【種花家務·代數(shù)】2-1-04方程的兩個基本性質『數(shù)理化自學叢書6677版』

2023-10-23 10:01 作者:山嵓 0人讀過 | 我要投稿

【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎自學教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學”。當然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經與如今迥異，因此不建議零基礎學生直接拿來自學。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎教育但卻很不扎實的學酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學叢書”系列17冊的基礎上又添加了1冊八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠對偶平衡；二則，我認為《微積分初步》這本書對“準大學生”很重要，以我的慘痛教訓為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學了個寂寞。另外大學物理的前置條件是必須有基礎微積分知識，因此我所讀院校的大學物理課是推遲開課；而比較生猛的大學則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學課）。我選擇在“自學叢書”17本的基礎上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學前可以看看，不至于像我當年那樣被高數(shù)打了個措手不及。?

第一章一元一次方程和可以化為一元一次方程的分式方程?

§1-4方程的兩個基本性質

【01】在上一節(jié)里，要判別一個方程和另一個方程是不是同解方程，我們需要把兩個方程的根一一代入檢驗，這樣的方法是很麻煩的。為了解決這個問題，并且能夠正確地掌握解方程的方法，我們先來研究方程的兩個基本性質。

1、方程的第一個基本性質

【02】我們看下面一個問題：什么數(shù)減去 3 等于 7？

【03】如果設某數(shù)為 x，可以列出方程 x－3＝7? 。

【04】我們如果用算術方法來考慮：某數(shù)減去 3 所得的差是 7，大家都知道，這個某數(shù)（即被減數(shù)）等于差 7 與減數(shù) 3 的和。列出方程，可以得到 x＝7＋3? 。

【05】這里，當 x＝10 的時候，方程 x－3＝7 的兩邊都等于 7，方程 x＝7＋3 的兩邊都等于 10? 。這就是說，10 是方程 x－3＝7 的根，也是方程 x＝7＋3 的根。所以方程 x－3＝7 和方程 x＝7＋3 是同解方程。

【06】從這個例子，我們可以得出一個性質：方程的兩邊都加上（或者都減去）同一個數(shù)，所得的方程和原方程是同解方程。

【07】再看下面這個方程：3x－2＝10? 。

【08】從這個方程的兩邊都減去同一個整式 2x－1，得到3x－2－(2x－1)＝10－(2x－1)? 。

【09】當x＝4的時侯，方程3x一2＝10的兩邊相等，這時 2x－1＝7，所以兩邊都減去整式?2x－1，實際上就是兩邊都減去 7，因此方程 3x－2－(2x－1)＝10－(2x－1) 的兩邊也相等。所以我們知道方程 3x－2＝10 和方程 3x－2－(2x－1)＝10－(2x－1) 也是同解方程。

【10】根據(jù)上面所說的，我們得到方程的第一個基本性質：方程的兩邊都加上（或者都減去）同一個數(shù)或者同一個整式，所得的方程和原方程是同解方程。

例1.把下列方程變形成它的同解方程，使方程的左邊只留下一個未知數(shù) x，而右邊是用數(shù)字表示的數(shù)：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A(1)%26%26%20x-5%3D8%3B%5C%5C%0A(2)%26%269x-%5Cfrac%7B7%7D%7B10%7D%3D8x%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【分析】利用方程的第一個基本性質，我們可以把原方程變形成它的最簡單形式的同解方程。

【解】

【注意】把方程逐步變形成它的同解方程時，不可以用“＝”把前后兩個方程連結起來。例如，從方程 x－5＝8 得出它的同解方程 x＝8＋5，不能錯誤地寫成 x－5＝8＝x＝8＋5，應該按照上面例題中那樣一步一步分開寫。很明顯，如果照 x－5＝8＝x＝8＋5 這樣的寫法，就會得出 8＝8＋5 這樣一個錯誤的結論。

例2.證明方程? $%5Cscriptsize9x-%5Cfrac7%7B10%7D%3D8x%2B%5Cfrac35$ ?和方程? $%5Cscriptsize%20x%3D1%7B%5Cfrac3%7B10%7D%7D$ ?是同解方程。

【證】

把 $%5Cscriptsize%20x%3D1%7B%5Cfrac3%7B10%7D%7D$ ?代方程? $%5Cscriptsize9x-%5Cfrac7%7B10%7D%3D8x%2B%5Cfrac35$ ?里的 x，得

