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作者注：2018年8月11-12日，我們有幸參加了于山東大學(xué)威海分校召開的第八屆數(shù)學(xué)文化論壇，并做了關(guān)于20世紀(jì)英國(guó)大數(shù)學(xué)家哈代(G. H. Hardy)的通俗報(bào)告。蒙好玩的數(shù)學(xué)厚愛(ài)，我們?cè)谶@里給出一個(gè)修訂的文本（略去了比較專業(yè)的數(shù)學(xué)部分），分享給各位讀者。（編輯注：本文作者林開亮任教于西北農(nóng)林科技大學(xué)，陳見(jiàn)柯任教于中國(guó)傳媒大學(xué)）

哈代（1877--1947）

一、動(dòng)機(jī)

之所以要研究哈代，有以下四個(gè)動(dòng)機(jī)：

1. 哈代在20世紀(jì)數(shù)學(xué)史上有重要地位，他復(fù)興了英國(guó)的純數(shù)學(xué)研究；

2. 哈代有許多故事，他與拉馬努金，維納等20世紀(jì)的許多大數(shù)學(xué)家都有互動(dòng)；

3. 今年恰逢哈代與拉馬努金開創(chuàng)圓法100周年。

4. 哈代深深地影響了作者一直研究著的兩個(gè)人：華羅庚與戴森(Freeman Dyson)。

哈代曾說(shuō)“年輕人應(yīng)該證明定理，年長(zhǎng)者可以寫書”，他自己就寫了許多膾炙人口的著作，例如隨筆《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》，《純數(shù)學(xué)教程》、《數(shù)論導(dǎo)引》等教材。哈代的名字在數(shù)學(xué)愛(ài)好者中間是熟悉的，但讀者也許想對(duì)他有更多的了解。我們?cè)谇叭斯ぷ鳎ㄒ?jiàn)參考文獻(xiàn)）的基礎(chǔ)上做出了嘗試，以下是一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹。

二、履歷

1877， ?生于英國(guó)克利蘭

1890， ?溫徹斯特學(xué)院

1896-1900，劍橋大學(xué)三一學(xué)院

1900-1906，三一學(xué)院研究員

1906-1919，劍橋大學(xué)講師， (1910，?當(dāng)選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)院士， 注：相當(dāng)于科學(xué)院院士)

1911，與李特伍德開始長(zhǎng)達(dá)35年的合作，合作近100篇論文

1913，發(fā)現(xiàn)拉馬努金（“一生中最大的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)”）

1919-1931，牛津大學(xué)教授（“達(dá)到一生中的頂點(diǎn)”）

1931-1942，劍橋大學(xué)教授

1942，退休

1947，卒于劍橋

三、著述

自1900年做研究員起，哈代一生一共發(fā)表375篇論文，匯集成7卷論文集，出版11部著作，其中《純數(shù)學(xué)教程》（微積分教材）、《不等式》、《數(shù)論導(dǎo)引》多次重印再版、已成經(jīng)典。除了兩本在牛津大學(xué)出版，其它9本均由劍橋大學(xué)出版。

1905 《單變量函數(shù)的積分》

1908?《純數(shù)學(xué)教程》

1910?《無(wú)窮大的階》

1915 《狄利克雷級(jí)數(shù)通論》.(With M. Riesz.)

1934?《不等式》(With J. E. Littlewood and G. Polya.)

1938?《數(shù)論導(dǎo)引》. (With E. M. Wright.) (牛津)

1940?《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》

1940 《拉馬努金》

1942 《羅素和三一學(xué)院》

1944?《傅里葉級(jí)數(shù)》.(With W. W. Rogosinski.)

1948 《發(fā)散級(jí)數(shù)》 (牛津)

