有小朋友問我：有沒有什么數(shù)學(xué)問題，小學(xué)生都能看懂，數(shù)學(xué)家卻做不出來呢？有，冰雹猜想就是其中之一。

如同哥德巴赫猜想一樣，冰雹猜想的問題描述非常簡單，這也讓它成了民間數(shù)學(xué)家的最愛，如果你在網(wǎng)絡(luò)上搜索“冰雹猜想”或者它其他的名字“3X+1猜想“”考拉茲猜想“”角谷猜想“等，會發(fā)現(xiàn)大量宣稱證明了猜想的文章，可實際上問題提出80年來，許多專業(yè)數(shù)學(xué)家前仆后繼，依然無法解決這個問題。

一. 冰雹猜想

什么是冰雹猜想呢？我們一起來做一個數(shù)學(xué)游戲：

隨便選一個正整數(shù)，如果這個數(shù)是奇數(shù)，就把它乘以3再加1；如果這個數(shù)是偶數(shù)，就把它除以2。?

然后，我們對計算得到的結(jié)果重復(fù)這個操作，你會得到什么呢？

比如，從N =6開始：6是偶數(shù)，除以2變成3；3是奇數(shù)，乘以3再加1變成10；10是偶數(shù)，除以2變成5；5是奇數(shù)，乘以3再加1變成16；16是偶數(shù)，除以2變成8；8是偶數(shù)，除以2變成4；4是偶數(shù)，除以2變成2；2是偶數(shù)，除以2變成1。

大家注意，此時數(shù)字已經(jīng)變成了1，而1是奇數(shù)，乘以3再加1又等于4。于是，這個數(shù)列就會陷入4-2-1-4-2-1的循環(huán)了。

如果從其他數(shù)字開始，情況又是如何呢？比如從數(shù)字7開始，數(shù)列最大會變成52，但是經(jīng)過16步操作，還是會回到1；

從數(shù)字27開始，數(shù)列最大會變成9232，但是經(jīng)過111步，還是會回到1。

實際上，人們已經(jīng)嘗試了2的68次方以下的每一個整數(shù)，從任意一個數(shù)出發(fā)，最終都會回到1。那么，是不是從任何一個整數(shù)開始，經(jīng)過上述操作，最終都會變成1呢？1937年，德國數(shù)學(xué)家考拉茲提出了這個猜想，稱為考拉茲猜想。由于這些數(shù)字總是上上下下的變化，最后變成1，就好像冰雹在空中總是上下運(yùn)動，最終落到地面上一樣，所以也叫做冰雹猜想。

二. 珊瑚樹

冰雹猜想是一個世界級難題，從提出到現(xiàn)在80年了，數(shù)學(xué)家們還是沒有解決，因為整數(shù)是窮無盡的，就算你驗證了許許多多的整數(shù)都滿足冰雹猜想，也可能在更大的數(shù)字上找到反例。不過，我們依然可以對這個猜想可能的證明方法做一點(diǎn)討論。

首先，我們可以把這個數(shù)列倒過來推演。假如從某個數(shù)字開始計算，最終得到了數(shù)字1，那么1的上一個數(shù)字一定是數(shù)字2（因為2是偶數(shù)，除以2等于1），2的上一個數(shù)字一定是4，4的上一個數(shù)字一定是8（數(shù)字1已經(jīng)出現(xiàn)過了，我們就不重復(fù)計算了），8的上一個數(shù)字一定是16。

到這里，情況就出現(xiàn)了不同：16的上一個數(shù)字既可能是32，也可能是5. 因為32是偶數(shù)，按照規(guī)則除以2得到16；5是奇數(shù)，按照規(guī)則乘以3再加1也得到16。

按照這樣的方法，從1開始逆推數(shù)列，逐漸補(bǔ)充數(shù)字，就會獲得一棵“珊瑚樹“。

大家仔細(xì)觀察這棵樹就會發(fā)現(xiàn)：除了最底下的4-2-1循環(huán)之外，珊瑚樹的其他方都沒有循環(huán)，假如所有的正整數(shù)都能被這棵樹包括在內(nèi)，冰雹猜想就是成立的。