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%26%5Ctext%7B%E5%B7%A6%E8%BE%B9%7D%3D9%5Ctimes%5Cfrac%7B13%7D%7B10%7D-%5Cfrac7%7B10%7D%3D11%2C%5C%5C%26%5Ctext%7B%E5%8F%B3%E8%BE%B9%7D%3D8%5Ctimes%5Cfrac%7B13%7D%7B10%7D%2B%5Cfrac35%3D11.%5Cend%7Baligned%7D$

????????方程左右兩邊的值相等，所以方程? $%5Cscriptsize9x-%5Cfrac7%7B10%7D%3D8x%2B%5Cfrac35$ ?的根是? $%5Cscriptsize%20x%3D1%7B%5Cfrac3%7B10%7D%7D$ 。用其他的值代替方程中的 x，左右兩邊就不相等，說明它設有別的根。這就是說，方程? $%5Cscriptsize9x-%5Cfrac7%7B10%7D%3D8x%2B%5Cfrac35$ ?的根和方程? $%5Cscriptsize%20x%3D1%7B%5Cfrac3%7B10%7D%7D$ ?的根是完全相同的。因此，這兩個方程是同解方程。

【11】我們來觀察一下：在上面例 1(1) 中的兩個方程 x－5＝8 和 x＝8＋5里，含有－5 的一項原來在第一個方程的哪一邊？符號是正的還是負的呢？后來在第二個方程的哪一邊？符號是正的還是負的呢？很明顯，含有－5 的一項原來在方程的左邊，符號是負的；后來在方程的右邊，符號變成正的了。再看例 1(2) 中的兩個方程? $%5Cscriptsize9x-%5Cfrac7%7B10%7D%3D8x%2B%5Cfrac35$ ?和? $%5Cscriptsize9x-8x%3D%5Cfrac35%2B%5Cfrac7%7B10%7D$ ?里，含有? $%5Cscriptsize-%5Cfrac7%7B10%7D$ ?的一項，原來在方程的左邊，符號是負的，后來在方程的右邊，符號變成正的；而含有 8x 的一項原來在方程的右邊，符號是正的，后來在方程的左邊，符號變成負的了。

【12】從上面的例題可以看出：

【13】方程中的任何一項，都可以把它的符號改變后，從方程的一邊移到另一邊。

【14】把方程中的項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形，叫做移項。移項以后所得的方程和原方程是同解方程。

【15】移項的法則是：

【16】要把方程中的項從等號的一邊移到另一邊，必須改變這個項的符號。

【17】移項法則在以后解方程中經常要用到，必須熟練掌握。

例3.利用移項的方法，把下列方程變形成左邊只留下一個未知數(shù) x，而右邊是數(shù)字表示的數(shù)的方程：

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%26%5Ctext%7B(1)%20%7D%5Cfrac47x%3D3-%5Cfrac37x%3B%5C%5C%26%5Ctext%7B(2)%20%7D8x%2B5%3D10x%2B1-3x.%5Cend%7Baligned%7D$

【解】

習題1-4(1)

1、根據(jù)方程的第一個基本性質，說明下列各題中的兩個方程是同解方程：

(1) 5x－3＝2 和 5x＝5；

[解法舉例在方程 5x－3＝2 的兩邊都加上 3，就得到 5x＝5，所以方程 5x－3＝2 和方程 5x＝5 是同解方程]

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D(2)%26%264%2B7x%3D10%5Ctext%7B%20%E5%92%8C%20%7D7x%3D6%3B%5C%5C(3)%26%264x%2B3%3D2x-4%5Ctext%7B%20%E5%92%8C%20%7D2x%3D-7%3B%5C%5C(4)%26%262x-9%3D6-4x%5Ctext%7B%20%E5%92%8C%20%7D6x%3D15%3B%5C%5C(5)%26%26%5Cfrac12-3x%3D1-5x%5Ctext%7B%20%E5%92%8C%20%7D2x%3D%5Cfrac12.%5Cend%7Beqnarray%7D$

