編者按

本文是有些哲學(xué)意味的科普文章, 后來被收入《交換代數(shù)與同調(diào)代數(shù)》[第二版，李克正著， 科學(xué)出版社 (2017)]作為一個附錄。

近來出現(xiàn)了不少關(guān)于同調(diào)代數(shù)或范疇論的科普文章, 這有助于公眾了解較深刻的數(shù)學(xué), 拓寬對于數(shù)學(xué)的眼界，是很有積極意義的。不過其中有些文章從“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的眼光講范疇論, 或者只講范疇的抽象性, 未免有失偏頗，甚至可能對公眾造成誤導(dǎo)。

自 19 世紀(jì)后期開始, 很多數(shù)學(xué)家致力于將整個數(shù)學(xué)建立在集合論的基礎(chǔ)之上, 這看上去很美妙, 直到今天也還有人沒有放棄這樣的努力。但早年的集合概念是“樸素直觀”, 卻有根本性的漏洞。一般人覺得集合不需要定義直接接受就可以, 但 1902 年羅素給出的“集合論悖論”擊潰了這個信念, 使數(shù)學(xué)家不得不建立集合的公理體系。從哲學(xué)上說, 一旦建立起集合的公理體系, 集合論就不可能作為整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)了。而 1930 年代哥德爾的工作, 更是使數(shù)學(xué)界認(rèn)識到，任何建立整個數(shù)學(xué)的“基礎(chǔ)”的企圖都是愚蠢的。

不過迄今為止大多數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)科是建立在集合論基礎(chǔ)之上的。比集合更一般的概念是范疇, 但如上所說, 即使范疇論也不能作為整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

范疇是比集合更深的概念, 很多人只看到范疇比集合更抽象, 然而范疇是有結(jié)構(gòu)的, 這種結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)源自拓?fù)鋵W(xué)。同調(diào)代數(shù)中的一些非常抽象的概念, 本是為了解決具體問題的, 而其最主要的價值也正是在于解決具體問題。只看到范疇等概念的抽象性, 類似于“買櫝還珠”。

本文力求通過對于分割與粘合, 局部與整體, 連續(xù)變形, 自然性等直觀在數(shù)學(xué)中的科學(xué)刻畫和精準(zhǔn)處理, 解釋同調(diào)代數(shù)的產(chǎn)生背景、所解決的具體問題以及其對于數(shù)學(xué)整體發(fā)展所起的作用。

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撰文 | 李克正（首都師范大學(xué)特聘教授）

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引言

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20世紀(jì)的數(shù)學(xué)與此前的數(shù)學(xué)相比，最顯著的特點(diǎn)就是整體性。粗糙地說，20世紀(jì)前的數(shù)學(xué)都是“局部的”數(shù)學(xué)，即使涉及整體的研究對象（如射影空間），也是采用局部的研究方法。研究整體性的根本方法是從拓?fù)鋵W(xué)的建立開始的。而關(guān)于整體結(jié)構(gòu)的研究，是在此前關(guān)于局部結(jié)構(gòu)的研究已經(jīng)相當(dāng)成熟的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。

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同調(diào)代數(shù)源自拓?fù)鋵W(xué)。最初同調(diào)的定義可以說是組合式的，后來發(fā)現(xiàn)同調(diào)還可以用其他方式定義，進(jìn)而在其他領(lǐng)域（如微分幾何）用相應(yīng)領(lǐng)域的方法建立同調(diào)，就可以將同調(diào)解釋為其他領(lǐng)域的不變量。這樣同調(diào)的方法就逐漸滲透到很多其他學(xué)科，包括微分幾何、代數(shù)、復(fù)分析與復(fù)幾何、李群與李代數(shù)、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、表示論等，從而產(chǎn)生了很多種同調(diào)論，使同調(diào)成為數(shù)學(xué)中的一個重要工具。而這些互不相同的同調(diào)論又可以從統(tǒng)一的哲學(xué)觀點(diǎn)去理解，這就產(chǎn)生了同調(diào)代數(shù)。在很多發(fā)展方向，同調(diào)的表現(xiàn)形式、相關(guān)結(jié)果和應(yīng)用等離開拓?fù)鋵W(xué)已經(jīng)如此遙遠(yuǎn)，以至許多數(shù)學(xué)研究者在應(yīng)用同調(diào)代數(shù)時，竟很難看到自己所采用的方法與拓?fù)鋵W(xué)中的原始思想之間的聯(lián)系。

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本文希望通過對同調(diào)代數(shù)的起源和發(fā)展的觀察，特別是從數(shù)學(xué)角度的理解，說明盡管現(xiàn)代同調(diào)代數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域相互間相差甚遠(yuǎn)，應(yīng)用形式千變?nèi)f化，仍可以從其中的基本概念和方法追溯到拓?fù)鋵W(xué)的原始思想。這些思想在今天應(yīng)該說是數(shù)學(xué)中的（而不僅是某些數(shù)學(xué)分支中的）極為重要、基本而深刻的思想。