注：藍(lán)色標(biāo)記的表示有中譯本。

哈代的書非常受歡迎，以下是摘取的一些來(lái)自名家的推薦：

楊振寧：

同學(xué)們要我舉出對(duì)我影響最深的書，一本英文的，一本中文的。這個(gè)問(wèn)題很難回答，因?yàn)槭澜缟蠒嗔?。不過(guò)我想可以換一個(gè)說(shuō)法，推薦幾本有意思的書。先講數(shù)學(xué)。我在大學(xué)一年級(jí)的時(shí)候，我父親從圖書館借來(lái)一本《純數(shù)學(xué)教程》，這是英國(guó)的一個(gè)大數(shù)學(xué)家[注：即哈代]在二十世紀(jì)初寫的。我看了這本《純數(shù)學(xué)教程》之后大開眼界，什么緣故呢？因?yàn)槭澜缟纤械臄?shù)學(xué)在開始的時(shí)候都是教小孩子像1，2，3，4……整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)。但是，對(duì)整個(gè)邏輯系統(tǒng)沒(méi)有注意。這本書整個(gè)方法是從邏輯的系統(tǒng)開始的，這使得當(dāng)時(shí)16歲的我忽然了解到，數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)原來(lái)還可以有另外一種看法，這對(duì)我是一個(gè)很大的啟發(fā)。這本書很有名，?相當(dāng)于大學(xué)一二年級(jí)數(shù)學(xué)的程度，?可是它吸取了近代數(shù)學(xué)的精神，對(duì)任何一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)有興趣的同學(xué)我都推薦。也許今天在這兒這種人很少, 可是你們也許會(huì)對(duì)他另一本書發(fā)生興趣。這本書叫《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》。這是一個(gè)俏皮話, 他的意思，他整本書就是說(shuō) ,?他認(rèn)為數(shù)學(xué)是純粹的藝術(shù), 是沒(méi)有用處的。他說(shuō)他一生最得意的事情，就是沒(méi)做過(guò)任何有用處的事情。他非常會(huì)寫, 所以, 他把這樣簡(jiǎn)單的一句話寫成一本小書。這本小書——我想——從文學(xué)的立場(chǎng)講起來(lái)，是寫得非常之好的, 而且里頭有很多的小故事。

懷爾斯：

我非常幸運(yùn)地受教于一位研究過(guò)數(shù)論的中學(xué)數(shù)學(xué)老師。在他的建議下，我搞到一本絕妙的書——哈代與賴特合著的第四版《數(shù)論導(dǎo)引》。這本書與達(dá)文波特的《高等算術(shù)》一起，成為引導(dǎo)我進(jìn)入這一領(lǐng)域的至愛(ài)書籍。通過(guò)搜索這部《數(shù)論導(dǎo)引》來(lái)尋找有關(guān)費(fèi)馬大定理——我已經(jīng)對(duì)此問(wèn)題著迷——的線索，我第一次領(lǐng)略到數(shù)論真正的廣博無(wú)限。

鐘開萊：

當(dāng)前數(shù)學(xué)的全部或一大部分果真有成為有用之時(shí)么？不久前，我以此詢問(wèn)韋伊教授，當(dāng)時(shí)他正在斯坦福大學(xué)作有關(guān)歐拉的演講。他回答說(shuō)不，他先說(shuō)到哈代在《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》一書中答復(fù)過(guò)此問(wèn)題。我知道這本書。我第一次讀它時(shí)，尚是個(gè)單純的青年，對(duì)哈代信服之至。請(qǐng)?jiān)试S我離題講述一件事：1936年，我就讀于清華大學(xué)時(shí)，哈代所著《純數(shù)學(xué)教程》是一年級(jí)微積分參考書之一，正是此書使我開始從物理學(xué)轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)，至今我仍不忘哈代所指出的：教授微積分應(yīng)從n的函數(shù)而不是從?x?的函數(shù)開始。（諸君也在課堂上試一試看?。?/p>

注：同一屆，從清華物理系轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)系的有三位：鐘開萊、嚴(yán)志達(dá)和王憲鐘，鐘開萊先后追隨華羅庚、許寶騄學(xué)習(xí)，是許寶騄的研究生，而后兩位都是陳省身的學(xué)生，王憲鐘是陳省身的第一位研究生（當(dāng)時(shí)在西南聯(lián)大）。今年恰逢王憲鐘（1918-1978）誕辰100周年。

四、《辯白》賞析

在公眾視野中，哈代最引人注目的作品是1940年出版的隨筆《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》（以下簡(jiǎn)稱《辯白》），向讀者傳遞了他的數(shù)學(xué)觀。哈代的許多觀點(diǎn)都引起讀者共鳴或反駁，因此常常被引用。我們選取部分與讀者欣賞。

有許多相當(dāng)高尚的動(dòng)機(jī)引導(dǎo)人們?nèi)氖履稠?xiàng)研究，但有三點(diǎn)比別的更重要：

首先是智力上的好奇心（如果沒(méi)有這一點(diǎn)，其他的都站不住腳），渴望探知真理；其次是職業(yè)上的自豪感，渴望對(duì)自己的工作感到滿足；最后是要有雄心，渴望得到名聲、地位甚至隨之而來(lái)的權(quán)力和金錢。