2、用移項的方法把下列各方程變形成它的同解方程，使方程左邊只留下一個未知數(shù)，而右邊是數(shù)字表示的數(shù)：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26(1)x-11%3D6%3B%5C%5C%26%26%20(2)2.7%2Bx%3D4.2%3B%20%20%5C%5C%0A%26%26(3)4x%3D5%2B3x%3B%5C%5C%26%26%20(4)6y-2%3D5y%3B%20%20%5C%5C%0A%26%26(5)3-2x%3D4-3x%3B%5C%5C%26%26%20(6)7a%2B5%3D6a%2B5%3B%20%20%5C%5C%0A%26%26(7)9y%2B2%3D8y-6%3B%5C%5C%26%26%20(8)-5x-3%3D2-6x%3B%20%20%5C%5C%0A%26%26(9)2x-%5Cfrac23%3Dx%2B%5Cfrac16%3B%5C%5C%26%26%20(10)%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7Dx%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%3D%5Cfrac%7B7%7D%7B10%7D-%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7Dx%3B%20%20%5C%5C%0A%26%26(11)5x-8%2B6x%3D10x-1%3B%5C%5C%26%26%20(12)9x-3%3D13x%2B4-5x%20%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【注意】第 (4)，(6)，(7) 各題中的未知數(shù)分別是 y，a，不要錯誤地寫成 x 。

【答案】

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26(1)%5C%3B%20x%3D17%2C%5C%3B(2)%5C%3B%20x%3D1.5%2C%5C%3B(3)%5C%3B%20x%3D5%2C%5C%3B(4)%5C%3B%20y%3D2%2C%20%5C%5C%0A%26(5)%5C%3B%20x%3D1%2C%5C%3B(6)%5C%3B%20a%3D0%2C%5C%3B(7)%5C%3B%20y%3D-8%2C%5C%3B(8)%5C%3B%20x%3D5%2C%5C%3B%5C%5C%26(9)%5C%3B%20x%3D%5Cfrac56%2C%20(10)x%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B10%7D%2C(11)x%3D7%2C(12)x%3D7.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

2、方程的第二個基本性質

【18】我們看下面這個問題：什么數(shù)除以 5 等于 3？

【19】設某數(shù)為 x，可以列出方程? $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%7D%7B5%7D%3D3$ ? 。

【20】如果用算術方法來做，大家都知道，這個某數(shù)（即被除數(shù)）等于商 3 與被除數(shù) 5 的乘積。列出方程，可以得到 x＝3×5? 。

【21】這里，方程? $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%7D%7B5%7D%3D3$ ?的根是15，方程?x＝3×5 的根也是15，所以方程? $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%7D%7B5%7D%3D3$ ?和方程 x＝3×5 是同解方程。

【22】同樣可以看到，方程 2x＝6 和方程 x＝3，它們的根都是 3，所以方程 2x＝6 和方程 x＝3 也是同解方程。

【23】從上面所說的，我們得到方程的第二個基本性質：

【24】方程的兩邊都乘以（或者都除以）不等于零的同一個數(shù)，所得的方程和原方程是同解方程。

【25】特別要注意，如果用零乘方程的兩邊，那末所得的方程就不是原方程的同解方程。例如，方程? $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%7D%7B5%7D%3D3$ ?的兩邊都乘以零，得到? $%5Cscriptsize%5Cfrac%20x5%5Ctimes0%3D3%5Ctimes0$ ? 。在這個等式里，不論用任何數(shù)值代替 x，左右兩邊的值都等于零，它們是相等的。所以這個等式就成為一個恒等式了。

【26】如果方程的兩邊都除以零，那末兩邊都沒有意義。

例4.把下列方程變形成它的同解方程，使方程的左邊只留下一個未知數(shù) x，而右邊是數(shù)字表示的數(shù)：(1)? $%5Cscriptsize%5Cfrac%20x2%3D-5$ ；(2)－3x＝7? 。

【分析】這兩個方程里含有未知數(shù) x 的項的系數(shù)都不是 1，我們可以利用方程的第二個基本性質，把原方程變形成它的含有 x 項的系數(shù)是 1 的同解方程。

【解】

(1)? $%5Cscriptsize%5Cfrac%20x2%3D-5$ ?方程的兩邊都乘以2，得 x＝－10 。

(2)－3x＝7 方程的兩邊都除以－3，得 $%5Cscriptsize%20x%3D-2%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D$ ? 。

習題1-4(2)

