第一章 數(shù)列的極限

一、知識點

1. 極限ε-N定義：
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   2、數(shù)列的極限 P2 - 13:57

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2. 極限的性質(zhì)：
3. 唯一性：
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   2、數(shù)列的極限 P2 - 33:10

   ?
4. 有界性：
   ?

   2、數(shù)列的極限 P2 - 48:29

   ?
   （數(shù)列有界性）
5. 上界、下界
6. 數(shù)列有界當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列既有上界又有下界。
7. 如果數(shù)列收斂，則必有界（反之未必成立）
8. 保號性：
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   2、數(shù)列的極限 P2 - 01:02:57

   ?
   （數(shù)列極限的保號性）
9. 推論：
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   2、數(shù)列的極限 P2 - 01:07:43

   ?
10. 數(shù)列的子列定義：
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    2、數(shù)列的極限 P2 - 38:38

    ?
11. 收斂數(shù)列與子數(shù)列的極限相等
12. 若存在兩個子數(shù)列不收斂于同一常數(shù)，則原數(shù)列發(fā)散。
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    2、數(shù)列的極限 P2 - 44:53

    ?
13. 數(shù)列收斂必有界，但有界的數(shù)列不一定收斂；無界的數(shù)列一定發(fā)散。
    ?

    2、數(shù)列的極限 P2 - 47:21

    ?
14. 數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則（審斂準(zhǔn)則）：
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    2、數(shù)列的極限 P2 - 01:08:03

    ?
15. 迫斂定理（夾逼準(zhǔn)則：
    ?

    2、數(shù)列的極限 P2 - 01:08:48

    ?
16. 單調(diào)有界準(zhǔn)則：
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    2、數(shù)列的極限 P2 - 01:22:45

    ?
    單調(diào)+有界->收斂
17. 給出數(shù)列遞推關(guān)系，證明數(shù)列極限存在或求極限，一般就會用到單調(diào)有界準(zhǔn)則

二、證明

1. 使用極限ε-N定義證明數(shù)列極限：
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   2、數(shù)列的極限 P2 - 24:38

   ?
2. 極限性質(zhì)的證明：
3. 唯一性證明：
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   2、數(shù)列的極限 P2 - 33:45

   ?
4. 有界性證明：（見5，6）
5. 保號性證明：
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   2、數(shù)列的極限 P2 - 01:04:25

   ?
6. 證明收斂數(shù)列與其子數(shù)列的極限相等：
   ?

   2、數(shù)列的極限 P2 - 40:59

   ?
7. 使用收斂數(shù)列于其子數(shù)列關(guān)系的逆否命題反證數(shù)列發(fā)散：
   ?

   2、數(shù)列的極限 P2 - 44:50

   ?
   ?

   2、數(shù)列的極限 P2 - 46:26

   ?
8. 證明“數(shù)列有界當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列同時有上界和下界”
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   2、數(shù)列的極限 P2 - 52:44

   ?
9. 證明“若數(shù)列收斂，則必有界（反之未必成立）”
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   2、數(shù)列的極限 P2 - 57:23

   ?
10. 迫斂定理（夾逼準(zhǔn)則）證明
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    2、數(shù)列的極限 P2 - 01:10:47

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三、計算

1. 使用夾逼定理求數(shù)列極限：
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   2、數(shù)列的極限 P2 - 01:13:57

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2. 數(shù)列極限多考慮夾逼準(zhǔn)則：
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   2、數(shù)列的極限 P2 - 01:21:33

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3. 側(cè)重于概念理解的題：
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   2、數(shù)列的極限 P2 - 01:32:42

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4. 兩個數(shù)列比值的極限存在，不能推導(dǎo)出這兩個數(shù)列的極限存在（加法同理）
5. 一道有趣的證明數(shù)列極限存在并求出其極限的題？：
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   2、數(shù)列的極限 P2 - 01:41:30

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6. 分析：當(dāng)x>0時，sinx恒<x；若sinx=x,則必有x=0；
7. 證明極限存在與求極限應(yīng)分為兩步，不能混為一談；