如果智力上的好奇心、職業(yè)上的自豪感和雄心是研究的主要?jiǎng)恿Φ脑?，那么的確沒(méi)有什么職業(yè)比數(shù)學(xué)家更有機(jī)會(huì)滿足這些條件了。

對(duì)于雄心，哈代特別寫道：

人的第一責(zé)任，至少對(duì)于年輕人來(lái)說(shuō)，是有雄心。

這不禁讓我們聯(lián)想起《新上海灘》里大佬馮敬堯?qū)影嗳硕×Φ狞c(diǎn)撥：

回到《辯白》，個(gè)人認(rèn)為，其中最吸引人的觀點(diǎn)，是他哈代對(duì)于數(shù)學(xué)之美的評(píng)述，例如：

數(shù)學(xué)家跟畫家或詩(shī)人一樣，也是造型家。如果說(shuō)數(shù)學(xué)家的造型比畫家和詩(shī)人的造型更永恒，那是因?yàn)榍罢呤怯伤枷胨茉斓?。畫家造型用形與色，詩(shī)人則靠遣詞造句……

與畫家或詩(shī)人的造型一樣，數(shù)學(xué)家的造型也必須美；與色彩或語(yǔ)言一樣，思想也必須和諧。美是首要的標(biāo)準(zhǔn)，丑陋的數(shù)學(xué)在人世無(wú)永久的立足之地。

數(shù)學(xué)家是思想的造型家，而美與嚴(yán)肅則是評(píng)價(jià)其造型的標(biāo)準(zhǔn)。

哈代在《辯白》中選取的兩個(gè)美的數(shù)學(xué)的例子分別是：素?cái)?shù)之無(wú)窮（有興趣的讀者可參見(jiàn)從“三七二十一”到“素?cái)?shù)之無(wú)窮”）、2的平方根之無(wú)理。并進(jìn)一步提到

在數(shù)論中，人人都能欣賞的漂亮定理比比皆是。例如，有一個(gè)所謂的算術(shù)基本定理：任何整數(shù)都可唯一分解成素?cái)?shù)的乘積?！硪粋€(gè)著名的漂亮定理，是費(fèi)馬的二平方和定理。……(數(shù)論中許多最優(yōu)美的定理，例如二次互反律)

哈代對(duì)于數(shù)學(xué)之美的論述，令人想起王國(guó)維的《人間詞話》，他二位對(duì)美都有極高的品位。順便說(shuō)一句，與哈代一樣，王國(guó)維也是1877年出生，而鮮為人知的是，王國(guó)維也對(duì)中國(guó)近代中小學(xué)數(shù)學(xué)教育作出了重要貢獻(xiàn)。

哈代在《辯白》中最引起爭(zhēng)議的，是他對(duì)數(shù)學(xué)無(wú)用的觀點(diǎn)：

只有少部分?jǐn)?shù)學(xué)有用，而即此少部分也較為乏味，真正數(shù)學(xué)家的真正數(shù)學(xué)（無(wú)論其為應(yīng)用數(shù)學(xué)或純粹數(shù)學(xué)），即費(fèi)馬、歐拉、高斯、阿貝爾、黎曼的數(shù)學(xué)，幾乎全部無(wú)用。如能解釋真正數(shù)學(xué)的存在，則應(yīng)解釋為藝術(shù)。

……我從未做過(guò)任何有用的事情。

例如，他生前非常賞識(shí)的后生萊文森1970年曾專門寫文章反駁過(guò)這一觀點(diǎn)，標(biāo)題是Coding Theory: A Counterexample to G. H.Hardy s Conception of Applied Mathematics.?萊文森說(shuō)，編碼理論就用到了純數(shù)學(xué)，特別是伽羅瓦所發(fā)現(xiàn)的有限域的理論。

哈代寫《辯白》是在第二次世界大戰(zhàn)期間，他特別提到了數(shù)學(xué)與戰(zhàn)爭(zhēng)：

有一個(gè)結(jié)論是真正的數(shù)學(xué)家感到坦然無(wú)懼的，那就是，真正的數(shù)學(xué)對(duì)戰(zhàn)爭(zhēng)毫無(wú)影響。至今還沒(méi)有人發(fā)現(xiàn)，有什么火藥味的東西是數(shù)論或相對(duì)論造成的，而且看來(lái)以后很多年也不會(huì)有人能夠發(fā)現(xiàn)這類東西。

顯然，他沒(méi)有預(yù)見(jiàn)到基于相對(duì)論基本結(jié)果?E=mc^2?的原子彈竟然會(huì)在他有生之年的某一天應(yīng)用于戰(zhàn)爭(zhēng)、乃至結(jié)束二戰(zhàn)，而最初為戰(zhàn)爭(zhēng)服務(wù)的編碼（有許多是基于數(shù)論）現(xiàn)在也應(yīng)用于日常生活中，比如保障了你銀行卡的密碼安全。

