ba_1%7D%7Bw%7D%5Cright)%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7Ba_2%7D%7Bw%7D%5Cright)%5Ccdots%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7Ba_n%7D%7Bw%7D%5Cright)%7D%5Ccdots%5Ccdots(1)$

公式(1)便是我們對(duì)洗衣服這一生活問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模。

現(xiàn)在，我們要討論的問(wèn)題是：

(1) 當(dāng)n一定時(shí)，如何分配每一次清洗時(shí)的 $a_i$ 才能使 $m_n$ 最小？

(2) 當(dāng)n增大時(shí)， $m_n$ 的最小值如何變化？

下面我們依次討論這兩個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。

(1) 當(dāng)n一定時(shí)，如何分配每一次清洗時(shí)的 $a_i$ 才能使 $m_n$ 最??？

由公式(1)可以看出，要使 $m_n$ 最小，只需使分母 $%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7Ba_1%7D%7Bw%7D%5Cright)%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7Ba_2%7D%7Bw%7D%5Cright)%5Ccdots%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7Ba_n%7D%7Bw%7D%5Cright)$ 最大即可，并且 $a_1%2Ba_2%2B%5Ccdots%2Ba_n%3Da$ 。

可以發(fā)現(xiàn)，這 $n$ 個(gè)因式的和是一定的，為 $n%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bw%7D$ 。因此根據(jù)均值不等式 $%5Csqrt%5Bn%5D%7Bc_1c_2%5Ccdots%20c_n%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%5Cleft(c_1%2Bc_2%2B%5Ccdots%2Bc_n%5Cright)$ ，

當(dāng)這個(gè)式子的 $n$ 個(gè)因式相等時(shí)乘積最大。也就是說(shuō)，

當(dāng) $a_1%3Da_2%3D%5Ccdots%3Da_n%3D%5Cfrac%7Ba%7D%7Bn%7D$ 時(shí)，這個(gè)式子最大，為 $%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bnw%7D%5Cright)%5En$ 。此時(shí)

$m_n%3D%5Cfrac%7Bm_0%7D%7B%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bnw%7D%5Cright)%5En%7D$ 。

(2) 當(dāng)n增大時(shí)， $m_n$ 的最小值如何變化？

假設(shè)我們把水分成 $n%2B1$ 份，

此時(shí)分子仍然是 $m_0$ 不變，因此只需要討論分母，并且分母越大則分?jǐn)?shù)越小。

而此時(shí)分母變成 $%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7B(n%2B1)w%7D%5Cright)%5E%7Bn%2B1%7D$

構(gòu)造 $c_1%3Dc_2%3D%5Ccdots%3Dc_n%3D1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bnw%7D%EF%BC%8Cc_%7Bn%2B1%7D%3D1$ ，根據(jù)均值不等式，兩邊同時(shí)取 $n%2B1$ 次方，可得

$%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bnw%7D%5Cright)%5En%5Ctimes1%3C%5Cleft(%5Cfrac%7Bn%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bnw%7D%5Cright)%2B1%7D%7Bn%2B1%7D%5Cright)%5E%7Bn%2B1%7D%3D%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7B(n%2B1)w%7D%5Cright)%5E%7Bn%2B1%7D$

注意：之所以取了小于而不是小于等于，是因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=c_1%2Cc_2%2C%5Ccdots%2Cc_%7Bn%2B1%7D" alt="c_1%2Cc_2%2C%5Ccdots%2Cc_%7Bn%2B1%7D">并不全都相等，所以不可能取到等號(hào)。

可見(jiàn)，把水分成 $n%2B1$ 份時(shí)分母更大，即當(dāng) $n$ 增大時(shí)， $m_n$ 的最小值減小。也就是說(shuō)，把水分成 $n%2B1$ 份來(lái)洗衣服，比分成 $n$ 份要好。

既然如此，在清水量一定的情況下，是不是只要洗的次數(shù)足夠多，就可以使殘留的污物無(wú)限接近于0（也就是洗的絕對(duì)干凈）呢？也就是說(shuō)，當(dāng) $n$ 增大時(shí)， $%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bnw%7D%5Cright)%5En$ 是否會(huì)無(wú)限增大？

答案是不會(huì)的。

構(gòu)造 $c_1%3Dc_2%3D%5Ccdots%3Dc_n%3D2%2B%5Cfrac%7B2%7D%7Bn%7D%EF%BC%8Cc_%7Bn%2B1%7D%3Dc_%7Bn%2B2%7D%3D1$ ，根據(jù)均值不等式可得 $%5Cleft(2%2B%5Cfrac%7B2%7D%7Bn%7D%5Cright)%5En%3D2%5En%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%5Cright)%5En%3C%5Cleft(%5Cfrac%7Bn*%5Cleft(2%2B%5Cfrac%7B2%7D%7Bn%7D%5Cright)%2B2%7D%7Bn%2B2%7D%5Cright)%5E%7Bn%2B2%7D%3D2%5E%7Bn%2B2%7D$

因此有 $%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%5Cright)%5En%3C4$ 。

當(dāng) $n$ 接近于無(wú)窮大時(shí)，總可以構(gòu)造 $k$ 使得 $%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%2B1%7D%5Cleq%5Cfrac%7Ba%7D%7Bnw%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D$ 。此時(shí)有 $k%5Cfrac%7Ba%7D%7Bw%7D%5Cleq%20n%5Cleq(k%2B1)%5Cfrac%7Ba%7D%7Bw%7D$ 。

從而得到

$%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bnw%7D%5Cright)%5En%5Cleq%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%5Cright)%5En%5Cleq%5Cleft(%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%5Cright)%5E%7Bk%2B1%7D%5Cright)%5E%7B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bw%7D%7D%5Cleq%5Cleft(4%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%5Cright)%5Cright)%5E%5Cfrac%7Ba%7D%7Bw%7D%5Cleq8%5E%5Cfrac%7Ba%7D%7Bw%7D$