反過來說，冰雹猜想不成立，也有兩種可能。第一種可能是：從某個特殊的數(shù)字出發(fā)，冰雹最終沒有落到地上，而是在上下跳動中逐漸上升，最終到達(dá)無窮大；第二種可能是：除了4-2-1循環(huán)外，還有其他一些數(shù)字，也能構(gòu)成一個循環(huán)，數(shù)字在這個循環(huán)中反復(fù)，不能變成1. 可惜的是：這兩種情況既沒有被找到，也沒有被證明不存在。

三. “幾乎所有“的證明

雖然猜想并未被證明，但是數(shù)學(xué)家們對這個問題，也有了一點(diǎn)成果，下面我就帶著大家了解一下這些研究進(jìn)展，這里會用到稍微復(fù)雜一點(diǎn)的數(shù)學(xué)知識。

假設(shè)從正整數(shù)N出發(fā)，按照冰雹猜想的規(guī)則獲得一個數(shù)列，數(shù)列中的最小值記為Col（N）。冰雹猜想就是要證明對于所有的正整數(shù)N都有Col(N)=1。 其實，這等價于對于除了1以外的所有正整數(shù)，Col(N)<N。

這并不難理解，如果我們從任意正整數(shù)出發(fā)，都能獲得一個比它小的數(shù)，從這個小的數(shù)出發(fā)，又能獲得一個更小的數(shù)，只要這個數(shù)不是1，就能一直計算下去，直到獲得數(shù)字1。既然有思路了，那就開干吧！

1976年，數(shù)學(xué)家泰拉斯（Terras）證明：在自然密度下，幾乎所有的正整數(shù)N都滿足規(guī)律Col(N)<N。 1979年，另一位數(shù)學(xué)家Allouche加強(qiáng)了這個結(jié)論：在自然密度下，幾乎所有正整數(shù)都滿足規(guī)律Col(N)<N?, 其中a是任意一個大于0.869的數(shù)。到了1994年，Korec把指數(shù)a的下限繼續(xù)縮小到ln3/ln4（大約0.7924）。

1994年，著名華裔數(shù)學(xué)家陶哲軒又證明了：在對數(shù)密度下，幾乎所有的正整數(shù)N都滿足規(guī)律：Col(N)<f(N)， 其中f(N)是任意一個函數(shù)，只要在N趨向無窮大時，f(N)也趨向于無窮大就好。比如f(N)可以是N^(1/2), 可以是log(N)，也可以是[log(N)]^(1/2)等等。

看起來，數(shù)學(xué)家們好像證明了Col(N)<N，他們甚至獲得了更強(qiáng)的結(jié)論。但是你仔細(xì)看就會發(fā)現(xiàn)：在以上幾個數(shù)學(xué)家的工作中，都有“幾乎所有”這個前提，意味著這個結(jié)論并不一定對所有正整數(shù)都能成立，所以冰雹猜想依然沒有被證明。

而且，“幾乎所有“前面還有”對數(shù)密度“”自然密度“兩種前綴，這又是什么意思呢？

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四. 集合的密度

物理學(xué)中，密度等于質(zhì)量除以體積。數(shù)學(xué)上也有密度的概念，它表示一個自然數(shù)的子集在多大程度上接近自然數(shù)集，或者可以簡單理解為一個自然數(shù)子集的元素個數(shù)占整個自然數(shù)集的比例。密度越大，表示數(shù)集越接近自然數(shù)集。

比如，集合A表示所有偶數(shù)的集合，它的元素有無窮多個，所有自然數(shù)中，偶數(shù)占一半，所以集合A的密度就是0.5；再比如集合B表示所有4的倍數(shù)的集合，它的元素也有無窮多個,占所有自然數(shù)的1/4, 所以B集合的密度是0.25.

其他復(fù)雜一些的集合，比如平方數(shù)的集合，密度如何計算呢？數(shù)學(xué)上有嚴(yán)格的定義：

自然數(shù)有子集A，若A中不大于自然數(shù)N的元素分別為a?、a?、a?…、a?，個數(shù)為n，則：

1. 若N趨向于無窮時，n與N的比值收斂于P,即

則稱P是A的自然密度。

2. 若N趨向于無窮時，a?的倒數(shù)和與N的自然對數(shù)ln(N)之比收斂于P，即

則稱P是A的對數(shù)密度。

你會發(fā)現(xiàn)：自然密度的定義大意是把集合里的元素取一個最大值N，然后計算集合里的元素占從1到N所有自然數(shù)個數(shù)的比例，再逐漸把N推廣到無窮，如果比例趨于穩(wěn)定（存在極限），我們就把這個極限定義為集合的密度。