哈代在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)職業(yè)的優(yōu)越性，同時(shí)也指出，做數(shù)學(xué)與當(dāng)和尚修行截然不同：

當(dāng)這個(gè)世界都瘋狂了的時(shí)候，數(shù)學(xué)家可能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)是一種無(wú)與倫比的鎮(zhèn)靜劑。因?yàn)閿?shù)學(xué)在一切藝術(shù)和科學(xué)中是最為陽(yáng)春白雪的，數(shù)學(xué)家應(yīng)該是所有人中最易于找到象牙塔的人。正如羅素所說(shuō)，在這座象牙塔中，“我們較為高尚的感情沖動(dòng)中至少有一種，能夠完全逃脫現(xiàn)實(shí)世界沉悶的流放?！笨上У氖牵@里一定要提出一個(gè)非常嚴(yán)格的限制條件：這樣的一位數(shù)學(xué)家的年紀(jì)不能太大。數(shù)學(xué)不是冥思苦想的修行，而是一門創(chuàng)造性的學(xué)問(wèn)，凡是失去創(chuàng)造力和創(chuàng)作欲的人，都不能從中得到很多慰藉；這是數(shù)學(xué)家要不了多久就可能碰到的情況[注：可能有很多人感覺(jué)中槍了，如我們]?？墒堑搅四菢拥木车?，他也就不是什么重要角色，也不必為他操心了。[好了，請(qǐng)大家也不必為我們擔(dān)心了。]

插話：哈代對(duì)羅素講

如果我能通過(guò)邏輯證明你將在五分鐘之內(nèi)掛掉，我會(huì)為你的將掛而傷悲，

不過(guò)我的傷悲很快就會(huì)被證明的樂(lè)趣覆蓋。

這句話主要表明，哈代欣賞證明的力量。

哈代在《辯白》中多次提及數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的與時(shí)俱下，例如：

每個(gè)數(shù)學(xué)家都應(yīng)謹(jǐn)記，比起其他任何藝術(shù)和科學(xué)，數(shù)學(xué)更是年輕人的游戲……[注：菲爾茲獎(jiǎng)只頒發(fā)給40歲以下的數(shù)學(xué)家，因此懷爾斯沒(méi)有得到菲爾茲獎(jiǎng)]

伽羅瓦在21歲去世，阿貝爾在27歲去世，拉馬努金在33歲去世，黎曼在40歲去世。曾經(jīng)有一些人在相當(dāng)晚的時(shí)候才做出偉大的工作。高斯關(guān)于微分幾何的論文在他50歲時(shí)才發(fā)表（不過(guò)他在十年前就有了基本的想法）。我從沒(méi)見(jiàn)過(guò)哪個(gè)年過(guò)半百的數(shù)學(xué)家開創(chuàng)重大的數(shù)學(xué)進(jìn)展。[注：他確實(shí)沒(méi)有見(jiàn)過(guò)張益唐！]

如果一個(gè)處于成熟年齡的人對(duì)數(shù)學(xué)失去了興趣，放棄了數(shù)學(xué)，這無(wú)論對(duì)于數(shù)學(xué)還是對(duì)于他，損失都不像是有多么嚴(yán)重。

一個(gè)數(shù)學(xué)家到了60歲也許仍然很有能力，但不能期待他有原創(chuàng)性的思想。

五、哈代的數(shù)學(xué)工作及其影響

哈代在數(shù)論、函數(shù)論、不等式等領(lǐng)域皆有重要貢獻(xiàn)，此處相對(duì)專業(yè)，我們略去。我們只提一點(diǎn)，哈代在zeta函數(shù)方面的工作、哈代與拉馬努金在劃分?jǐn)?shù)方面的工作、哈代與李特伍德在華林問(wèn)題方面的工作，哈代在不等式方面的工作，對(duì)塞爾伯格、閔嗣鶴、拉德梅赫、華羅庚、陳景潤(rùn)、陳木法都有深遠(yuǎn)的影響。

此外，哈代對(duì)遺傳學(xué)也有貢獻(xiàn)，著名的哈代-溫伯格原理，就是哈代的板球友向他請(qǐng)教孟德爾遺傳理論的結(jié)果。

六、哈代對(duì)英國(guó)本科數(shù)學(xué)教育的貢獻(xiàn)