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同調(diào)的起源

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我們先來看看整體性和局部性的區(qū)別。

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一個典型的例子是曲面的結(jié)構(gòu)。例如球面和環(huán)面（圖1）的局部結(jié)構(gòu)是一樣的，如果在球面或環(huán)面上取一小塊（如圖1中的小圓片），它們的結(jié)構(gòu)都等價于平面上的一小塊；但球面和環(huán)面的整體結(jié)構(gòu)是截然不同的，如果將球面想象為橡皮，可以隨意拉伸變形，甚至還可以剪開翻個身再按原縫粘回去，那么不管怎樣做這樣的“拓?fù)渥儞Q”，也還是不能把球面變成環(huán)面。用拓?fù)鋵W(xué)的術(shù)語說，就是球面與環(huán)面不“同胚”。由此可見，即使完全了解了局部結(jié)構(gòu)，仍然可能對整體結(jié)構(gòu)毫無所知。

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那么，怎樣才能說明球面與環(huán)面不同胚呢？應(yīng)該說這是一個困難的問題。如同數(shù)學(xué)中的很多難題（如羅巴切夫斯基幾何不矛盾；五次以上的代數(shù)方程沒有一般的解法；連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能證明；方程

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沒有全非零的整數(shù)解；用圓規(guī)和直尺不能三等分任意角，等等）一樣，我們不能將球面變?yōu)榄h(huán)面，并不是因為我們不夠聰明，即使再聰明的人，也還是辦不到。要說明這一點(diǎn)，一個基本的想法就是尋找“拓?fù)洳蛔兞俊?，就是找一種量，它在拓?fù)渥儞Q下不變。對于球面和環(huán)面，可以取它們的“虧格”，就是“洞”的個數(shù)：環(huán)面有1個洞，即虧格為1，而球面的虧格為0，由于虧格是拓?fù)洳蛔兞?，這就說明球面與環(huán)面不同胚。

圖1

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用這樣的方法就將（拓?fù)湟饬x下的）曲面轉(zhuǎn)化為若干個三角形相互“粘合”所得的圖形，稱為“復(fù)形”（而三角形則稱為單形），這樣就將曲面的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的研究轉(zhuǎn)化為復(fù)形結(jié)構(gòu)的研究。

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2

奇異同調(diào)和同倫

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注意這里給出了一個并不簡單的組合事實(shí)。

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復(fù)形、同調(diào)和同倫的概念，后來都被推廣到很多其他學(xué)科中。

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3

覆蓋和預(yù)層

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上同調(diào)及其推廣

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同調(diào)代數(shù)的產(chǎn)生

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同調(diào)代數(shù)約形成于 1940 年代中期，現(xiàn)在我們所能查到的最早文獻(xiàn)是 S. Eilenberg 和 S. MacLane的幾篇奠基性的論文（見[3], [4], [5]）。我們來簡略地看一下當(dāng)時和后來建立的基本概念和方法。

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當(dāng)然，同調(diào)代數(shù)的一個最重要的作用是將同調(diào)的概念和方法建立在一個一般的框架上。一類重要的情形是“阿貝爾范疇”，它是阿貝爾群、模等范疇的推廣，典型的例子有拓?fù)淇臻g上的阿貝爾群層范疇等。盡管同調(diào)理論不一定要建立在阿貝爾范疇上，迄今為止大部分同調(diào)理論都是建立在阿貝爾范疇上的。對于阿貝爾范疇，我們通常通過投射或內(nèi)射預(yù)解來建立同調(diào)。

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拓?fù)鋵W(xué)中的同調(diào)論的很多概念和方法都可以推廣到很一般的情形，例如短正合列誘導(dǎo)的長正合列，屈內(nèi)特公式，邁耶-菲托里斯序列，同倫，譜序列等（參看[14, XIII]）。

不像解析函數(shù)那樣可能只在一個有界的開集上有定義。因此這樣的函數(shù)環(huán)的結(jié)構(gòu)仍可能很復(fù)雜，具有某種整體特征。一個進(jìn)一步“局部化”的方法是形式完備化, 即取所有的形式冪級數(shù)，這包括了所有的解析函數(shù)，但很多形式冪級數(shù)不是解析函數(shù)，沒有解析函數(shù)那樣好的性質(zhì)，而這樣得到的函數(shù)環(huán)的結(jié)構(gòu)比解析函數(shù)環(huán)還要簡單，可能更適合作為粘合的基本“磚塊”。

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我們在下一節(jié)還將看到在更廣范圍的“局部”概念及其意義。