1、根據(jù)方程的第二個基本性質，說明下列各題中的兩個方程是同解方程：

$%5Csmall%5Ctext%7B(1)%7D%5Cfrac%7Bx-2%7D3%3D1%5Ctext%7B%20%E5%92%8C%20%7Dx-2%3D3%3B$

[解法舉例：在方程 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx-2%7D3%3D1$ 的兩邊都乘以 3，就得到 x－2＝3，所以方程? $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx-2%7D3%3D1$ ?和方程 x－2＝3 是同解方程]

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D(2)%264x-8%3D6%5Ctext%7B%E5%92%8C2%7Dx-4%3D3%3B%5C%5C(3)%26%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D(3x-2)%3D-1%5Ctext%7B%E5%92%8C%7D3x-2%3D-5%3B%5C%5C(4)%26%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D(5-2x)%3D9x%5Ctext%7B%E5%92%8C%7D5-2x%3D12x.%5Cend%7Baligned%7D$

2、判別下列各題中的兩個方程是不是同解方程：

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D(1)%263x%3D-18%5Ctext%7B%20%E5%92%8C%20%7Dx%3D-6%3B%E3%80%90%E6%98%AF%E3%80%91%5C%5C%0A(2)%26-%5Cfrac%20x4%3D-3%5Ctext%7B%20%E5%92%8C%20%7Dx%3D12%3B%E3%80%90%E6%98%AF%E3%80%91%5C%5C(3)%26x%3D3%5Ctext%7B%20%E5%92%8C%20%7D0%5Ccdot%20x%3D0%3B%E3%80%90%E4%B8%8D%E6%98%AF%E3%80%91%5C%5C(4)%26x%3D1%5Ctext%7B%20%E5%92%8C%20%7Dx%5E2%3Dx.%E3%80%90%E4%B8%8D%E6%98%AF%E3%80%91%5Cend%7Baligned%7D$

[提示：x＝0 是方程 x2＝x 的根，但是方程 x＝1 只有一個根 1]

3、根據(jù)方程的第二個基本性質，把下列各方程變形成它的同解方程，使方程的左邊只留下一個未知數(shù) x，而右邊是數(shù)字表示的數(shù)：

$%5Csmall%0A%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26(1)%200.2x%3D-3%3B%5C%5C%0A%26%26(2)6x%3D4.2%3B%5C%5C%0A%26%26(3)%5Cfrac%7Bx%7D%7B3%7D%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%3B%5C%5C%0A%26%26(4)%20-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dx%3D15%3B%20%5C%5C%0A%26%26(5)-%5Cfrac%20x7%3D-%5Cfrac3%7B14%7D%3B%20%5C%5C%26%26(6)%20%5Cfrac%7B3x%7D4%3D-%5Cfrac23%3B%20%5C%5C%0A%26%26(7)-0.75x%3D%5Cfrac34%3B%20%5C%5C%26%26(8)%20%5Cfrac34x%3D-0.6%3B%20%5C%5C%0A%26%26(9)-1.2x%3D-3%5Cfrac34%3B%20%5C%5C%26%26(10)-5x%3D0.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

[提示：遇到題中既有小數(shù)，又有分數(shù)時，可以先把它們都化成分數(shù)（或者小數(shù)）再行計算。如果遇到分數(shù)不能化成有限小數(shù)，象? $%5Cscriptsize%5Cfrac13$ ， $%5Cscriptsize%5Cfrac17$ ， $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B3%7D%7B14%7D%20$ 等，只能得到循環(huán)小數(shù)時，就把別的小最化成分數(shù)后，再行計算]

【答案】

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26(1)%26x%3D-15%2C%26(2)%26x%3D0.7%2C%26(3)%26x%3D-1%5Cfrac15%2C%26(4)%26x%3D-10%2C%26(5)%26x%3D1%5Cfrac12%2C%5C%5C%0A%26(6)%26x%3D-%5Cfrac89%2C%26(7)%26x%3D-1%2C%26(8)%26x%3D-%5Cfrac45%2C%26(9)%26x%3D3%5Cfrac18%2C%26(10)%26x%3D0.%5Cend%7Beqnarray%7D$

標簽：

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【種花家務·代數(shù)】2-1-04方程的兩個基本性質『數(shù)理化自學叢書6677版』

習題1-4(1)

習題1-4(2)