13｜虛數(shù)：虛構(gòu)這個(gè)工具有什么用？ - 得到APP (dedao.cn)

引：

?數(shù)學(xué)家是如何虛構(gòu)一個(gè)現(xiàn)實(shí)中不存在的概念，解決現(xiàn)實(shí)問題的？

為什么要有虛數(shù)？

?在解二次方程時(shí)就會(huì)遇到根號(hào)里一個(gè)負(fù)數(shù)的情況了，這時(shí)老師會(huì)說認(rèn)定他無實(shí)數(shù)解就可以，但到三次方程這個(gè)問題就回避不了了，即使一個(gè)有實(shí)數(shù)解的三次方程，在求解的過程中，也會(huì)遇到要對(duì)負(fù)數(shù)開根號(hào)的情況，數(shù)學(xué)家們只好虛構(gòu)出一個(gè)數(shù)i（image），讓它的平方等于-1，就可以求解了。

例如X^3-15X-4=0的解用費(fèi)拉里-塔爾塔利亞公式算為

為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況？

?這在哲學(xué)上其實(shí)很有意思，明明是現(xiàn)實(shí)世界的問題，而且在現(xiàn)實(shí)世界里也有答案，但是卻無法直接得到，非要發(fā)明一個(gè)不存在的東西作為橋梁?？梢杂邢旅鎺追N理解方式：

一個(gè)是化學(xué)中的催化劑。它只是起到一個(gè)媒介的作用，但是沒有它，化學(xué)反應(yīng)要么特別慢，要么干脆進(jìn)行不下去。

另一個(gè)例子就是傳話筒。兩個(gè)人無法見面，需要相互溝通的時(shí)候，就可以把信息通過傳話筒傳遞，完成溝通。

從更廣義的角度講，很多數(shù)學(xué)工具都是如此，我們現(xiàn)實(shí)世界的事情，經(jīng)常要用這些虛構(gòu)的工具來解決，比如“宗教”“法人”等等，【虛構(gòu)共識(shí)】是人類很重要的能力。（融會(huì)）

早期的人類要靠宗教崇拜團(tuán)結(jié)起來，如今人們則需要靠比如法律、有限公司、法人團(tuán)體等概念，讓龐大的社會(huì)繼續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)

法人：為了處理經(jīng)濟(jì)糾紛，就把一些機(jī)構(gòu)看成是法律的主體，和公司打官司時(shí)，雖然過程中接觸的是人，但告的時(shí)候則是針對(duì)這個(gè)虛構(gòu)出的組織，打贏官司之后，則是里面具體的人執(zhí)行對(duì)你的賠償，這就如同解方程時(shí)，我們需要借助于虛數(shù)，得到實(shí)數(shù)的解一樣。

今天，衡量一個(gè)人

認(rèn)知水平

的一個(gè)方法，就是看他接受虛擬概念的能力有多強(qiáng)，如果他只停留在看得見摸得著的東西，這個(gè)人的水平就不是很高。我們經(jīng)常說那些只知道買房置地，收藏奢侈品的人是土財(cái)主，其實(shí)也是這個(gè)道理。

虛數(shù)的意義不止如此

：

對(duì)數(shù)學(xué)本身來說，引入虛數(shù)之后很多誤解的方程就有解了，更漂亮的是，所有的一元N次方程都會(huì)有N個(gè)解，沒有例外。

作為工具來說，有了虛數(shù)之后，很多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，可以用簡單的方法解決，比如三次方程，比如便于將直角坐標(biāo)變成極坐標(biāo)。

在應(yīng)用層面來說，量子力學(xué)、相對(duì)論、信號(hào)處理、流體力學(xué)和控制系統(tǒng)的發(fā)展都離不開虛數(shù)。。。

數(shù)系的擴(kuò)張：

ps2023年11月30日：文中式把虛數(shù)當(dāng)做一個(gè)媒介作用的工具來看待；如果從數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)論的角度，或許虛數(shù)并不是人構(gòu)想出來的，而是真實(shí)世界的一部分，只不過人類受限于感官或認(rèn)知水平，無法理解而已。好比最開始人類只覺得有1，2，3三個(gè)數(shù)?參考，然后慢慢的開始有更大的數(shù)字概念，然后是小數(shù)概念等，但在人們發(fā)現(xiàn)之前，四顆棗樹，半個(gè)橘子，都說明這些概念是本就存在，只不過人類還沒有認(rèn)識(shí)到。。。另外還有比如非歐幾何相關(guān)，也是當(dāng)做數(shù)學(xué)游戲，后來才發(fā)現(xiàn)有現(xiàn)實(shí)意義，虛數(shù)或許也是如此？

14｜無窮：我們?yōu)槭裁措y以理解無限的世界？ - 得到APP (dedao.cn) 引：幾千年前，莊子說：“夏蟲不可以語于冰者，篤于時(shí)也。莊子還說：“吾生也有涯，而知也無涯”。但近代人們真的用自己的智慧，去把握到了原本只有上帝才能掌握的領(lǐng)域——無窮。

無窮不是具體的數(shù)，無窮是一種趨勢(shì)

：在絕大多數(shù)人心目中，無窮大是一個(gè)數(shù)，只是它比你能想象的數(shù)更大而已，人們依然會(huì)用理解一些具體數(shù)字的方式去理解它。無窮大的世界和我們?nèi)粘ＵJ(rèn)知的世界完全不一樣，在無窮的世界中往往會(huì)顛覆我們的認(rèn)知。

而比較無窮之間的大?。ū热缯麛?shù)個(gè)數(shù)與線段包含點(diǎn)的個(gè)數(shù)），實(shí)際比較的是變化增加趨勢(shì)的快慢。

對(duì)于無窮大的概念，

關(guān)鍵要理解它是動(dòng)態(tài)變化到了最終盡頭的描述

。事實(shí)上，無窮代表著一種新的科學(xué)世界觀，就是讓我們關(guān)注動(dòng)態(tài)變化的趨勢(shì)，特別是發(fā)展變化延伸到遠(yuǎn)方之后的情況。

無窮有關(guān)的謬誤與悖論

希爾伯特旅館：在我們的直覺中，每個(gè)房間都被占據(jù)，和無法再增加客人是等同的，但這只是在有限的世界里的等價(jià)性，在無窮大的世界里，數(shù)學(xué)中的很多邏輯都需要重新梳理一遍。

【線段悖論】：我們可以證明一條長5厘米的線段上的點(diǎn)，和一條長10厘米線段上的點(diǎn)是“一樣多”的。

無窮大的現(xiàn)實(shí)意義：比如比較算法復(fù)雜度，只會(huì)考慮這兩種算法在處理近乎無窮大的問題上的表現(xiàn)，對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)家們來講，將一個(gè)算法從平方的復(fù)雜度降低到線性，遠(yuǎn)比將一個(gè)線性復(fù)雜度的算法的計(jì)算量再減小幾倍要重要的多。

[筆記2](http://wangc.site/cbrain/share?nodeid=c2074ce363b20d8f)