對數(shù)密度的概念比較奇怪，分子是集合a元素的倒數(shù)和，分母是N的對數(shù)，這是咋回事呢？實際上，數(shù)學(xué)家歐拉證明：當(dāng)N很大時，從1到N的自然數(shù)倒數(shù)和與ln(N)只相差一個確定的小數(shù)，這個小數(shù)叫做歐拉余項。

所以，分母上的ln(N)大約就等于前N個自然數(shù)的倒數(shù)和，對數(shù)密度就是用倒數(shù)和所占比例來判斷集合元素多少的。

集合A是自然數(shù)的子集，所以無論自然密度還是對數(shù)密度，都不會超過1，而是在0和1之間。如果密度等于0，我們稱“幾乎沒有“，密度等于1，我們稱”幾乎全部“。

我們來舉個例子：求完全平方數(shù)集合的密度。分別取N=100，10000，1000000，小于等于100的完全平方數(shù)有10個，小于等于10000的有100個，小于等于1000000的有1000個，它們的倒數(shù)和也很容易計算：

我們會發(fā)現(xiàn)，隨著N的增大，無論用哪種定義，比例都是在下降的?？梢宰C明：在N趨向于無窮時，這個比例趨于0，（證明過程留給有興趣的小伙伴自己完成）。

所以，完全平方數(shù)集合的自然密度和對數(shù)密度都是0. 這說明在自然數(shù)中，“幾乎沒有”完全平方數(shù)。但是，完全平方數(shù)不但有 ，而且有無窮多個。

同樣，陶哲軒等人證明了在對數(shù)密度或者自然密度下，“幾乎所有”的正整數(shù)都滿足它們的結(jié)論，但是依然可能存在有限甚至無限個反例。冰雹猜想依然沒有被證明。

大家看，雖然冰雹猜想表面上很簡單，但是我們了解一下研究進(jìn)展，都需要學(xué)習(xí)很多高等數(shù)學(xué)的知識，足見這個問題實際上相當(dāng)復(fù)雜。有數(shù)學(xué)家說：人類的數(shù)學(xué)工具還不足以解決如此復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。甚至有美國數(shù)學(xué)家說：這個問題就是蘇聯(lián)人提出來的，目的就是為了干擾美國的數(shù)學(xué)研究進(jìn)程，讓美國數(shù)學(xué)家沒有能力去研究正經(jīng)事，尤其是與戰(zhàn)爭相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。

雖然職業(yè)數(shù)學(xué)家解決不了，但是并不妨礙民間數(shù)學(xué)家的熱情，他們一般使用初等數(shù)學(xué)的方法，兩三頁紙就能證明這個猜想。無論是愛因斯坦的相對論還是羅巴切蘇斯基的非歐幾何，都是在充分理解前人的工作基礎(chǔ)之上，得出的新的科學(xué)突破。在今天這個信息充分交流的社會里，希望通過撿漏獲得科學(xué)突破，幾乎是不可能的。與其試圖解決“哥德巴赫猜想“或者”冰雹猜想“這樣的世界難題，碰瓷科學(xué)家吸引關(guān)注，不如多去讀幾本書，對我們的幫助更大。

楊絳先生說：你的主要問題在于書讀的不多，而想的太多?，F(xiàn)在許多人的問題，也在于此。

后記：在這篇文章中計算倒數(shù)和時，我使用了 wolframalpha這個軟件（網(wǎng)站），這是一個非常強(qiáng)大的工具, 幫你解決許多問題。

你可以問它數(shù)學(xué)問題，比如從1到10的倒數(shù)和是多少？

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制作這個內(nèi)容的起因是最近一段時間我在網(wǎng)上看小視頻學(xué)習(xí)英語，發(fā)現(xiàn)一個叫做真理元素Veritasium的頻道很不錯，推薦給喜歡科學(xué)、數(shù)學(xué)或者希望通過英語小視頻練習(xí)口語和聽力的小朋友。

這個頻道里有一期冰雹猜想，在YouTube上播放量很大，本內(nèi)容部分取材于此。并感謝我的學(xué)生魯泠溪同學(xué)對“幾乎所有“”自然密度“”對數(shù)密度“內(nèi)容進(jìn)行的梳理與補(bǔ)充。

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