哈代認(rèn)為，英國(guó)的數(shù)學(xué)如此落伍，根源就在Tripos制度。Tripos是劍橋大學(xué)本科生的榮譽(yù)學(xué)位考試。起初，這個(gè)制度是為了達(dá)到一個(gè)并不太高的目標(biāo)——決定申請(qǐng)（學(xué)士）學(xué)位者水平的高低——所用的手段；后來(lái)Tripos本身反而變成目標(biāo)。在哈代看來(lái)， Tripos本意是用來(lái)提拔英國(guó)數(shù)學(xué)未來(lái)的帶頭人，結(jié)果反而成了他們的枷鎖。

他后來(lái)對(duì)倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)報(bào)告說(shuō)：

依我看，這個(gè)制度在原則上就不對(duì)，其腐敗的程度并非改良二字可以解決。我不贊成改良，這個(gè)制度根本就應(yīng)取消。

在幾位比較年輕的資深同事的共同努力下，哈代終于讓管理校政的理事會(huì)很不情愿地答應(yīng)了一些改革。最主要的就是分等而不再排名次。從1910年開始，Tripos只分優(yōu)等、二等和三等“優(yōu)等第一”這個(gè)頭銜被取消，從而減輕了不少壓力，也用不著再為奪魁而聘請(qǐng)私人教師。

劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)系本科生主頁(yè)（https://www.maths.cam.ac.uk/undergrad）上的一個(gè)Tripos考題：

如圖，證明人在深水中平穩(wěn)游泳時(shí)激起的波浪其夾角總是2arcsin(1/3)。

七 、哈代的歷史地位

1930年成立普林斯頓高等研究所時(shí)，所長(zhǎng)弗萊克斯納在全球物色一流的數(shù)學(xué)家時(shí)，得到專家（應(yīng)該是普林斯頓大學(xué)的維布倫）的如下答復(fù)：

牛津的哈代和哥廷根的外爾是世界上數(shù)一數(shù)二的數(shù)學(xué)家，而伯克霍夫則是美國(guó)最好的數(shù)學(xué)家。

外爾是希爾伯特的衣缽傳人，陳省身先生曾對(duì)他有下述評(píng)價(jià)：

歷史上是否會(huì)再有像外爾這樣廣博精深的數(shù)學(xué)家，將是個(gè)有趣的問(wèn)題。

哈代與外爾差別明顯，借用哈代的學(xué)生戴森飛鳥與青蛙的著名比喻，哈代是典型的青蛙，他坦承自己是一個(gè)解題者，而外爾則是公認(rèn)的飛鳥。

他們都不遺余力地提攜后進(jìn)，他們先后影響指引了華羅庚。哈代和華羅庚都沒(méi)有博士學(xué)位，他們?cè)诒緡?guó)的地位和作用相當(dāng)。

注：作為20世紀(jì)的重要數(shù)學(xué)人物，哈代、外爾、華羅庚都值得我們深入探究。

八、致謝

感謝數(shù)學(xué)文化論壇組委會(huì)給我們機(jī)會(huì)做報(bào)告。本報(bào)告的構(gòu)思與準(zhǔn)備得到了中科院數(shù)學(xué)所嚴(yán)加安院士、密歇根大學(xué)季理真教授、首都師范大學(xué)趙學(xué)志教授、浙江大學(xué)蔡天新教授、南方科技大學(xué)歐陽(yáng)順湘教授、天津大學(xué)劉志新教授的啟發(fā)與幫助，特表感謝！

感謝馬志明院士和張益唐教授在報(bào)告現(xiàn)場(chǎng)對(duì)報(bào)告提出有價(jià)值的建議和評(píng)論。

請(qǐng)大家批評(píng)指正！

九、參考文獻(xiàn)

[1]哈代，《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》，李文林等編譯，大連理工大學(xué)出版社，2014年。

[2]胡作玄，哈代: 不僅僅是數(shù)學(xué)家，《自然辯證法通訊》1993年04期。

[3]卡尼格爾《知無(wú)涯者——拉馬努金傳》，胡樂(lè)士 、齊民友譯，上?？萍冀逃霭嫔?，2008年.

[4]林開亮、鄭豪，從費(fèi)爾馬多邊形數(shù)猜想到華羅庚的漸近華林?jǐn)?shù)猜想，《數(shù)學(xué)文化》第7卷（2016年）第2期，61-83.

[5]Albers, D.J.; Alexanderson, G.L.; Dunham, W., eds. ?The G.H. Hardy reader}. Cambridge: Cambridge University Press. 2015.

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