理解了“局部”，就不難理解同調(diào)是處理局部和整體的關(guān)系的工具，在哲學(xué)上我們?nèi)匀豢梢哉J(rèn)為整體是由局部“粘合”起來的，而粘合自然應(yīng)該具有“組合特點(diǎn)”。這一點(diǎn)我們在下一節(jié)還會從其他角度看到。

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一般地可以將零調(diào)對象理解為具有某種“局部性”，所以取零調(diào)預(yù)解就可以看作將整體“拆開”成為“磚塊”（局部）。

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函子之間的映射“就是自然變換”，我們在前面已看到，如果用預(yù)層來決定拓?fù)淞餍危瑒t拓?fù)淞餍伍g的開嵌入就等價于相應(yīng)的預(yù)層之間的自然變換，這這一原理同樣可以推廣到很多領(lǐng)域，一般也是抽象廢話。如果建立了這些函子的同調(diào)理論，則自然變換經(jīng)?？梢越o出同調(diào)之間的“映射”，準(zhǔn)確地說是同調(diào)函子之間的自然變換，而且這些自然變換之間還有一些自然的聯(lián)系。

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由于拓?fù)鋵W(xué)的一些基本思想和方法已經(jīng)滲入幾乎整個數(shù)學(xué)以及物理等其他學(xué)科，在今天不變量、不變性質(zhì)等概念已經(jīng)深入人心，這在同調(diào)代數(shù)上的一個表現(xiàn)是對“典范性”（等價于函子性或自然的）的深入理解和重視。例如，一個微分流形（或解析空間、概形等）上有很多層，但人們特別注意典范的層，如微分層，其重要性與其典范性密切相關(guān)。又例如, 對于一個諾特環(huán)上的有限生成模，菲廷理想具有典范性（參看[14], 習(xí)題VI.6），而其重要性也是與其典范性密切相關(guān)的。

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總之，同調(diào)代數(shù)的基本概念如范疇、函子、自然變換、函子的同調(diào)、抽象廢話等都是很自然地產(chǎn)生的，它們給出了一個很寬廣的框架, 可以應(yīng)用于很多領(lǐng)域，給出不變量、不變性質(zhì)、等價和約化的方法等（詳見第Ⅺ, Ⅻ, XIII章）。還應(yīng)指出，范疇雖然比集合在邏輯上高一個層次, 仍有更高層次的數(shù)學(xué)概念，如二范疇（two category）。

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同調(diào)代數(shù)不僅給出強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，給出新的數(shù)學(xué)課題，而且使數(shù)學(xué)家從更高的視點(diǎn)觀察和理解數(shù)學(xué)，形成新的哲學(xué)理念。

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6

同調(diào)代數(shù)向各數(shù)學(xué)領(lǐng)域的滲透

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同調(diào)代數(shù)逐漸滲透到數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域，其中有些領(lǐng)域與拓?fù)鋵W(xué)相距甚遠(yuǎn)，以至很難看出其與拓?fù)鋵W(xué)中同調(diào)的原始思想的聯(lián)系。我們下面來看幾個領(lǐng)域中的初步例子，希望由此說明，雖然有些領(lǐng)域看上去與拓?fù)鋵W(xué)相距遙遠(yuǎn)，但從其中的同調(diào)仍能看到同調(diào)論原始思想的內(nèi)核。

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例 1. 纖維叢.

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由于纖維叢也是局部平凡而整體不平凡的一類數(shù)學(xué)對象，很自然地可以應(yīng)用同調(diào)的思想和方法來研究。簡言之, 就是把纖維叢的結(jié)構(gòu)歸結(jié)為平凡纖維叢如何“粘”成整個纖維叢的問題，從而用一種同調(diào)來刻畫。

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構(gòu)造纖維叢需要將平凡的纖維叢“粘”起來，但如同上節(jié)對流形所說的，纖維叢歸根結(jié)底不是被“構(gòu)造”出來的, 而只是被“發(fā)現(xiàn)”的，它們本來就存在于自然界。如果“粘”不起來，那就是有“障礙”，而障礙也是可以用同調(diào)來刻畫的。

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Grothendieck建立的一般同調(diào)理論

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前面我們已經(jīng)看到，同調(diào)的概念和方法可以推廣到很一般的范疇和函子。但是所得到的同調(diào)可能很抽象，常常需要花很大的工夫才能具體地理解。而且所得到的同調(diào)不變量能解決什么問題，能否滿足我們的需要，也常常是個問題。

Grothendieck 對于拓?fù)鋵W(xué)和同調(diào)代數(shù)有非常深刻的理解和洞察。在1960年代，他在代數(shù)幾何中建立了一套一般的同調(diào)論框架，在這個框架中填入一種具體內(nèi)容就得到一種同調(diào)，因此可以根據(jù)具體需要填入不同的內(nèi)容而得到不同的同調(diào)理論。

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出品：科普中國

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